模糊數(shù)學(xué)課件

參考書目模糊數(shù)學(xué)劉應(yīng)明,任平編上海教育出版社出版模糊數(shù)學(xué)教程蔣譯軍編國防出版社出版醫(yī)學(xué)信息分析方法郭政，徐晶編哈爾濱出版社出版醫(yī)學(xué)數(shù)量分析劉定遠(yuǎn)編北醫(yī)大，中國協(xié)和醫(yī)大出版參考書目模糊數(shù)學(xué)劉應(yīng)明,任平編上1第一章緒論

1.1模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展1.2模糊性1.3模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用第一章緒論1.1模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展21.1模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展1、數(shù)學(xué)的定義

19世紀(jì)之前:數(shù)學(xué)是關(guān)于物質(zhì)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。近代科學(xué)的特點(diǎn)：用精確定義的概念和嚴(yán)格證明的定理描述現(xiàn)代事物數(shù)量的關(guān)系和空間形式，用精確的實(shí)驗(yàn)方法和精確的測量計(jì)算探索客觀世界的規(guī)律，建立嚴(yán)密的理論體系。1.1模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展1、數(shù)學(xué)的定義近代科學(xué)的特點(diǎn)：用32、數(shù)學(xué)發(fā)展的三個(gè)階段(1)數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)幾何圖形的科學(xué)；(2)數(shù)學(xué)是研究量的變化和幾何圖形變換的科學(xué)；(3)數(shù)學(xué)是作為關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界一切普遍性的數(shù)量形式和空間形式的科學(xué)。即是說：任何的學(xué)科和對(duì)象都會(huì)有數(shù)學(xué)的應(yīng)用。19世紀(jì)之后:數(shù)學(xué)是從量的側(cè)面研究客觀世界的一門學(xué)科。2、數(shù)學(xué)發(fā)展的三個(gè)階段即是說：任何的學(xué)科和對(duì)象都會(huì)有數(shù)學(xué)的應(yīng)4現(xiàn)代數(shù)學(xué)分為三類：

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（微積分）應(yīng)用數(shù)學(xué)（模糊數(shù)學(xué)）計(jì)算數(shù)學(xué)一個(gè)沒有二義性并且意義明確的陳述句叫做一個(gè)命題，命題又分為真命題和假命題。理發(fā)師悖論現(xiàn)代數(shù)學(xué)分為三類：一個(gè)沒有二義性并且意義明確的陳述句叫做一個(gè)5一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著：誰給這位理發(fā)師刮臉呢？理發(fā)師悖論一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著：誰給這位理發(fā)師刮臉呢？理63、模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生（1）1874年德國數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)表集合論文（2）至今集合還沒有一個(gè)精確的定義（3）1965年扎德的《模糊集合》標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生3、模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生7

扎德（Zadeh，L.A.；1921～）

美國自動(dòng)控制專家，美國工程科學(xué)院院士。1921年2月生于蘇聯(lián)巴庫。1949年獲哥倫比亞大學(xué)電機(jī)工程博士。現(xiàn)任伯克利加利福尼亞大學(xué)電機(jī)工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授。因發(fā)展模糊集理論的先驅(qū)性工作而獲電氣與電子工程師學(xué)會(huì)(IEEE)的教育勛章。

扎德（Zadeh，L.A.；1921～）

8

1965年，扎德在《信息與控制》雜志第8期上發(fā)表《模糊集》的論文,引起了各國數(shù)學(xué)家和自動(dòng)控制專家們的注意。他通過引進(jìn)模糊集（邊界不明顯的類）提供了一種分析復(fù)雜系統(tǒng)的新方法。他提出用語言變量代替數(shù)值變量來描述系統(tǒng)的行為，使人們找到了一種處理不確定性的方法，并給出一種較好的人類推理模式。20年來他所開創(chuàng)的模糊集領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展。

1965年，扎德在《信息與控制》雜志第8期上發(fā)表9與精確性相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價(jià)值的.甚至可以這樣說，有時(shí)模糊性比精確性還要好.模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法.眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的，而模糊數(shù)學(xué)是用精確的數(shù)學(xué)方法來處理過去無法用數(shù)學(xué)描述的模糊事物.與精確性相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有101.2模糊性（模糊數(shù)學(xué)的基本概念）1.2.1模糊性的基本概念清晰事物:

