復(fù)變函數(shù)-經(jīng)典授課課件

引言在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程時引進了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為。在當(dāng)時，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什么好處。事實上，復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于L.Euler的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國.1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示，以及K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。引言在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano1復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其表示法一對有序?qū)崝?shù)（）構(gòu)成一個復(fù)數(shù)，記為.自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù),它是本課程的研究對象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運算,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補充;然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,為進一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).x,y分別稱為Z的實部和虛部,記作x=Re(Z),y=Im(Z),.稱為Z的共軛復(fù)數(shù)。復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程2與實數(shù)不同,一般說來,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個復(fù)數(shù)相等他們的實部和虛部都相等特別地，1.代數(shù)形式:復(fù)數(shù)的表示法1)點表示yz(x,y)xx0yr復(fù)平面實軸虛軸與實數(shù)不同,一般說來,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個復(fù)數(shù)32)向量表示----復(fù)數(shù)z的輻角(argument)

記作Argz=q.任何一個復(fù)數(shù)z0有無窮多個幅角,將滿足-p<q0

p的q0稱為Argz的主值,記作q0=argz.則Argz=q0+2kp=argz+2kp(k為任意整數(shù))0xyxyqz=x+iy|z|=r----復(fù)數(shù)z的模2)向量表示----復(fù)數(shù)z的輻角(argument)記作4當(dāng)z=0時,|z|=0,而幅角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:當(dāng)z=0時,|z|=0,而幅角不確定.52.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x=rcosq,y=rsinq,可以將z表示成三角表示式: 利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x=62)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出7§1.2復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.復(fù)數(shù)運算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:1.四則運算§1.2復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1+z2=z2+z1;z1z28加減法與平行四邊形法則的幾何意義:乘、除法的幾何意義:,,,定理1兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.加減法與平行四邊形乘、除法的幾何意義:,,,定理1兩個復(fù)數(shù)9等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個數(shù),就有等式右邊的一個數(shù)與之對應(yīng),反之亦然.

幾何上z1z2相當(dāng)于將z2的模擴大|z1|倍并旋轉(zhuǎn)一個角度Argz1.01等式Arg(z1z2)=Argz1+Ar10例2：設(shè)求：解：若取則若取則例2：設(shè)求：解：若取則若取則11;按照乘積的定義,當(dāng)z10時,有定理2兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.;按照乘積的定義,當(dāng)z10時,有定理2兩個復(fù)數(shù)的商的122.乘方與開方運算1）乘方DeMoivre公式：2.乘方與開方運算1）乘方DeMoivre公式：132）開方:若滿足，則稱w為z的n次方根，記為

于是推得2）開方:若滿足，則稱w為z的n次方根，記為于是推得14從而幾何解釋：z1/n的n個值就是以原點為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。例2求[解]因為所以從而幾何解釋：z1/n的n個值就是以原點為中心,r1/n為15即四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.1+iw0w1w2w3Oxy即四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂16§1.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例3將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

[解]通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)§1.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形很多17由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知線段的中點為例4求下列方程所表示的曲線:由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z18解：設(shè)z=x+iy

,方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。解：設(shè)z=x+iy,方程變?yōu)?iOxy19Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy,那末可20§1.4復(fù)數(shù)域的幾何模型---復(fù)球面0N§1.4復(fù)數(shù)域的幾何模型---復(fù)球面0N21x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).

對復(fù)平面內(nèi)任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系,

而N點本身可代表無窮遠(yuǎn)點,記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x222擴充復(fù)數(shù)域---引進一個“新”的數(shù)∞:擴充復(fù)平面---引進一個“理想點”:無窮遠(yuǎn)點

∞.約定:

擴充復(fù)數(shù)域---引進一個“新”的數(shù)∞:擴充復(fù)平面---引進23§1.4區(qū)域1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定的點集為z0的去心鄰域.包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi)且滿足|z|>M的所有點的集合,其中實數(shù)M>0,稱為無窮遠(yuǎn)點的鄰域.

即它是圓|z|=M的外部且包含無窮遠(yuǎn)點本身.不包括無窮遠(yuǎn)點本身的僅滿足|z|>M的所有點稱為無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域,也記作M<|z|<.0M|z|>M§1.4區(qū)域1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,24設(shè)G為一平面點集,z0為G中任意一點.如果存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點.

如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集平面點集D稱為一個區(qū)域,如果它滿足下列兩個條件:

1)D是一個開集;

2)D是連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D

的一條折線連接起來.設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點,這樣的點P稱為D的邊界點.D的所有邊界點組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.設(shè)G為一平面點集,z0為G中任意一點.如25區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作

D.

如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的.2.單連通域與多連通域

平面曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個方程

z=z(t) (a

t

b)

來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記26設(shè)C:z=z(t)(a

t

b)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點與終點.對于滿足a<t1<b,a

t2

b的t1與t2,當(dāng)t1

t2而有z(t1)=z(t2)時,點z(t1)稱為曲線C的重點.沒有重點的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線.如果簡單曲線C的起點與終點閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)設(shè)C:z=z(t)(atb)為一條連續(xù)曲線27任意一條簡單閉曲線C把整個復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集,其中除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界.簡單閉曲線的這一性質(zhì),其幾何直觀意義是很清楚的.內(nèi)部外部C任意一條簡單閉曲線C把整個復(fù)平面唯一地分28定義復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域,一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域定義復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲29§1.5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義定義設(shè)D是復(fù)平面中的一個點集,稱為復(fù)變函數(shù).其實質(zhì)上確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù)u,v.例如,考察函數(shù)w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函數(shù)w=z2

對應(yīng)于兩個二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy§1.5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義定義設(shè)D是復(fù)平面30在以后的討論中,D常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).2.映射的概念

函數(shù)w=f(z)在幾何上可以看做是把z平面上的一個點集D(定義集合)變到w平面上的一個點集G(函數(shù)值集合)的映射(或變換).如果D中的點z被映射w=f(z)映射成G中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW在以后的討論中,D常常是一個平面區(qū)域,稱31設(shè)函數(shù)w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2設(shè)函數(shù)w=z=x–iy;u=x,v=-y32設(shè)函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1設(shè)函數(shù)w=z2=(x+iy)2=x2-y2+33如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時,我們也稱集合D與集合G是一一對應(yīng)的.舉例：曲線在映射下的像

例題1

如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(34例題2例題3例題4

例題2例題3例題435§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的e>0,相應(yīng)地必有一正數(shù)d(e)(0<d

),使得當(dāng)0<|z-z0|<d時有|f(z)-A|<e,則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時的極限,記作或記作當(dāng)z

z0時,f(z)A.§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限

定義設(shè)函36

37

不存在的證明方法若則不存在且,不存在的證明方法若則不存在且,38

試證明在時無極限。設(shè)則從而設(shè)