復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)經(jīng)典課件

-p<q0

p的q0稱(chēng)為Arg的主值,記作q0=argz.Argz=argz+2kp輻角主值：例1：求[解]-p<q0p的q0稱(chēng)為Arg的主值,記作q1

由x=rcosq,y=rsinq,

由歐拉公式eiq=cosq+isinq，指數(shù)表示式:3）三角形式與指數(shù)形式三角表示式由x=rcosq,y=rsinq,22)因此例3將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)2)因此例3將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]13重要結(jié)論:重要結(jié)論:4判斷函數(shù)在時(shí)極限不存在的方法:1.存在一條路徑,沿該路徑趨于時(shí)極限不存在;2.存在兩條路徑,沿這兩條路徑趨于時(shí)極限不等.判斷函數(shù)在51.

乘積與商1.乘積與商6

一.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義

設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱(chēng)此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。一.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f7

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(3)Δz=Δx+iΔy

注：(2)判斷函數(shù)在不可導(dǎo)的方法:(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。(38(3)求導(dǎo)法則①?gòu)?fù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1(n是自然數(shù)).③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]

=f

(z)±g

(z)，

[f(z)g(z)]

=f

(z)g(z)+f(z)g

(z)(3)求導(dǎo)法則①?gòu)?fù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.9④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數(shù)，且

(w)

0。④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])=f(w)g10二.解析函數(shù)的概念1.定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在z0解析；

如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱(chēng)z0是f(z)的奇點(diǎn)。思考：可導(dǎo)與解析有何關(guān)系？如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱(chēng)

f(z)在D內(nèi)解析，或稱(chēng)f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。二.解析函數(shù)的概念1.定義如果函數(shù)w=f(z)在z011定理1

（四則運(yùn)算法則）設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)

g(z)(g

(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù)。2.解析函數(shù)的運(yùn)算：定理1（四則運(yùn)算法則）設(shè)w=f(z)及w=g(z)是區(qū)12定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x13定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在14推論：

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充分條件是u(x,y)和v(x,y)在一階D內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足Cauchy-Riemann方程推論：函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D15例4判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)u=x,v=-y

則例4判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)161.指數(shù)函數(shù)

2.對(duì)數(shù)函數(shù)3.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)§2.3初等函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)§2.3初等函數(shù)17一.指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義一.指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義182.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)19二.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義二.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，120分支2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分支2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)21復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)經(jīng)典ppt課件22例解：例解：23三.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)定義1.正余弦函數(shù)的定義三.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)定義1.正余弦函數(shù)的定義242.正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)2.正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)25例如例如26復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)經(jīng)典ppt課件27四.乘冪與冪函數(shù)1.乘冪ab定義四.乘冪與冪函數(shù)1.乘冪ab定義28解例4解例429—一般無(wú)窮多值（1）多值性

(2)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次冪意義一致。

(3)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a

的n次根意義一致。2.性質(zhì)—一般無(wú)窮多值（1）多值性(2)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，303.冪函數(shù)zb定義

4.性質(zhì)：3.冪函數(shù)zb定義4.性質(zhì)：31定理一定理一32

解析函數(shù)的構(gòu)造:方法：偏積分法、不定積分法、曲線積分法、湊全微分法解析函數(shù)的構(gòu)造:方法：偏積分法、不定積分法、曲線積分法、33偏積分法:偏積分法:34例2例235解解36不定積分法不定積分法37例2例238

積分性質(zhì)積分性質(zhì)39本章要點(diǎn)：解析函數(shù)的積分計(jì)算(P79例，P83例1，P86例，P89例1)本章要點(diǎn)：