第二章-第2節(jié)作用于流體的力應(yīng)力張量課件

§2作用于流體的力、應(yīng)力張量——研究流點(diǎn)所受的力和性質(zhì)在流體中任取一個(gè)以s為界面的體積

，作用于該體積上的力分成兩類：質(zhì)量力（體力）和面力（表面力）下面逐一分析之：一、質(zhì)量力（體力）1、定義：質(zhì)量力（體力）是作用于所有流點(diǎn)上的力，它與周圍流點(diǎn)無關(guān)，常見的有：重力、萬有引力、電磁力等。在大氣動力學(xué)中指重力。是非接觸力。2、表示方法質(zhì)量力用空間中分布密度函數(shù)

表示。

1§2作用于流體的力、應(yīng)力張量——研究流點(diǎn)所受的力和性質(zhì)，

（2.19）---可以看成是力的分布密度。如果質(zhì)量力是重力，則

就是重力加速度g。3、作用于有限體積元

上的質(zhì)量力是：

二、面力（表面力）1、定義：面力（表面力）是與流體表面S相接觸的流體（或固體）作用于流體表面S上的力。如壓力、粘性力、摩擦力。2、表達(dá)式以面力在表面上的分布密度來表示（記作)

（2.20）

上式中的

是作用于某個(gè)流體面積

上的表面力，面力

又稱為應(yīng)力矢。則作用于流體面元上的面力（應(yīng)力）為：

2（2.19）---可以看成是力的分布密度。如果質(zhì)量力是重力3、質(zhì)量力和面力的區(qū)別()

（1）質(zhì)量力

是力的分布密度，是非接觸力，是空間和時(shí)間的函數(shù)，即：

，是一個(gè)矢量場。流點(diǎn)所受的質(zhì)量力被質(zhì)量函數(shù)

完全描述了。（2）面力

是應(yīng)力矢，它不但是空間和時(shí)間的函數(shù)，而且還隨著受力面元取向的不同而變化，即：

是空間某一點(diǎn)的位置,

是該點(diǎn)某一個(gè)受力面元的法向單位矢。這段話可以這樣理解：流體中有各個(gè)位置的點(diǎn)，不同點(diǎn)用確定，對于某一點(diǎn)

，過這一點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)不同方向的面元，這些面元就用區(qū)別開來了，作用在這些面元上的面力一般來說是不同的，因此，是位置

和表面法向的函數(shù)了，另外還隨著時(shí)間變化。

33、質(zhì)量力和面力的區(qū)別()（1）質(zhì)問題那么，要描寫某一點(diǎn)的應(yīng)力就需要知道所有通過該點(diǎn)的面上所受的應(yīng)力。-------是否一定要這樣做？----------不必，后面就會看到，過同一點(diǎn)不同面上所受到的應(yīng)力并不是處處相互獨(dú)立，事實(shí)上，只要知道三個(gè)與坐標(biāo)面平行面上的應(yīng)力，則任一以為法向的面上的應(yīng)力都可以通過它們及表示出來。即三個(gè)矢量（三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力）或9個(gè)分量完全地描述了一點(diǎn)的應(yīng)力狀況。4問題4三、應(yīng)力張量1、一些符號和名詞（1）小面元

的法線方向：當(dāng)

封閉時(shí)，取外法線方向?yàn)檎?，如圖SS2-2-1當(dāng)

不封閉時(shí)，可以規(guī)定一個(gè)方向?yàn)檎?2)外法向（即周圍）流體通過面元對面元內(nèi)流體的應(yīng)力作用記為：

（或說法線正向一側(cè)流體作用于面元上的應(yīng)力以表示）

面元內(nèi)流體經(jīng)過面元對周圍流體的應(yīng)力作用記為：

（或說法線負(fù)向一側(cè)流體作用于面元上的應(yīng)力以

表示.）

根據(jù)牛頓的作用力與反作用力定律：

5三、應(yīng)力張量（1）小面元的法線方向：當(dāng)封閉時(shí)，取外法線方

注意：

一般而言不平行于法線（不垂直于作用面），下標(biāo)的n只是表示面元的法向。

（3）應(yīng)力矢

在直角坐標(biāo)軸上的投影。記為：

注意：第一個(gè)下標(biāo)表示面元的法向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的投影方向。（4）