有些事物可以根據(jù)某種精確標(biāo)準(zhǔn)對(duì)他們進(jìn)行界限明確地認(rèn)識(shí)，從而得出是否明確的斷言，此類事物稱之為清晰事物。清晰性：清晰事物具有的明確類屬特性。1.2模糊性（模糊數(shù)學(xué)的基本概念）1.2.1模糊性11模糊事物：有些事物無法找出它們精確的分類標(biāo)準(zhǔn)，這類事物的類屬是逐步過渡的，即從屬于某類事物到不屬于某類事物是逐漸變化的，不同類別之間不存在截然分明的界限，這類事物稱為模糊事物。模糊性：事物的這種不清晰類屬特性稱之為模糊性。說明：凡在類屬問題上能判斷或是或非的對(duì)象，就是清晰事物；凡在類屬問題上只能區(qū)別成都等級(jí)的對(duì)象，就是模糊事物。模糊事物：有些事物無法找出它們精確的分類標(biāo)準(zhǔn)，這類事物的類屬12狀態(tài)類屬實(shí)例清晰事物清晰的界限分明行星，整數(shù)，雞蛋相對(duì)的模糊事物不清晰的界限模糊高山，優(yōu)秀，胖子絕對(duì)的注意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不清晰的。狀態(tài)類屬實(shí)例清晰事物清晰的界限分明行星，整數(shù)，雞蛋相對(duì)的模糊13

1、模糊性與近似性模糊性問題本身有精確解，這時(shí)的不精確性來源于認(rèn)識(shí)條件的局限性和認(rèn)識(shí)過程發(fā)展的不充分性。近似性問題本身無精確解，這時(shí)的不精確性自然來源于對(duì)象自身固有的狀態(tài)上的不確定性。它僅是模糊現(xiàn)象中的一種。

1.2.2與模糊性易混淆的幾個(gè)概念1、模糊性與近似性1.2.2與模糊性易混淆的幾個(gè)概念142、模糊性與隨機(jī)性

確定性（1）確定性（2）服從性信息觀點(diǎn)模糊性質(zhì)不確定內(nèi)在不確定不服從排中律關(guān)系到信息的意義隨機(jī)性狀態(tài)屬性確定外在不確定服從排中律只涉及信息的量3、模糊性與含混性2、模糊性與隨機(jī)性確定性（1）確定性（2）服從性信息觀點(diǎn)模糊15一個(gè)命題之所以是模糊的，原因在于所涉及的類本身是模糊的。一個(gè)命題是否帶有含混性與其應(yīng)用對(duì)象或與上下文有關(guān)，而模糊性卻非如此。一個(gè)含混的命題既是模糊的，又是二義的，它對(duì)一個(gè)特定的目的只提供了不充分的信息。一個(gè)命題之所以是模糊的，原因在于所涉及的類本身一個(gè)命題是否帶161.3模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用

模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的應(yīng)用.1.3模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中17例如：（自然科學(xué)中）計(jì)算機(jī)圖像識(shí)別，手書文字自動(dòng)識(shí)別，癌細(xì)胞識(shí)別，白血球的識(shí)別與分類，機(jī)器人控制，計(jì)算機(jī)醫(yī)療診斷，疾病預(yù)報(bào)，各類信息的分類與評(píng)估、天氣預(yù)報(bào)、氣候模擬試驗(yàn)等等。例如（社會(huì)科學(xué)中）模糊語言、模糊概念、對(duì)特定的集體、個(gè)人在給定因素方面的評(píng)價(jià)、分類、排序等等。例如：（自然科學(xué)中）計(jì)算機(jī)圖像識(shí)別，手書文字自動(dòng)識(shí)別，癌細(xì)胞18

模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法.眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的.未來數(shù)學(xué)將分為三大類：第一代是經(jīng)典數(shù)學(xué)，第二代是統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)，第三代是模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法.眾所周知19第二章模糊集合2.1經(jīng)典集合論概述2.2模糊集合概念2.3隸屬函數(shù)的構(gòu)造2.4模糊集合代數(shù)運(yùn)算2.5截集2.6分解定理2.7模糊集合度量第二章模糊集合2.1經(jīng)典集合論概述202.1.1集合的基本概念定義2-1：具有某種共同性質(zhì)事物的全體稱為集合，而每一個(gè)個(gè)別事物稱為該集合的“元素”。2.1經(jīng)典集合論概述2.1.1集合的基本概念定義2-1：具有某種共同性質(zhì)事21說明:（1）集合是由元素組成的，它可以理解為存在于世上的任何客觀物體，無論是具體的還是抽象的；（2）經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此異，即無重復(fù)性；（3）范圍邊界分明,即一個(gè)元素x要么屬于集合A(記作x

