高等代數(shù)線性方程組課件

線性方程組

第三章線性方程組線性方程組第三章線性方程組1線性方程組主要內(nèi)容：

消元法

n維向量空間

線性相關(guān)性

矩陣的秩

線性方程組有解的判斷定理

線性方程組有解的結(jié)構(gòu)線性方程組主要內(nèi)容：消元法n維向量空間線2線性方程組§1消元法§1消元法考慮一般的線性方程組

當(dāng)s=n時，若D≠0，則方程組有唯一解，并可由Cramer法則求解。

當(dāng)s=n時，若D=0，利用Cramer法則無法判斷方程組是否有解。

當(dāng)s≠n時，沒有求解線性方程組的有效方法。線性方程組§1消元法§1消元法考慮一般的線性方程組3線性方程組§1消元法●線性方程組的矩陣表示法其中系數(shù)矩陣未知向量右端向量線性方程組§1消元法●線性方程組的矩陣表示法其中系數(shù)矩陣4線性方程組§1消元法用一個非零的數(shù)乘以某一個方程；●線性方程組的初等變換把某一個方程的倍數(shù)加到另一個方程；互換兩個方程的位置；用一個非零的數(shù)乘以矩陣的某一行；●矩陣的初等行變換把矩陣某一行的倍數(shù)加到矩陣的另一行；交換矩陣中某兩行的位置；方程組的初等變換相當(dāng)于對系數(shù)矩陣做相應(yīng)的初等行變換。方程組的初等變換是否會改變線性方程組的解？定理：方程組的初等變換將一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。線性方程組§1消元法用一個非零的數(shù)乘以某一個方程；●5線性方程組§1消元法●

增廣矩陣由線性方程組的系數(shù)和右端常數(shù)組成的矩陣稱為該線性方程組的增廣矩陣。線性方程組與增廣矩陣是一一對應(yīng)的定理：對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為，則以為增廣矩陣的線性方程組與原線性方程組同解。一個線性方程組的增廣矩陣可通過初等行變換化為怎樣的簡單形式？階梯形矩陣線性方程組§1消元法●增廣矩陣由線性方程組的系數(shù)和右端6線性方程組§1消元法定理：任何一個s×n階矩陣A，都可通過一系列初等行變換化為一個階梯形矩陣。定理：線性方程組與以下形式的階梯形線性方程組同解。線性方程組§1消元法定理：任何一個s×n階矩陣A，都可通過7線性方程組§1消元法

當(dāng)

時，該線性方程組無解。

當(dāng)

時，該方程組有解，并分兩種情況：(i)若r=n，則階梯形方程組為方程組有唯一解。線性方程組§1消元法當(dāng)8線性方程組§1消元法(ii)若r<n，則階梯形方程組為可改寫為方程組有無窮多解。自由未知量線性方程組§1消元法(ii)若r<n，則階梯形方程9線性方程組例題：例1、

解線性方程組例2、

解線性方程組§1消元法線性方程組例題：例1、解線性方程組例2、解線性方程組§110線性方程組§1消元法定理：在齊次線性方程組中，如果s<n，那它必有非零解。例3、

解齊次線性方程組線性方程組§1消元法定理：在齊次線性方程組中，如果s<11線性方程組§2

n維向量空間§2

n維向量空間●n維向量定義：數(shù)域P中n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為數(shù)域P上的n維向量，其中ai稱為該向量的第i個分量。●向量相等如果兩個n維向量的對應(yīng)分量都相等，即就稱這兩個向量相等，記作線性方程組§2n維向量空間§2n維向量空間●n維向12線性方程組§2

n維向量空間●向量的運算加法：減法：數(shù)乘：向量加法滿足以下四條運算規(guī)律交換律：結(jié)合律：有零元：零向量：O=(0，0，…，0)有負(fù)元：負(fù)向量：-a=(-a1，-a2，…，-an)線性方程組§2n維向量空間●向量的運算加法：減法：數(shù)乘：13線性方程組§2

n維向量空間向量數(shù)乘滿足以下兩條運算規(guī)律有單位元：結(jié)合律：分配律：分配律：向量加法與數(shù)乘共同滿足以下兩條運算規(guī)律由以上運算規(guī)律可推導(dǎo)出向量加法與數(shù)乘的以下運算性質(zhì)定義：若V是數(shù)域P中n維向量的全體，若考慮到上面定義的加法和數(shù)量乘法，則稱V為數(shù)域P上的n維向量空間，記為Pn。線性方程組§2n維向量空間向量數(shù)乘滿足以下兩條運算規(guī)律有單14線性方程組§3