一般而言不平行于法線（不垂直于作用面），因而它在面元的法向和切向都有投影，即：

法線方向上的投影：----法向應(yīng)力切線方向上的投影：

----切向應(yīng)力6注意：一般而言不平行于法線（不垂直于作用面），下標(biāo)的n只2、應(yīng)力張量的證明設(shè)在流體中的一個(gè)點(diǎn)M，想象把它擴(kuò)大一點(diǎn)，成為一個(gè)四面體MABC，如圖2-3。注意：不一定垂直于YOZ,XOZ,XOY平面。72、應(yīng)力張量的證明注意：不一定垂直于YOZ,XOZ,XO2.21中含的略去根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律，有：

（2.18）

而流體所受的力

，就是上面表中所列的內(nèi)容，則可以寫出這這個(gè)四面體的運(yùn)動方程：（體力+面力）上式中的

是三階小量，

是二階小量，含

的項(xiàng)比含

的項(xiàng)小一個(gè)量級。當(dāng)四面體無限縮小時(shí)，

含

的項(xiàng)可以略去，則得到：

（2.21）又因?yàn)椋?/p>

82.21中含的略去根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律，有：（上式又可以寫成：

移項(xiàng)為：

（2.24）

上式中的三個(gè)小面積

是

在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影，即：

（2.25）

上式中的

表示法向單位矢量n與x軸的方向余弦。另外兩個(gè)類同。將（2.25）代入（2.24）得到：將上式中的矢量都分解到直角坐標(biāo)系的三個(gè)作用軸上，（2.26）9上式又可以寫成：移項(xiàng)為：（2.24）上式中的三個(gè)小面所以,應(yīng)力矢

在直角坐標(biāo)軸上的投影

就為：

（分別是i,j,k方向）（2.27）10所以,應(yīng)力矢在直角坐標(biāo)軸上的投影就為：（2.27（2.27）（2.27）說明，若三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量：，，已知，則任一法向?yàn)?/p>

的面上的應(yīng)力矢可以按照（2.26）求出。因此三個(gè)矢量，，

，或它們的共9個(gè)分量的組合就完全描述了一點(diǎn)的應(yīng)力狀況。稱下面由9個(gè)分量組成的張量為應(yīng)力張量Р：Р=

，k=1,2,3,l=1,2,3(2.28)11（2.27）（2.27）說明，若三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量：根據(jù)張量運(yùn)算的原則，就有：

而

Р=

應(yīng)力張量的9個(gè)分量中，

稱為法應(yīng)力（是YOX平面、XOZ、XOY平面法向上的分量）。其余6個(gè)量稱為切應(yīng)力（分量）。12根據(jù)張量運(yùn)算的原則，就有：而Р=應(yīng)力張量的9個(gè)分量中3、應(yīng)力張量的性質(zhì)（1）應(yīng)力張量是一個(gè)對稱張量，已經(jīng)證明：

（2）不論坐標(biāo)如何選擇，

為一不變的量。133、應(yīng)力張量的性質(zhì)（2）不論坐標(biāo)如何選擇，為一不變的量。14、理想流體的應(yīng)力張量理想流體沒有粘性，其切向應(yīng)力為零，即：

此時(shí)只有法向應(yīng)力（實(shí)際就是壓力）

則根據(jù)（2.27）得到：（2-1）如果按法向和切向的分解，

，則：（2-2）

對于理想流體，沒有切應(yīng)力，即

，上式（2-2）就成為：

144、理想流體的應(yīng)力張量此時(shí)只有法向應(yīng)力（實(shí)際就是壓力）則根（2-3）

將（2.1）與（2.3）對比，得到：

可見，理想流體的應(yīng)力與方向無關(guān)，是(x,y,z,t)的函數(shù)，一般稱之為壓力-p。（取負(fù)號表示壓力方向與法向方向相反。）理想流體的應(yīng)力矢可以寫成：

所以，對理想流體而言，壓力是唯一的表面應(yīng)力，且與方向無關(guān)。，（矩陣稱為單位張量）15（2-3）將（2.1）與（2.3）對比，得到：5、靜止流體因?yàn)殪o止，則沒有形變，即沒用切應(yīng)力，就同上面的理想流體一樣了，上述對理想流體的性質(zhì)依然成立。四、表面應(yīng)力張量與形變速度張量的關(guān)系真實(shí)流體都有粘性。當(dāng)相鄰兩層流體作相對滑動時(shí)（即剪切變形）時(shí)，在相反方向產(chǎn)生一切向應(yīng)力，阻止變形的產(chǎn)生，因此切向應(yīng)力與切向形變之間存在關(guān)系。流體的這種性質(zhì)——粘性規(guī)律，通過它將應(yīng)力張量與形變速度張量以某種關(guān)系聯(lián)系起來，現(xiàn)在來推導(dǎo)這個(gè)關(guān)系。