A),要么不屬于集合(記作x

A)，二者必居其一；說明:22（4）我們研究的對(duì)象的范圍叫論域，也叫全集，通常用U表示，它本身是一種特殊的集合，他的選取一般不唯一，應(yīng)根據(jù)具體研究的需要而定。（5）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相關(guān)的事物都可以是同一集合中的元素。（4）我們研究的對(duì)象的范圍叫論域，也叫全集，通常用U表示，它23一個(gè)概念的形成大致需要經(jīng)過兩方面：一方面是從內(nèi)在條件把握各個(gè)有關(guān)因素對(duì)這個(gè)概念所作的規(guī)定，即此概念的內(nèi)在涵義，我們稱其為概念的“內(nèi)涵”。另一方面就是此概念所包含的東西，也就是符合此概念事物的全體，我們稱其為概念的“外延”。外延實(shí)際上是表現(xiàn)概念的一個(gè)集合。內(nèi)涵和外延是刻畫概念的兩個(gè)方面，他們是相輔相成的。一個(gè)概念的形成大致需要經(jīng)過兩方面：24經(jīng)典集合論的基本要求：二者必居其一，且只居其一。幾種常用的集合分類：

1、有限集合與無限集合

2、可列集合和不可列集合

3、空集與全集經(jīng)典集合論的基本要求：二者必居其一，且只居其一。25定義2-2：A是論域U中的集合，映射f：X

Y集合A的特征函數(shù)：定義2-2：A是論域U中的集合，映射f：XY26說明：1、特征函數(shù)是一個(gè)布爾函數(shù)；2、論域中屬于A的元素，其特征函數(shù)為1，不屬于A的元素，其特征函數(shù)為0，絕不存在特征值介于0和1之間的任何元素；3、特征函數(shù)對(duì)將經(jīng)典集合論推廣到模糊集合論起到極為重要的作用。說明：27集合的表示法：（1）枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；（2）描述法，A={x|P(x)}.（3）特征函數(shù)法（4）文氏圖集合的表示法：28

集合論中的基本概念1、子集與包含：集合A中的每一個(gè)元素都是集合B的元素，記作：AB。2、相等:兩集合互相包含。3、冪集：由集合A的所有子集作為元素構(gòu)成的集合。4、笛卡爾積（直積）

X×Y={(X,Y)︱x∈X，y∈Y}。集合論中的基本概念1、子集與包含：集合A中的每一個(gè)元素292.1.2集合的運(yùn)算及其性質(zhì)1、集合間的基本運(yùn)算定義2-3令A(yù),B為論域U中任意兩個(gè)集合，則定義：①并集：A∪B={x|x

A或x

B}；②交集：A∩B={x|x

A且x

B}；③差集：A—B={x|x

A且x

B}④補(bǔ)集：Ac

={x|x

A}.2.1.2集合的運(yùn)算及其性質(zhì)1、集合間的基本運(yùn)算定義230通過特征函數(shù)來定義集合的運(yùn)算定義2-4

令A(yù),B為論域U中任意兩個(gè)集合，則定義：通過特征函數(shù)來定義集合的運(yùn)算定義2-4令A(yù),B為論域U31

①冪等律：A∪A=A，A∩A=A；②交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；③結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；④吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；

集合的運(yùn)算的基本性質(zhì)設(shè)A,B,C為論域U中的三個(gè)任意集合①冪等律：A∪A=A，A∩A=A；集合的運(yùn)算的32⑥0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪

=A，A∩

=

；⑦還原律：(Ac)c

=A；⑧對(duì)偶律：(A∪B)c

=Ac∩Bc，(A∩B)c

=Ac∪Bc；⑨排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；⑤分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；⑥0-1律：A∪U=U，A∩U=A；332.1.3關(guān)系

定義2-5

X

Y的子集R稱為從X到Y(jié)的二元關(guān)系，特別地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱之為X上的二元關(guān)系.二元關(guān)系簡稱為關(guān)系.2.1.3關(guān)系定義2-5XY的子集34若(x,y)R，則稱x與

y有關(guān)系，記為

R(x,y)=1；若(x,y)R，則稱x

與

y沒有關(guān)系，記為

R(x,y)=0.

