【壓軸必考】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略（人教版） 二次函數(shù)中的面積問題（解析版）

二次函數(shù)中的面積問題類型一、面積最值問題例1．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為D，且過C（－4，m）．(1)求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在該拋物線上（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值，②連接BD，當(dāng)∠PCB＝∠CBD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)A（-5，0），B（-1，0）；C（-4，-3）；D（-3，-4）(2)①；②（0，5）或（，）【解析】(1)解：∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-4）；令y=0，則，解得或，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）；令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，-3）；(2)解：①設(shè)直線BC的解析式為，∴，∴，∴直線BC的解析式為，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E交BC于F，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，t+1），∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，△PBC的面積最大，最大為；②如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，∵∠PCB=∠CBD，∴，設(shè)直線BD的解析式為，∴，∴，∴直線BD的解析式為，∴可設(shè)直線PC的解析式為，∴，∴，∴直線PC的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）；例2．如圖，直線與拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、重合），過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，連接，是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)，并求出此時(shí)的面積．【答案】(1)；(2)存在或；(3)；【解析】(1)解：將代入中∴將、代入中解得：∴(2)設(shè)，則、令y=0代入中得，x=-2∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：∴，∴如圖：當(dāng)時(shí)，則，解得：（舍去），∴當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），，綜上，或(3)由（2）知∴的周長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，最大，∴如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，設(shè)BD與PC交于點(diǎn)M，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，-3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（-3，-4），∴,，，∴，∴∠BCD=90°，∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，∵∠CBD=∠PCB，∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，∴MD=MB，∴M為BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-2），設(shè)直線CP的解析式為，∴，∴，∴直線CP的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；綜上所述，當(dāng)∠PCB＝∠CBD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）或（，）；【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)；(1)求出此拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求的最大值；(3)如圖2，將線段OA繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍；【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)由題意，設(shè)拋物線的解析式為，把代入解析式解得：，

所以，拋物線的解析式為；(2)如圖1，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把，代入可得：，解得：，直線的解析式為，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)在直線上方，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為2；(3)如圖2，線段繞軸上的動(dòng)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，

，，當(dāng)在拋物線上時(shí)，，解得：，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，解得：或2，或時(shí)，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)S的最大值是，點(diǎn)P的坐標(biāo)是【解析】(1)解：∵二次函數(shù)過，兩點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為，∵二次函數(shù)過C點(diǎn)，∴，解得a＝1，∴即二次函數(shù)解析式為；(2)解：設(shè)直線解析式為：y＝kx＋b，∵，，∴，解得，∴直線的解析式為y＝﹣x－3，過點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∵點(diǎn)P在第三象限，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴點(diǎn).即S的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是.類型二、面積定值問題例1.已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，P是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)Q是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且和的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)（1+，1）【解析】(1)解：（1）將B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得：，解得：．∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3．(2)依照題意畫出圖形，如圖所示．設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），將點(diǎn)C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+3，∴P（2，1），M（2，3），∴S△PCM=CM?PM=2．設(shè)△QCM的邊CM上的高為h，則S△QCM=×2×h=2，∴h=2，∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，∴-x2+2x+3=1，解得：x1=1+，x2=1-（舍去），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，1）．【變式訓(xùn)練1】如圖，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，直角邊，分別在軸和軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且平行于軸．(1)求直線的解析式；(2)求過，兩點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，試判定與的大小關(guān)系；(4)若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e與的面積相等時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(，)或(，)或(，)【解析】(1)解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，且平行于軸，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為且，∵是等腰直角三角形，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，由題意得，解得，∴直線的解析式為；(2)解：∵拋物線過，兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為；(3)解：拋物線的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸直線為，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴(4)解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，且平行于軸，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)M作軸，交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)M的坐標(biāo)為(，)，則N的坐標(biāo)為(，)，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得或（舍，該點(diǎn)為點(diǎn)C），此時(shí)M的坐標(biāo)為(，)或(，)；當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的下方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)M作軸，交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)M的坐標(biāo)為(，)，則N的坐標(biāo)為(，)，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得此時(shí)M的坐標(biāo)為(，)或(，)；綜上可得，M的坐標(biāo)為(，)或(，)或(，)．【變式訓(xùn)練2】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)________；②過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，求出最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，；(2)①；②，(3)存在，或【解析】(1)解：點(diǎn)，在拋物線上．解得：拋物線的