【壓軸必考】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略（人教版） 二次函數(shù)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題（原卷版）

二次函數(shù)中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題類型一、定值問(wèn)題例1．已知拋物線與x軸交于和B兩點(diǎn)．(1)求出該拋物線的對(duì)稱軸（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若，對(duì)于該拋物線上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有．①求該拋物線的函數(shù)解析式；②若直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)（P，Q都不與A，B重合），直線AP，AQ分別與y軸交于點(diǎn)M，N，設(shè)M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為定值．例2.如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，直線（）分別交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），直線分別交軸、軸于點(diǎn)，，交拋物線軸右側(cè)部分于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若為直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，求當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；(3)求的值．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），且，與y軸交點(diǎn)為C．(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M是拋物線位于直線下方的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線的距離的最大值；(3)設(shè)直線（）與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)Ｑ在點(diǎn)P的右側(cè)），與直線交于點(diǎn)R．試證明：無(wú)論k取任何正數(shù)，恒成立．【變式訓(xùn)練2】如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)（_____，_____）和直線BC的解析式_______；(2)點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，若以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，直線，直線l交拋物線于點(diǎn)M、N，直線AM交y軸于點(diǎn)P，直線AN交y軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)為、，求證：的值為定值．【變式訓(xùn)練3】拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）．（1）若拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．（2）如圖（1），在（1）的條件下，直線l：y＝﹣x+4與拋物線交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），MN為線段AB上的兩個(gè)點(diǎn)，MN＝2，在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN為等腰直角三角形？若存在，求出M點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖（2），拋物線y＝ax2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)G，P點(diǎn)在點(diǎn)C左側(cè)拋物線上，Q點(diǎn)在y軸右側(cè)拋物線上，直線CQ交y軸于點(diǎn)F，直線PC交y軸于點(diǎn)H，設(shè)直線PQ解析式為y＝kx+t，當(dāng)S△HCQ＝2S△GCQ，試證明是否為一個(gè)定值．【變式訓(xùn)練4】如圖1，已知：拋物線過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)（在左邊），交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，交拋物線于兩點(diǎn)（不與重合），直線分別交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，試求此時(shí)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出它的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝4時(shí)：①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②當(dāng)點(diǎn)M位于x軸下方拋物線圖象上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)Q，求線段MQ的最大值；（2）過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試問(wèn)m+n的值是否會(huì)發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出m+n的值．類型二、定點(diǎn)問(wèn)題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（6，4）在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，D為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且∠DCA＝2∠CAB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點(diǎn)E、F，連接CE、CF分別交y軸于點(diǎn)M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，為拋物線上