映射R:X

Y{0,1}實(shí)際上是X

Y

的子集R上的特征函數(shù).若(x,y)R，則稱x與y有關(guān)系，記35說明：1、R是集合X到集合Y的關(guān)系，記作2、關(guān)系R的定義域，記為D(R)3、關(guān)系R的值域,記為C(R)4、所有的集合運(yùn)算及其性質(zhì)在關(guān)系中也適用說明：365、令集合X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,ym},X到Y(jié)存在關(guān)系R，則關(guān)系R的“關(guān)系矩陣”為MR=(rij)n*m，其中關(guān)系矩陣是布爾矩陣。5、令集合X={x1,x2,…,xn}，Y={37定義2-6設(shè)R是一個(gè)集合X到集合Y的關(guān)系，則從Y到X的關(guān)系RT={(y,x)∣(x,y)∈R}

稱為R的逆關(guān)系。定義2-7設(shè)R是集合X到集合Y的關(guān)系,S是集合Y到集合Z的關(guān)系,則稱R?S為R與S的合成關(guān)系。關(guān)系R自身的合成運(yùn)算稱為R的“冪運(yùn)算”，記為R?R。定義2-6設(shè)R是一個(gè)集合X到集合Y的關(guān)系，則從Y到X的關(guān)38關(guān)系的三大特性：

設(shè)R為X上的關(guān)系

(1)自反性：若X上的任何元素都與自己有關(guān)系R，即R(x,x)=1，則稱關(guān)系R具有自反性；

(2)對(duì)稱性：對(duì)于X上的任意兩個(gè)元素x,y，若x與y有關(guān)系R時(shí)，則y與x也有關(guān)系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那么稱關(guān)系R具有對(duì)稱性；

關(guān)系的三大特性：設(shè)R為X上的關(guān)系39(3)傳遞性：對(duì)于X上的任意三個(gè)元素x,y,z，若x與y有關(guān)系R，y

與z也有關(guān)系R時(shí)，則x與z也有關(guān)系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那么稱關(guān)系R具有傳遞性.

(3)傳遞性：對(duì)于X上的任意三個(gè)元素x,y,z，若x40兩類關(guān)系定義2-8設(shè)R是非空集合X上的關(guān)系，若R具有自反性和對(duì)稱性，則稱R是集合X上的“相似關(guān)系”。定義2-9設(shè)R是非空集合X上的關(guān)系，若R具有自反性，對(duì)稱性和傳遞性，則稱R是集合X上的“等價(jià)關(guān)系”。兩類關(guān)系定義2-8設(shè)R是非空集合X上的關(guān)系，若R具有自41設(shè)R是集合X上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任意給定的x∈X，由所有與x有關(guān)系的元素組成的集合稱為x的“等價(jià)類”，記為[x]R，即設(shè)R是集合X上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任意給定的x∈X422.1.4映射定義2-10

設(shè)f是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系，若對(duì)于任意x∈X，存在唯一的y∈Y，使得（x，y)∈f，則稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一個(gè)“映射”,記為f:X→Y。映射分類（1）單射（2）滿射（3）1-1映射2.1.4映射定義2-10設(shè)f是從集合X到集合43定義2-11

設(shè)f:X→Y是1-1對(duì)應(yīng)的映射，則f所構(gòu)成的逆關(guān)系稱之為f的“逆映射”。記為f-1:Y→X。注意：并非任何映射都有逆映射。定義2-11設(shè)f:X→Y是1-1對(duì)應(yīng)的映射，則f所構(gòu)成442.2模糊集合概念定義2-12設(shè)U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]

確定了一個(gè)U上的模糊子集A或

，映射A(x)或

稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸屬程度.2.2模糊集合概念定義2-12設(shè)U是論域，稱映射A45說明：

（1）使A(x)=0.5的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性.

（2）當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.

（3）模糊集合A的每個(gè)元素(x,A(x))都能明確的表現(xiàn)出x的隸屬等級(jí)。A(x)的值越大，x的隸屬程度就越高。（4）模糊集合的分類：離散型，連續(xù)性說明：（1）使A(x)=0.5的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此46定義2-13