165、靜止流體四、表面應(yīng)力張量與形變速度張量的關(guān)系真實(shí)流體1、牛頓實(shí)驗(yàn)：1687年，建立了此關(guān)系實(shí)驗(yàn)（如書上P53圖2.5）實(shí)驗(yàn)：開始-------兩塊很長的平行板，中間充滿不可壓縮粘性流體。上板以速度U平行于下板移動，下板靜止。此時(shí)，粘在上板上的流體速度是U，下板上的流體速度為零。過一定時(shí)間后測量兩板間各層的流體速度，發(fā)現(xiàn)-------速度分布如下：------顯然：

這是一種切變分布。171、牛頓實(shí)驗(yàn)：1687年，建立了此關(guān)系實(shí)驗(yàn)：------顯如果想保持兩板之間流體的這種速度分布，則必須給上板一個(gè)與流速同向的推力（切向力），而給下板以一個(gè)與流速反向的固定力這說明流體與板，流體與流體之間存在著黏性應(yīng)力，否則上板就不可能帶動整個(gè)流體運(yùn)動。而且，對上下板所施的力，就是用來克服流體對板的黏性力。實(shí)驗(yàn)測量證明：此流動中的粘性應(yīng)力矢處處相同的，用

表示

18如果想保持兩板之間流體的這種速度分布，則必須給上牛頓粘性定律（2.35）

稱為（動力學(xué)）粘性系數(shù)或內(nèi)摩擦系數(shù)。（流體與其它物體間的粘性系數(shù)稱為外摩擦系數(shù)，一般內(nèi)、外摩擦系數(shù)取值一樣.）牛頓粘性定律給出了粘性應(yīng)力

與形變率

的關(guān)系，即粘性應(yīng)力與形變率成正比，與壓力無關(guān)牛頓粘性定律但只適用于直線運(yùn)動。

19牛頓粘性定律（2.35）稱為（動力學(xué)）粘性系數(shù)或內(nèi)摩擦系數(shù)2、廣義牛頓粘性假設(shè)牛頓粘性定律給出了粘性應(yīng)力

與形變率的線性關(guān)系，但只適用于直線運(yùn)動。

但這種線性關(guān)系卻可以推廣到任意的粘性流體運(yùn)動，稱為廣義牛頓粘性假設(shè)，即：（2.36）式中的就是前面講到的應(yīng)力張量（2.28），是第一章講到的形變率（P21，1.38式）是三個(gè)法向應(yīng)力的平均值。

是前面講的單位張量。

202、廣義牛頓粘性假設(shè)牛頓粘性定律給出了粘性應(yīng)力與形變率的線3.應(yīng)力張量和形變速度張量（形變率張量）之間的關(guān)系

廣義牛頓粘性假設(shè)就顯示了應(yīng)力張量和形變速度張量之間的關(guān)系，寫成分量形式：其中：。。。。。其中由于單位張量中的非對角元素為零，則（2---3）還可以寫成：（2---3）213.應(yīng)力張量和形變速度張量（形變率張量）之間的關(guān)系可見前面的牛頓粘性定律是（2---3）的一個(gè)特例。

（2---3）還可以改寫成與粘性有關(guān)的部分和與粘性無關(guān)的部分，即：22可見前面的牛頓粘性定律是（2---3）的一個(gè)特例。（流體單位面積受到的總的表面力）=（與粘性無關(guān)的部分，即流體的壓力）+（與粘性有關(guān)的部分，即流體的粘性應(yīng)力）上式右邊的第二部分可以定義為：稱為粘性應(yīng)力張量。

23（流體單位面積受到的總的表面力）=上式右邊的第二部分可以定義稱為粘性應(yīng)力張量。

對于理想流體（不考慮粘性的流體），=0，流體質(zhì)點(diǎn)間只有壓力的相互作用。24稱為粘性應(yīng)力張量。對于理想流體（不考慮粘性的流體），=0，4、牛頓流體