高等數(shù)學(xué)電子教案

一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域ds

時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為f

(x,y)ds

的形式，其中(x,y)在ds

內(nèi)．這個(gè)f

(x,y)ds

稱為所求量U的元素，記為dU，所求量的積分表達(dá)式為U

=

f

(

x,

y)dsD實(shí)例

一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道．通訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在天空不動(dòng)．若地球半徑取為R，問衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？二、曲面的面積hoxz衛(wèi)星１．設(shè)曲面的方程為：z

=f

(x,y)以ds

邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的小柱面，截曲面s

為ds；截切平面S

為dA，則有dA

?ds.在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈,如圖，設(shè)小區(qū)域ds

?

D,點(diǎn)(x,y)?

ds

,S

為S

上過M

(x,y,f

(x,y))的切平面.Mx(

x,

y)

ydszsdASo

ds

為dA

在xoy

面上的投影,\ds

=

dA

cosg,,11

+

f

2

+

f

2x

y

cosg

=\

dA

=1

+

f

2

+

f

2

dsx

yx

y\

A

=1

+

f

2

+

f

2

ds

,曲面S的面積元素Dxy?z?y?z?xD曲面面積公式為：A

=22)

+

( )

dxdy1

+

(３．設(shè)曲面的方程為：y

=h(z,x)22dzdx.Dzx?x?y?z?y+1

+

(

)

(

)曲面面積公式為：A

=(

)

(

)22dydz;Dyz?z?x?y?x+1

+曲面面積公式為：A

=同理可得

２．設(shè)曲面的方程為：x

=g(y,z)例

1

求球面x2

+

y2

+

z2

=

a2，含在圓柱體1D

：

x

2

+

y

2

￡

ax曲面方程z

=a2

-

x2

-

y2

,(

)

(

)22?y?z?x?z+于是

1

+,aa2

-

x2

-

y2=x2

+y2

=ax內(nèi)部的那部分面積.解

由對(duì)稱性知A

=

4

A1

,(

x,

y

?

0)面積A

=

4

1

+

z

2

+

z

2

dxdyx

yD1=

41Ddxdya2

-

x2

-

y2a001p2a

cos

qrdra2

-

r

2dq=

4a=

2pa2

-

4a2

.x2

+

y2例

2

求由曲面x2

+

y2

=

az

和z

=

2a

-解解方程組

,z

=

2a

-

x2

+

y2(a

>0)所圍立體的表面積.

x2

+

y2

=

az得兩曲面的交線為圓周,z

=

a

x2

+

y2

=

a2在xy

平面上的投影域?yàn)镈xy

:x2

+

y2

￡

a2

,a由z

=1

(x2

+y2

)得azx=

2

x

,azy=

2

y

,1

+

z2

+

z2

=x

y

+

1

+

2

y

2

a

a

2

x

2aa2

+

4

x2

+

4

y2

,=

1由

z

=

2a

-

x2

+

y2知1

+

z2

+

z2

=

2,x

yaxyD故S

=

1xyDa2

+

4

x2

+

4

y2

dxdy

+

2dxdyadq=0

a2p012pa2a2

+

4r

2

rdr

+6(6 2

+

5 5

-1).=pa2設(shè)xoy平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于(x1

,y1

)，(x2

,y2

)，,(xn

,yn

)處，質(zhì)量分別為m1

,m2

,,mn

．則該質(zhì)點(diǎn)系的重心的坐標(biāo)為niymMMx

=i

=1=

i

=1，nin

nm

mi

xi

mi

yiMMy

=i

=1x

=

i

=1．三、平面薄片的重心(x

,y)當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.DAx

=xds

,1

1DAy

=Ddsyds

.