由論域U上所有模糊集合構(gòu)成的集合F(x)稱為模糊冪集。模糊集合表示法（1）序偶表示法（向量表示法）（2）扎德方法（3）隸屬函數(shù)方法定義2-13由論域U上所有模糊集合構(gòu)成的集合F(x)47經(jīng)典集合與模糊集合的區(qū)別經(jīng)典集合模糊集合表達(dá)概念外延內(nèi)涵函數(shù)表示特征函數(shù)隸屬函數(shù)自變量范圍0，1[0，1]邊界轉(zhuǎn)變從屬于到不屬于轉(zhuǎn)變是突變的從屬于到不屬于轉(zhuǎn)變是逐漸的經(jīng)典集合與模糊集合的區(qū)別經(jīng)典集合模糊集合表達(dá)概念外延內(nèi)涵函數(shù)48例以年齡作為論域，取U=[0,200],Zadeh給出了“年老”與“年輕”這兩個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)如下：例以年齡作為論域，取U=[0,200],Zadeh492.3隸屬函數(shù)構(gòu)造2.3.1概述構(gòu)造隸屬函數(shù)的常用方法（1）例證法主要思想：從已知的有限個(gè)隸屬值A(chǔ)(x)中來估計(jì)論域U上的模糊集合A的隸屬函數(shù)。（2）模糊統(tǒng)計(jì)法2.3隸屬函數(shù)構(gòu)造2.3.1概述50（3）蘊(yùn)含解析定義法它是根據(jù)微積分的理論來確定隸屬函數(shù)。（4）二元對(duì)比法采用對(duì)比的方法確定隸屬值。（5）三分法（6）模糊分布法從給定的一系列模糊函數(shù)解析式選擇出合適的函數(shù)作為自己的模糊函數(shù)。（7）經(jīng)驗(yàn)方法請(qǐng)若干專家對(duì)論域中的每個(gè)元素給出一個(gè)隸屬度的方法。（3）蘊(yùn)含解析定義法512.3.2模糊統(tǒng)計(jì)模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基本原理（4個(gè)要素）：（1）論域U（2）U中的一個(gè)元素U0（3）U中的一個(gè)邊界可變的普通集合A*，它聯(lián)系于一個(gè)模糊集合A及相應(yīng)的模糊概念a（4）條件S，它聯(lián)系著按概念a所進(jìn)行的劃分過程的全部主客觀因素，它制約著A＊的邊界的改變。

2.3.2模糊統(tǒng)計(jì)52說明：1、模糊統(tǒng)計(jì)方法體現(xiàn)了用確定的手段去把握和研究模糊性。

2、通過部分人評(píng)分的方法來確定隸屬度是一種廣泛使用的方法。說明：1、模糊統(tǒng)計(jì)方法體現(xiàn)了用確定的手段去把握和研究模糊性。53例：為在年齡論域中建立年輕人的模糊集合的隸屬函數(shù)，現(xiàn)進(jìn)行抽樣調(diào)查。被查人先認(rèn)真考慮年輕人的含義后，提出自己認(rèn)為符合年輕人這一概念的最合適的年齡區(qū)間。這樣實(shí)質(zhì)上是隨機(jī)地將年輕人這個(gè)模糊概念明確化。下表列出了對(duì)130人進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果：數(shù)據(jù)隸屬頻率例：為在年齡論域中建立年輕人的模糊集合的隸屬函數(shù)，現(xiàn)進(jìn)行抽樣542.3.3模糊分布常用類型1、偏小型（1）降半矩形分布（2）降半Г形分布（3）降半正態(tài)分布（4）降半柯西分布（5）降半梯形分布（6）降嶺形分布2.3.3模糊分布552、偏大型（1）升半矩形分布（2）升半Г形分布（3）升半正態(tài)分布（4）升半柯西分布（5）升半梯形分布（6）升嶺形分布3、中間型（1）矩形分布（2）Г形分布（3）正態(tài)分布（4）柯西分布（5）梯形分布（6）形分布2、偏大型562.3.4模糊二元對(duì)比法將論域中元素兩兩進(jìn)行比較時(shí)，能夠較客觀的比出兩者到底誰隸屬于該模糊集的程度高。將這種模糊認(rèn)識(shí)數(shù)量化，最后進(jìn)行總體排序，再?zèng)Q定隸屬函數(shù)的方法，統(tǒng)稱為模糊二元對(duì)比法。2.3.4模糊二元對(duì)比法將論域中元素兩兩進(jìn)行比較時(shí)，能夠57擇優(yōu)比較法例：論域?yàn)?個(gè)國家構(gòu)成的集合，要通過比較確定各個(gè)國家屬于“經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)”這個(gè)模糊概念的隸屬度。選1000名懂經(jīng)濟(jì)的人逐次對(duì)每兩個(gè)國家作對(duì)比，并賦予優(yōu)勝者1分，失敗者0分，每人需做10次對(duì)比，則有結(jié)果：擇優(yōu)比較法58u1u2u3u4u5和

u110102

u200101

u311103

u400000

u511114u1u2u3u4u5和u110102u20010159u1u2u3u4u5和隸屬度次序

u1054560064049922840.22841

u2455037735055017320.17324

u340062303293116630.16635

u4360650671036020410.20413

u5501450689640022800.22802u1u2u3u4u5和隸屬度次序u10545600640602.4模糊集合代數(shù)運(yùn)算2.4模糊集合代數(shù)運(yùn)算61模糊集合的關(guān)系模糊集合的關(guān)系62模糊數(shù)學(xué)課件63模糊集運(yùn)算的基本性質(zhì)模糊集運(yùn)算的基本性質(zhì)64模糊數(shù)學(xué)課件65（德·莫根定律）（德·莫根定律）66

模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即

A∪Ac

U，A∩Ac

.

