2023年北京朝陽區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

北京市朝陽區(qū)20222023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)參考答案2023.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B（6）A（2）A（7）B（3）C（8）C（4）D（9）C（5）D（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（）24（12）5?n10（13）414（14）y=?（15）②③④4三、解答題（共6小題，共85分）（1613分）解：（Ⅰ）因為csinB=bcosC，所以sinCsinB=3sinBcosC．又因為B(0,π)，所以sinB0．所以tanC=3．又因為C(0,)，π所以C=．3π（Ⅱ）因為a+b=6，C=，3由余弦定理c2=a2+b2?2abcosC，得πc2=(a+b)2?2ab?2abcos=36?3ab．3a+b因為ab≤()2=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立，2所以c2≥9，解得c≥3．所以c的最小值為3．高三數(shù)學(xué)參考答案第18頁）（1713分）1為“高三（1根據(jù)題中數(shù)據(jù)，高三（1）班共訓(xùn)練10次，跳繩個數(shù)超過120個的共5次．512所以P(1)估計為=．10（Ⅱ）設(shè)事件k為“高三（kk=2,3,4．241224124623根據(jù)題中數(shù)據(jù)，P(2)估計為=，P(3)估計為=，P(4)估計為=．根據(jù)題意，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(X==P(AAAA)=P(A)P(A)P(A)P(A)；12341234(X==(AAAA)+P(AAAA)+P(AAAA)+P(AAAA)1234123412341234=(A)(A)(A)(A)+(A)(A)(A)(A)12341234+P(A)P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)；41234123(X==(AAAA)+P(AAAA)+P(AAAA)+P(AAAA)1234123412341234=(A)(A)(A)(A)+(A)(A)(A)(A)12341234+P(A)P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)；41234123P(X=4)=P(AAAA)=P(A)P(A)P(A)P(A)；12341234P(X=2)=1?P(X=0)?P(X=?P(X=?P(X=4)．124152437所以，P(X=0)估計為；P(X=估計為；P(X=估計為；24P(X=4)估計為；P(X=2)估計為．128153715+18+21+813所以估計為0+1+2+3+4==．242482412246（Ⅲ）在此次跳長繩比賽中，高三（3）班獲得冠軍的概率估計值最大．高三數(shù)學(xué)參考答案第28頁）（1814分）解：（Ⅰ）取的中點K,連接,.因為K,F分別是,的中點,1所以KF//AD且KF=AD.21又BE//AD且BE=AD，2所以KF//BE且KF=BE.故四邊形為平行四邊形.所以EF//BK.又因為EF平面PAB，平面PAB，所以EF//平面PAB.（Ⅱ）取中點O，連接,.在△PAD中，因為=，所以PO⊥AD.又因為平面⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD.故OP⊥OA,OP⊥OE.又在正方形ABCD中，OE⊥OA,所以,,兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)Oxyz，?設(shè)P(0,0,2t)(t0)，則O(0,0,0),B(2,4,0),D(2,0,0),?E(0,4,0)F(?0,t),.所以EB=(2,0,0)，EF=(??4,t)，DP=(2,0,2t).設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，則00020=n即令y=t，則x=0,z0=40．于是．n=(0,t,4)??+=0nEF=04y0tz00.又因為平面ABE的一個法向量為m=(0,0,1)，高三數(shù)學(xué)參考答案第38頁）mn4所以cosm,n==．|m||n|t2+16選擇條件①：⊥．則EFDP=0，即?2+t2=0．又t0，所以t=1．417此時cosm,n=．1741717由題知二面角F??A為銳角，所以其余弦值為．2選擇條件②：PD=EF．3則3222=2（?2（?2+t2，得t2=1．417此時cosm,n=．1741717由題知二面角F??A為銳角，所以其余弦值為．（1915分）AOP面積的最大值為ab，所以ab=1．1122又因為a=2，c2=a2?b2，所以b=1，c=3．x2所以橢圓C的方程為+y2=1，離心率為3．