線性相關(guān)性§3

線性相關(guān)性●

向量組的線性關(guān)系定義：設(shè)是Pn中的向量，若存在數(shù)域P中的一組數(shù)使得則稱是向量組的一個線性組合，或稱向量可被向量組線性表出。線性方程組§3線性相關(guān)性§3線性相關(guān)性●向量組的線性15線性方程組§3

線性相關(guān)性例1

在R3中，試問向量是否為向量組的一個線性組合？例2

在Pn中，任何一個n維向量都可由線性表出。向量e1，e2，…，en稱為n維單位向量線性方程組§3線性相關(guān)性例1在R3中，試問向量是否為向16線性方程組§3

線性相關(guān)性定義：如果向量組中有一個向量可以由其余的向等價定義：則稱向量組是線性相關(guān)的。量線性表出，那么稱向量組是線性相關(guān)的。定義：設(shè)是Pn中的s個向量，若存在數(shù)域P中的一組不全組不全為零的數(shù)使得試給出線性相關(guān)的幾何意義？線性方程組§3線性相關(guān)性定義：如果向量組中有一個向量可以由17線性方程組§3

線性相關(guān)性則稱向量組是線性無關(guān)的。定義：設(shè)是Pn中的s個向量，若不存在數(shù)域P中的一組不全為零的數(shù)使得例3

判斷向量組是否線性相關(guān)。例4

設(shè)向量可由向量組線性表出，則表示法唯一的充要條件是線性無關(guān)。線性方程組§3線性相關(guān)性則稱向量組是線性無關(guān)的。定義：設(shè)是18線性方程組§3

線性相關(guān)性判斷向量組是否線性相關(guān)的方法：(1)設(shè)

(2)將其按分量寫出

(3)若該奇次方程組有非零解，則原向量組線性相關(guān)，反之則線性無關(guān)。

線性方程組§3線性相關(guān)性判斷向量組是否線性相關(guān)的方法：(119線性方程組§3

線性相關(guān)性●

線性關(guān)系的性質(zhì)性質(zhì)1向量組中的每一個向量都可由這組向量線性表出。線性表出。性質(zhì)2如果向量g可由向量組線性表出，而它的每一個向量又可由向量組線性表出，則g可由向量組性質(zhì)3如果向量組線性無關(guān)，則它的任一部分組也線性無關(guān)。性質(zhì)4如果向量組的某個部分組線性相關(guān)，則原向量組也線性相關(guān)。整體無關(guān)，則部分無關(guān)；部分相關(guān)，則整體相關(guān)性質(zhì)5如果向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則b可由向量組線性表出。線性方程組§3線性相關(guān)性●線性關(guān)系的性質(zhì)性質(zhì)1向量20線性方程組§3

線性相關(guān)性性質(zhì)6如果向量組線性無關(guān)，則其同位延長向量組也是線性無關(guān)的。線性方程組§3線性相關(guān)性性質(zhì)6如果向量組線性無關(guān)，則其21線性方程組§3

線性相關(guān)性●

向量組的等價性與替換定理如果Pn中的兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組是等價的。向量組等價的性質(zhì)：反身性對稱性傳遞性表示向量組之間的等價關(guān)系線性方程組§3線性相關(guān)性●向量組的等價性與替換定理如22線性方程組§3

線性相關(guān)性替換定理：設(shè)向量組(I)線性無關(guān)，而且每一個向量可由向量組(II)線性表出，則（1）t≤s（2）向量組(II)中存在t個向量用向量組(I)中的向量替換后得到的新向量組(III)與向量組(II)等價。推論1：兩個等價的線性無關(guān)向量組含有相同個數(shù)的向量。推論2：設(shè)向量組可由向量組線性表出，而且t>

s,則向量組必定線性相關(guān)。若個數(shù)多的向量組能由個數(shù)少的向量組線性表出，則個數(shù)多的向量組必定線性相關(guān)。推論3：n+1個n維向量必定線性相關(guān)。線性方程組§3線性相關(guān)性替換定理：設(shè)向量組(I)線性無關(guān)，23線性方程組§3

線性相關(guān)性●

極大線性無關(guān)組

定義：如果向量組的一個部分組是線性無關(guān)的，而且向量組中的任一向量都可由它線性表出，則稱是向量組的一個極大線性無關(guān)組。例5

求向量組的一個極大線性無關(guān)組。向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的定理

一個向量組的任何極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量。線性方程組§3線性相關(guān)性●極大線性無關(guān)組定義：如果向24線性方程組§3