模糊集不再具有“非此即彼”的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征.模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外67例：設(shè)論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}為一商品集，在U上定義兩個(gè)模糊集A=“商品質(zhì)量好”，B=“商品質(zhì)量壞”，且設(shè)=(0.80,.55,0.0,0.30,0.60,1)，

=(0.10,0.21,0.86,0.60,0.0,0.50),則“商品質(zhì)量不好”的模糊集是=(0.20,0.45,1.0,0.70,0.40,0.0)

易得：例：設(shè)論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}為一商品682.5截集定義2-14

設(shè)A為論域X中的模糊集合，∈[0,1]，定義A的“

截集”為集合(A)

=A

={x|A(x)≥

}，實(shí)數(shù)稱為閾值或?yàn)樵摻丶娘@著性水平。說明：模糊集的

-截集A

是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬度不小于

的成員構(gòu)成.2.5截集定義2-14設(shè)A為論域X中的模糊集合，69

定理2-2

設(shè)A,B(U)(A,B是論域U的兩個(gè)模糊子集)，

,[0,1]，于是有

-截集的性質(zhì)：(1)A

B

A

B

；(2)

≤

A

A

；(3)(A∪B)

=A

∪B

，

(A∩B)

=A

∩B

.定理2-2設(shè)A,B(U)(A,B是論域U的70定義2-15設(shè)A為論域X中的模糊集合，定義①A的“核”為KerA={X∣A(x)=1}②A的“支集”為SuppA={X∣A(x)>0}③若KerA≠Φ，則稱A為“正規(guī)模糊集”說明：①KerA=A1②SuppA=A0模糊數(shù)學(xué)課件712.6分解定理定理2-5（分解定理）設(shè)A(U)，x

A，則A(x)=∨{

︱

[0,1]，x

A

}定理2-6令A(yù)為論域U中的模糊集合，則2.6分解定理定理2-5（分解定理）設(shè)A(U)722.7模糊集合度量2.7.1模糊集合間的距離2.7模糊集合度量2.7.1模糊集合間的距離732.7.2模糊度兩類常用的模糊度1、距離模糊度

2、模糊熵2.7.2模糊度兩類常用的模糊度2、模糊熵742.7.3貼近度2.7.3貼近度75說明：1、性質(zhì)（1）說明兩相同的模糊集合的貼近度最大;2、性質(zhì)（2）要求貼近度映射具有對(duì)稱性;3、性質(zhì)（3）描述了兩個(gè)較“接近”的模糊集合的貼近度也較大.說明：76模糊數(shù)學(xué)課件77模糊數(shù)學(xué)課件78模糊集合度量公式的一般選用方法（1）選用距離公式時(shí)，應(yīng)考慮選用簡單實(shí)用的海明距離公式，（2）手工計(jì)算時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選用格貼近度。（3）使用計(jì)算機(jī)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選用海明公式。（4）當(dāng)隸屬函數(shù)具有多峰曲線時(shí)，可先將其切分為若干個(gè)單峰區(qū)間后再進(jìn)行處理。模糊集合度量公式的一般選用方法（1）選用距離公式時(shí)，應(yīng)考慮選792.7.4模糊模式識(shí)別一、最大隸屬原則1、最大隸屬原則Ⅰ2.7.4模糊模式識(shí)別一、最大隸屬原則1、最大隸屬原則Ⅰ802、最大隸屬原則Ⅱ2、最大隸屬原則Ⅱ81二、擇近原則二、擇近原則82多個(gè)特性的擇近原則多個(gè)特性的擇近原則83第三章模糊關(guān)系(fuzzyrelation)3.1模糊關(guān)系的基本概念3.2模糊矩陣與截矩陣3.3模糊關(guān)系的合成3.4幾種重要的模糊關(guān)系第三章模糊關(guān)系(fuzzyrelation)3.1843.1模糊關(guān)系的基本概念3.1模糊關(guān)系的基本概念85由于模糊關(guān)系是笛卡爾乘積集合中的模糊集合，所以模糊集和運(yùn)算定義和性質(zhì)也完全適用于模糊關(guān)系，即：由于模糊關(guān)系是笛卡爾乘積集合中的模糊集合，所以模糊集和運(yùn)算定86模糊數(shù)學(xué)課件873.2模糊矩陣與截矩陣3.2.1模糊矩陣及其運(yùn)算3.2模糊矩陣與截矩陣3.2.1模糊矩陣及其運(yùn)算88說明：1、此關(guān)系式實(shí)際上是一個(gè)普通的二元關(guān)系，它僅給出了正常人的標(biāo)準(zhǔn)身高與體重間的關(guān)系。