其中A

=DD

r(

x,

y)ds

xr(

x,

y)ds.D,

y

=

yr(

x,

y)dsD

r(

x,

y)ds由元素法x

=設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D

，在點(diǎn)(x,y)處的面密度為r(x,y)，假定r(x,y)在D

上連續(xù)，平面薄片的重心

y

=

a(1

-

cos

t

)

x

=

a(t

-

sin

t

)例

3

設(shè)平面薄板由 ，(0

￡

t

￡

2p)與x軸圍成，它的面密度m

=1，求形心坐標(biāo)．解先求區(qū)域D

的面積A，

0

￡

t

￡

2p，

\

0

￡

x

￡

2paA

=2pa0y(

x)dx=2p0a(1

-

cos

t

)d[a(t

-

sin

t

)]=2p0a2

(1

-

cos

t

)2

dt2=

3pa

.D2paay(

x)所以形心在x

=pa上，即

x

=

pa,ydxdyy

=1=001y(

x

)2paydydxA=026paA

D106p[

y(

x)]2

dx

=

a2pa62p

5p[1

-

cos

t]3

dt

=

.6所求形心坐標(biāo)為(pa,5

p).由于區(qū)域關(guān)于直線x

=pa對(duì)稱，設(shè)xoy平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于

(x1

,y1

)，(x2

,y2

)，,(xn

,yn

)處，質(zhì)量分別為m1

,m2

,,mn

．則該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于x

軸和y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為i

ixm

yI

=i

=12，n

ni

iym

xI

=i

=12.四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)(x,y)處的面密度為r(x,y)，假定

r(x,y)在D

上連續(xù)，平面薄片對(duì)于x

軸和y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix

=

y

r(

x,

y)ds

,2D薄片對(duì)于y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

y

=

x

r(

x,

y)ds

.2D例

4

設(shè)一均勻的直角三角形薄板，兩直角邊長分別為a

、b，求這三角形對(duì)其中任一直角邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解aboyx設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和y軸上，如圖對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I

y

=

r

x

dxdy,2Dbba

(1-

y

)0

02=

r

dy121a3br.x dx

=同理：對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為xDI

=

r12y2dxdy

=

1

ab3

r.例

5

已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)r）的長和寬分別為b和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解1Dxdxdy,A先求形心

x

=1Dydxdy.Ay

=oyx區(qū)域面積

A

=

b

h,建立坐標(biāo)系如圖因?yàn)榫匦伟寰鶆?由對(duì)稱性知形心坐標(biāo)bhx

=

2

，

y

=

2

.hboyxhbuvo將坐標(biāo)系平移如圖對(duì)u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iu

=

r

v

dudv2D-2-22h2hb2bduv

dv=

r.12bh3

r=對(duì)v軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量D122

b3hrIv

=

r

u

dudv

=

.設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D

，在點(diǎn)(x,y)處的面密度為r(x,y)，假定r(x,y)在D

上連續(xù)，計(jì)算該平面薄片對(duì)位于z

軸上的點(diǎn)M0

(0,0,a)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力．(a

>0)薄片對(duì)z

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力F

={Fx

,Fy

,Fz

},3222

2r(

x,

y)

xDx(

x

+

y

+

a

)F

=

f3222

2ds

,r(

x,

y)

yds

,

FyD(

x

+

y

+

a

)=

f322ds

.r(

x,

y)Dz(

x

+

y2

+

a2

)F

=

-af

f

為引力常數(shù)五、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力例6

求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片：

x2

+

y2

￡

R2

，z

=

0對(duì)位于z

軸上的點(diǎn)M0

(0,0,a)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力．(a

>

0)解

由積分區(qū)域的對(duì)稱性知

Fx

=

Fy

=

0,dszDF

=

-af32(

x

+

y

+

a

)r(

x,

y)222dsD=

-afr32(

x

+

y

+

a

)1222oyzxFrdrRdq=

-afr0222p032(r

+

a

)11-

1

.a

=

2pfar

R2

+

a2

所求引力為1

-

1

.a

R2

+

a20,

0,

2pfar幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）六、小結(jié)思考題(0

<

a

<

b)求位于兩圓r

=a

cosq

,r

=bcosq之間的均勻薄片的重心.b

xyo

aD

rds

xrdsx

=

D

r

Dpb

cosqr

cosq

rdr=

0

a

cosq

2r

2

dq4=

8

pr

(b2

-a2

)pr

(b3

-a3

).2(b

+

a)b2

+

ba

+

a2=思考題解答薄片關(guān)于x

軸對(duì)稱則

y

=

0,一、求錐面z

=x

2

+y

2

被柱面z

2

=2

x

所割下部分的曲面面積.二、設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D

是介于兩個(gè)圓

r

=a

cosq

,r

=b

cosq

(0

<a

<b)之間的閉區(qū)域,求均勻薄片的重心.三、設(shè)有一等腰直角三角形薄片,腰長為a

,各點(diǎn)處的面