42當(dāng)直線PHPH的方程為x=?1△APQ∽△AEF．2233因為|PQ|=3，所以|EF|=|PQ|=2．不合題意．3②當(dāng)直線PH的斜率存在時，設(shè)直線PH的方程為y=k(x+．y=k(x+由x2+4y2=4得+4k2)x2+8k2x+(4k2?4)=0．顯然0．高三數(shù)學(xué)參考答案第48頁）8k21+4k24k2?41+4k2設(shè)P(x,y)，Q(x,y)，且x2，則x+x=?，xx=．11221121211?2直線的方程為y=(x?2)．?21?2y1?2令x=0，得點E的縱坐標(biāo)yE=，則E(0,1)．1?2y22?2直線AQ的方程為y=?2y(x?2)．同理可得F(0,2)．2?2?2y1?1?22?2?2yy(x?2)?y(x?2)2112所以|EF|=|2|=2||(x?2)(x?2)12k(x+1)(x?2)?k(x+1)(x?2)=2|2112|(x?2)(x?2)121?x2=6|k||=2．xx?2(x+x)+41212所以3|k||x?x|=|xx?2(x+x)+4|．121212即3k(x+x)2?4xx=xx?2(x+x)+4．121212128k21+4k24k2?44k2?4=|8k21+4k2可得3|k|(?)2?4+2+4|．1+4k21+4k24k2+11+4k236k21+4k26化簡得3|k|=．解得k=．6所以直線PH的方程為x?6y+1=0或x+6y+1=0．（2015分）f(x)的定義域為(0,+)．x1?xax2由f(x)=得f(x)=．a(chǎn)x令f(x)=0得x=e．因為a0，所以當(dāng)x(0,e)時，f(x)0；當(dāng)x(e,+)時，f(x)0．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e,)．+高三數(shù)學(xué)參考答案第58頁）（Ⅱ）由a0，依題意，x?ax2+x≤0在x(0,)上恒成立．+設(shè)g(x)=x?ax2+x，1?2ax2+x+1則g(x)=?2ax+1=．xx1?1+8a4a1+1+8a4a令g(x)0，得1==02=0．當(dāng)x(0,2)時，g(x)0，所以在上單調(diào)遞增；g(x)(0,x)2當(dāng)x(2,+)時，g(x)0g(x)(x2,+)，所以在上單調(diào)遞減．故g(x)=g(x)=x?ax22+x2．222+12又由g(x)0得ax22==．2x+1x?1所以g(x2)x2=?2+=x2x2+2．22x?1依題意需g(x)≤0，即2t?1+2≤0．2設(shè)h(t)t=+ht)(0,+)，則易知在為增函數(shù)．2又h0，=所以對任意的t，有h(t)≤0；對任意的t+)ht)0，有．1+1+8a4a所以0x21，即01，解得a≥1．a(chǎn)+)．所以的取值范圍為xx（Ⅲ）由21120(12)得+=1+2=0x1,x1，且．1212x由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時，≤x?1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．xx11?1x所以，22?1．12xx1+2x+x?2x+x?20．12兩式相加得，即1221故122．+高三數(shù)學(xué)參考答案第68頁）（2115分）a=6a=7a=8．解（Ⅰ）55，=，，867（Ⅱ）對任意n4，存在i2,若i4或n?i4，，使得a=a+a．n?ini則ai或n?i又可以寫成數(shù)列中某兩項的和，如a=a+a(i+i=i)．ii1212依此類推，存在j,j,1,2,3,4}，使得an=a+a+2，12j1其中j+j+n．12所以存在p,p,p,pN，使得a=pa+pa+pa+pa，1234n11223344且p+2p+3p+4p=n．1234a設(shè)4=t，則當(dāng)n≤4時，an≤nt．4當(dāng)n4時，a=pa+pa+pa+pa≤pt+pt+pt+ptn112233441234=(p+2p+3p+4p)t=nt．1234anna所以，對任意nN，均有an≤nt，即4．≤4a（Ⅲ）令b=nt?a，其中t=4．由（Ⅱ）知n≥0，4=0.nn4由i+4(k?i+4k=[i+4(k+t?i+4(k?[(i+4k)t?i+4k]=t?i+4(k+i+4k=(a4+i+4k)?i+4(k1)0，得i+4k≥i+4(k．所以，當(dāng)i=1,2,3,4時，i≥i+4≥i+8≥≥.由（Ⅱ）知b=(p+2p+3p+4p)t?(pa+pa+pa+pa)n123411223344=pt?a)+p(2t?a)+pt?a)+p(4t?a)11223344=pb+pb+pb+pb.11223344高三數(shù)學(xué)參考答案第78頁）若b=b=b=b=0，則b=0．此時a=nt，當(dāng)n4時，a=a+a.1234nnn4n?4若b,b,b不全為0，123設(shè)M=max{b,b,b}，m為b,b,b中最小的正數(shù)，則b≤M．123123nMMmMm當(dāng)某個b0時，必有p≤．否則i，則n≥pbm=M