2、以此關(guān)系式為基礎(chǔ)產(chǎn)生出的模糊關(guān)系表R(x,y)40kg50kg60kg70kg80kg14010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81說明：1、此關(guān)系式實(shí)際上是一個(gè)普通的二元關(guān)系，它僅給出了R(89模糊數(shù)學(xué)課件90模糊數(shù)學(xué)課件91模糊數(shù)學(xué)課件92模糊數(shù)學(xué)課件933.2.2模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)3.2.2模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)94模糊數(shù)學(xué)課件953.2.3模糊矩陣的截矩陣定義3-7

設(shè)R=(rij)m×n,對(duì)任意的

∈[0,1]，稱R

=(rij(

))m×n,為模糊矩陣R的

-截矩陣,其中當(dāng)rij≥

時(shí)，rij(

)=1；當(dāng)rij＜

時(shí)，rij(

)=0.顯然，R的

-截矩陣為布爾矩陣.

3.2.3模糊矩陣的截矩陣定義3-7設(shè)96模糊數(shù)學(xué)課件973.2.4模糊矩陣的轉(zhuǎn)置3.2.4模糊矩陣的轉(zhuǎn)置98模糊數(shù)學(xué)課件993.3模糊關(guān)系的合成3.3模糊關(guān)系的合成100說明：1、僅當(dāng)被乘矩陣的列數(shù)與乘矩陣的行數(shù)相同時(shí)，兩矩陣的合成才有意義；

2、模糊矩陣的合成不滿足交換律。說明：1、僅當(dāng)被乘矩陣的列數(shù)與乘矩陣的行數(shù)相同時(shí)，101模糊關(guān)系的合成具有如下性質(zhì)：模糊關(guān)系的合成具有如下性質(zhì)：102例：設(shè)X={x1,x2}表示外科醫(yī)生集,Y={y1.y2.y3.}為手術(shù)方案集，Z={z1.z2}為外科病人集，定義為醫(yī)生對(duì)方案的“把握性高”關(guān)系，為方案對(duì)病人“效果好”的關(guān)系，為“成功率高”的關(guān)系，且:0.9

0.5

0.4

x20.5

0.7

0.8

x1

y3

y2y1z1z2y10.70.9y20.60.7y30.90.8例：設(shè)X={x1,x2}表示外科醫(yī)生集,Y={y1.y2.y103試求,并指出治療z1應(yīng)由哪位醫(yī)生，采用哪個(gè)方案成功率最高？試求,并指出治療z1應(yīng)由哪位1043.4幾種重要的模糊關(guān)系3.4.1模糊關(guān)系的三大性質(zhì)說明：1、在有限論域中，自反模糊矩陣表示一個(gè)自反模糊關(guān)系；

