曲邊梯形的面積新人教版選修

1.5.1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積內(nèi)容：應(yīng)用求曲邊梯形的面積四個(gè)步驟“以直代曲”和“無(wú)限逼近”思想本課主要學(xué)習(xí)曲邊梯形面積的求法及“以直代曲”和“無(wú)限逼近”思想。以金門大橋的圖片引入新課。給出了曲邊梯形的定義，體會(huì)割圓術(shù)的基本思想。通過(guò)對(duì)曲邊梯形面積的探求，掌握好求曲邊梯形的面積的四個(gè)步驟:分割→近似代替→求和→取極限。在求曲邊梯形面積的過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)以直代曲、以不變代變及無(wú)限逼近的思想.通過(guò)類比體會(huì)從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。本課屬于概念課，通過(guò)探索求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟，深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。本課在講了一個(gè)經(jīng)典案例之后給出一個(gè)課堂檢測(cè)，鞏固曲邊梯形面積的求法。金門大橋

（美國(guó)）微積分在幾何上有兩個(gè)基本問(wèn)題:1.如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率；2.如何求曲線下方“曲線梯形”的面積。xy0xy0xyo直線幾條線段連成的折線曲線？和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形.

曲邊梯形的定義：由直線概念形成看看怎樣求出下列圖形的面積?從中你有何啟示？∟∟思維導(dǎo)航不規(guī)則的幾何圖形可以分割成若干個(gè)規(guī)則的幾何圖形來(lái)求解魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”——?jiǎng)⒒談⒒盏倪@種研究方法對(duì)你有什么啟示?思維導(dǎo)航-----割圓術(shù)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”——?jiǎng)⒒談⒒盏倪@種研究方法對(duì)你有什么啟示?“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”割圓術(shù)：劉徽在《九章算術(shù)》注中講到——?jiǎng)⒒談⒒盏倪@種研究方法對(duì)你有什么啟示?以“直”代“曲”無(wú)限逼近案例探究如何求由直線與拋物線所圍成的平面圖形的面積S？思考1：怎樣“以直代曲”？能整體以“直”代“曲嗎？思考2：怎樣分割最簡(jiǎn)單？xyO1方案1方案2方案3為了計(jì)算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案“以直代曲”.

y=f(x)baxyOA1A1A1A

A1.用一個(gè)矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得A

A1+A2用兩個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A

A1+A2+A3+A4用四個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A3A4

y=f(x)baxyOA

A1+A2+

+An

將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn分割越細(xì)，面積的近似值就越精確.當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積S.下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過(guò)程分割把區(qū)間[0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間：過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作

近似代換求和取極限分割近似代換求和取極限分割，求和，取極限

當(dāng)分點(diǎn)非常多（n非常大）時(shí)，可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒(méi)有變化（或變化非常小），從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是f(xi)△x來(lái)近似表示小曲邊梯形的面積表示了曲邊梯形面積的近似值點(diǎn)擊演示通過(guò)動(dòng)畫演示我們可以看出，n越大，區(qū)間分的越細(xì)，各個(gè)結(jié)果就越接近真實(shí)值。為此，我們讓n無(wú)限變大，這就是一個(gè)求極限的過(guò)程.（1）在分割時(shí)一定要等分嗎？不等分影響結(jié)果嗎？（2）在近似代替時(shí)用小區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)處的函數(shù)值影響結(jié)果嗎？（3）總結(jié)一般曲邊梯形面積的表達(dá)式？?jī)蓚€(gè)結(jié)論1.在分割時(shí)，不管采用等分與不等分，結(jié)果一樣。2.在近似代替時(shí)，用小區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)處的函數(shù)值作為近似值，結(jié)果也是一樣的。一般曲邊梯形的面積的表達(dá)式分割近似代替求和逼近以上計(jì)算曲邊三角形面積的過(guò)程可以用流程圖表示：OyxOyxOyxOyx過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，解:(1)分割:將區(qū)間[0,2]n等分,則每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為將原曲邊梯形分割為n個(gè)小曲邊梯形;1.求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積.(2)近似替代

以每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值為高作n個(gè)小矩形,當(dāng)n很大時(shí),用這n個(gè)小矩形的面積和近似替代曲邊梯形的面積S;(3)求和(4)取極限即曲邊梯形的面積為求一個(gè)具體曲邊梯形的面積

一個(gè)案例

兩種思想

方案一、方案二、方案三三個(gè)方案

分割、近似代替、求和、求極限

“以直代曲”和“無(wú)限逼近”思想

四個(gè)步驟

有位成功人士曾說(shuō)過(guò)：“做事業(yè)的過(guò)程就是在求解一條曲線長(zhǎng)度的過(guò)程。每一件實(shí)實(shí)在在的小事就是組成事業(yè)曲線的直線段?！毕胂胛覀兊膶W(xué)習(xí)過(guò)程、追求理想的過(guò)程又何嘗不是這樣？希望大家能用微積分的思想去學(xué)習(xí)、去做事！觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面