常系數非齊次線性方程解法

常系數非齊次線性方程解法第1頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月提示

=[Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)]e

x

[Q

(x)+2

Q

(x)+

2Q(x)]e

x+p[Q

(x)+

Q(x)]e

x+qQ(x)e

x一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為下頁Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得[Q(x)e

x][Q(x)e

x]q[Q(x)e

x]y*

py*

qy*第2頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月提示

此時

2

p

q

0

要使(＊)式成立

Q(x)應設為m次多項式

Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則y*

Qm(x)e

x

下頁一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得第3頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月提示

此時

2

p

q

0

但2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應設為m

1次多項式

Q(x)

xQm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,則y*

xQm(x)e

x

下頁(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則y*

Qm(x)e

x

一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得第4頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月提示:此時

2

p

q

0

2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應設為m

2次多項式

Q(x)

x2Qm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(3)如果

是特征方程r2

pr

q

0的重根,則y*

x2Qm(x)e

x

下頁(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,則y*

xQm(x)e

x

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則y*

Qm(x)e

x

一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得第5頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月結論二階常系數非齊次線性微分方程y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xkQm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

下頁第6頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月提示

因為f(x)

Pm(x)e

x

3x

1

0不是特征方程的根

所以非齊次方程的特解應設為y*

b0x

b1

把它代入所給方程

得

例1求微分方程y

2y

3y

3x

1的一個特解

解

齊次方程y

2y

3y

0的特征方程為r2

2r

3

0

[b0x

b1]

2[b0x

b1]

3[b0x

b1]

3b0x

2b0

3b1

2b0

3b0x

3b1

3b0x

2b0

3b1

3x

1

提示

3b0

3

2b0

3b1

1

特解形式第7頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求微分方程y

5y

6y

xe2x的通解

解

齊次方程y

5y

6y

0的特征方程為r2

5r

6

0

其根為r1

2

r2

3

提示

齊次方程y

5y

6y

0的通解為Y

C1e2x

C2e3x

因為f(x)

Pm(x)e

x

xe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應設為y*

x(b0x

b1)e2x

把它代入所給方程

得

2b0x

2b0

b1

x

提示

2b01

2b0

b10>>>

特解形式第8頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月首頁例2求微分方程y

5y

6y

xe2x的通解

解

齊次方程y

5y

6y

0的特征方程為r2

5r

6

0

其根為r1

2

r2

3

2b0x

2b0

b1

x

因此所給方程的通解為因為f(x)

Pm(x)e

x

xe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應設為y*

x(b0x

b1)e2x

把它代入所給方程

得特解形式第9頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常系數非齊次線性微分方程y

py

qy

e

x[Pl(x)cos

x

Pn(x)sin

x]有形如y*

xke

x[R(1)m(x)cos

x

R(2)m(x)sin

x]的特解

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式

m

max{l

n}

而k按

i

(或

i

)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1

二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型下頁>>>結論第10頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月

解

結束特解形式

例3求微分方程y

y

xcos2x的一個特解

因為f(x)

e

x[Pl(x)cos

x

Pn(x)sin

x]

xcos2x

i

2i不是特征方程的根

所以所給方程的特解應設為齊次方程y

y