2、自反模糊矩陣是主對(duì)角線元素均為1的方陣。3.4幾種重要的模糊關(guān)系3.4.1模糊關(guān)系的三大性質(zhì)105說明：①在有限論域中，對(duì)稱模糊矩陣表示一個(gè)對(duì)稱模糊關(guān)系；②對(duì)稱模糊矩陣必定是對(duì)稱方陣。說明：①在有限論域中，對(duì)稱模糊矩陣表示一個(gè)對(duì)稱106模糊數(shù)學(xué)課件1073.4.2模糊相似關(guān)系和等價(jià)關(guān)系定義3-15：設(shè)R為論域U上的模糊關(guān)系，若R具有自反性和對(duì)稱性，則稱R為U上的“模糊相似關(guān)系”。并且當(dāng)U有限時(shí)，與R對(duì)應(yīng)的模糊矩陣為“模糊相似矩陣”。3.4.2模糊相似關(guān)系和等價(jià)關(guān)系定義3-15：設(shè)R為論108定義3-16：設(shè)R為論域U上的模糊關(guān)系，若R具有自反性,對(duì)稱性和傳遞性，則稱R為U上的“模糊等價(jià)關(guān)系”。并且當(dāng)U有限時(shí)，與R對(duì)應(yīng)的模糊矩陣為“模糊等價(jià)矩陣”。定義3-16：設(shè)R為論域U上的模糊關(guān)系，若R具有自反性,對(duì)稱109模糊等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：定理3-2：設(shè)R為論域U上的模糊關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，R的截矩陣Rλ均為U上的等價(jià)關(guān)系時(shí)，模糊關(guān)系R為模糊等價(jià)關(guān)系。模糊等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：110模糊關(guān)系的簡單醫(yī)學(xué)應(yīng)用模糊關(guān)系的簡單醫(yī)學(xué)應(yīng)用111精神分裂癥抑郁癥躁狂癥分裂—情感幻覺0.50.30.10.1妄想0.40.20.20.2思維障礙0.60.10.10.2情緒高漲0.1000.2抑郁0.10.70.70.2家族病史0.40.20.20.2性格0.40.10.20.3病程0.20.30.30.2精神分裂癥抑郁癥躁狂癥分裂—情感幻覺0.50.30.10.1112模糊數(shù)學(xué)課件113d1d2d3d4d5纖維腺瘤d110.40.80.50.5乳腺癌d20.410.40.40.4乳腺腫塊d30.80.410.50.5囊性增生d40.50.40.510.6囊內(nèi)乳頭病狀d50.50.40.50.61d1d2d3d4d5纖維腺瘤d110.40.80.50.5乳114第四章醫(yī)學(xué)模糊分類4.1模糊聚類4.2模糊決策4.3模糊聚類分析4.4醫(yī)療過程的模糊分析第四章醫(yī)學(xué)模糊分類4.1模糊聚類1154.1

模糊聚類

聚類分析是對(duì)事物按不同水平進(jìn)行分類的方法，即是將是將事物根據(jù)一定的特征，并且按照某種特定的要求或規(guī)律進(jìn)行分類的方法。4.1模糊聚類聚類分析是對(duì)事物按不同水116模糊聚類分析的方法（1）系統(tǒng)聚類法（2）逐步聚類法（3）混合法聚類分析的對(duì)象必定是尚未分類的群體。對(duì)帶有模糊特征的事物進(jìn)行聚類分析，應(yīng)當(dāng)采用模糊數(shù)學(xué)的方法，因此稱其為模糊聚類分析法。模糊聚類分析的方法聚類分析的對(duì)象必定是尚未分類的群體。1174.1.1模糊聚類分析的基本步驟系統(tǒng)聚類法的基本步驟：（1）標(biāo)定過程：由原始統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣R；（2）聚類過程：根據(jù)標(biāo)定生成的模糊相似矩陣R，按各種不同的水平對(duì)分類事物進(jìn)行劃分。模糊聚類分析首先要解決的問題是如何建立論域元素間的相似關(guān)系。要構(gòu)造相似矩陣R=（rij）4.1.1模糊聚類分析的基本步驟系統(tǒng)聚類法的基本步驟：模118可選用的方法：1）數(shù)量積法2）相似系數(shù)法3）夾角余弦法4）指數(shù)相似法5）明可夫斯基法6）蘭氏距離法7）絕對(duì)值數(shù)法8）絕對(duì)值倒數(shù)法9）最大最小法10）算術(shù)平均最小法11）幾何平均法12）主觀評(píng)定法可選用的方法：1194.1.2直接聚類法直接聚類法的步驟：4.1.2直接聚類法直接聚類法的步驟：1204.2模糊決策決策的目的就是要將論域中的對(duì)象進(jìn)行排序，或者按照某種方法從論域中選出最優(yōu)對(duì)象。模糊決策的方法：綜合評(píng)判二元對(duì)比排序法意見集中4.2模糊決策決策的目的就是要將論域中的對(duì)象進(jìn)行排序121綜合評(píng)判問題又稱為“綜合決策問題”，它解決的問題是在考慮多種因素的影響下對(duì)某種事物作出綜合評(píng)判。綜合評(píng)判的數(shù)學(xué)模型涉及三個(gè)要素：因素集合X

決斷集合Y

單因素決斷R綜合評(píng)判綜合評(píng)判問題又稱為“綜合決策問題”，它解決的問題是在考慮多種1221、評(píng)總分法即根據(jù)評(píng)判對(duì)象列出評(píng)判項(xiàng)目，對(duì)每個(gè)項(xiàng)目定出評(píng)價(jià)的等級(jí)，并用分?jǐn)?shù)表示。將評(píng)價(jià)項(xiàng)目所得分?jǐn)?shù)累計(jì)相加，然后按