線性相關(guān)性定義

一個向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩(rank)。例7

求下面向量組的秩例8

設(shè)B是矩陣A經(jīng)過初等行變換得到的矩陣，則矩陣A、B的列向量具有完全相同的線性關(guān)系。例9

一個向量組中的任何一個線性無關(guān)組，都可以擴(kuò)充為該向量組的一個極大線性無關(guān)組。確定極大線性無關(guān)組的初等變換方法線性方程組§3線性相關(guān)性定義一個向量組的極大線性無關(guān)組25線性方程組§4

矩陣的秩§4

矩陣的秩定義

矩陣的行秩就是矩陣的行向量組的秩；列秩就是矩陣的列向量組的秩。例1

求矩陣的行秩和列秩。是否任意矩陣的行秩和列秩都相同？線性方程組§4矩陣的秩§4矩陣的秩定義矩陣的行秩就26線性方程組§4

矩陣的秩引理

如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行秩r<n，那么該齊次線性方程組有非零解。線性方程組§4矩陣的秩引理如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣27線性方程組§4

矩陣的秩定理

矩陣的行秩與列秩相等。定義

矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。矩陣的秩不會超過矩陣的行數(shù)和列數(shù)例2

求下面矩陣的秩例3

設(shè)A是一個秩為r的m×n階矩陣，從A中任劃去m-s行與n-t列后，其余元素按原來的位置排成一個s×t階矩陣C，證明：秩C≥r+s+t-m-n線性方程組§4矩陣的秩定理矩陣的行秩與列秩相等。定義28線性方程組§4

矩陣的秩定理

n×n階矩陣的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n。n階方陣A的行列式|A|≠0的充要條件是A的秩等于n。推論

齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于0。線性方程組§4矩陣的秩定理n×n階矩陣的行列式為零的29線性方程組§4

矩陣的秩定義在一個

s×n階矩陣A中任意選定k行和k列，1≤k≤min{s,n}，位于這些選定的行和列的交點上的k2

個元素按原來的順序組成一個k階方陣，定理

矩陣A的秩為r的充分必要條件是矩陣中有一個r階子式不為零，而這個方陣稱為A的一個k階子陣，其行列式稱為A的一個k階子式。所有的r+1

階子式全為零。例4

求下面矩陣的秩線性方程組§4矩陣的秩定義在一個s×n階矩陣A中30線性方程組§5

線性方程組有解的判別定理§5

線性方程組有解的判別定理定理：線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩與其增廣矩陣有相同的秩。線性方程組§5線性方程組有解的判別定理§5線性方程組有31線性方程組§5

線性方程組有解的判別定理定理：線性方程組的系數(shù)矩陣A與其增廣矩陣有相同的秩r，則(1)當(dāng)r=n時，方程組有唯一解；(2)當(dāng)r<n時，方程組有無窮多個解。線性方程組§5線性方程組有解的判別定理定理：線性方程組的系32線性方程組§4

矩陣的秩例1

設(shè)線性方程組例2

當(dāng)a，b取何值時，線性方程組無解？有解？有解時求其一般解。線性方程組§4矩陣的秩例1設(shè)線性方程組例2當(dāng)a，33線性方程組§4

矩陣的秩例3

解線性方程組有解，且系數(shù)矩陣A的秩為r1，而方程組無解，且系數(shù)矩陣B的秩為r2，證明矩陣的秩≤r1+

r2+1。線性方程組§4矩陣的秩例3解線性方程組有解，且系數(shù)矩陣34線性方程組§6

線性方程組解的結(jié)構(gòu)§6

線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)齊次線性方程組●

齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的解有如下兩個重要性質(zhì)：性質(zhì)1：齊次線性方程組的兩個解的和仍是該方程組的解。性質(zhì)2：齊次線性方程組的任一解的倍數(shù)仍是該方程組的解。齊次線性方程組的任意線性組合仍是該方程組的解線性方程組§6線性方程組解的結(jié)構(gòu)§6線性方程組解的結(jié)構(gòu)35線性方程組§5

線性方程組有解的判別定理(1)定義：齊次線性方程組的一組解稱為它的基礎(chǔ)解系，如果線性無關(guān)；(2)該齊次方程組的任一解都能表示為的線性組合。定理：齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，而且基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)等于n-r，其中n為未知量的個數(shù)，r為系數(shù)矩陣A的秩?；A(chǔ)解系不唯一，任何一個線性無關(guān)且與基礎(chǔ)解系等價的向量組都是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系例1

求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。線性方程組§5線性方程組有解的判別定理(1)定義：齊次線36線性方程組§5

線性方程組有解的判別定理例2證明：齊次