北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.12 勾股定理的逆定理 素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.12勾股定理的逆定理素養(yǎng)提升練（含解析）第十二章三角形

12.12勾股定理的逆定理

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點(diǎn)勾股定理的逆定理

1.(2023江蘇南通中考)下列長度的三條線段能組成直角三角形的是()

A.3,4,5B.6,7,9

C.4,6,7D.5,11,12

2.(2023陜西西安長安三中期末)下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的三邊的長,其中能構(gòu)成直角三角形的是()

A.,2,B.4,5,8

C.6,7,8D.1,,

3.【教材變式·P119T3】(2023福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)在△ABC中,BC=a,AB=c,AC=b,則不能作為判定△ABC是直角三角形的條件的是()

A.∠C=∠A-∠B

B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

C.a∶b∶c=3∶4∶5

D.(a+b)(a-b)=c2

4.已知三角形的三邊長分別是6,8,10,則此三角形的面積為.

5.判斷由下列三條線段組成的三角形是不是直角三角形.

(1)a=2,b=3,c=4;

(2)a=0.9,b=0.7,c=1.2;

(3)a=25,b=20,c=15.

6.(2022北京房山期末)綠都農(nóng)場有一塊菜地如圖所示,現(xiàn)測得AB=12m,BC=13m,CD=4m,AD=3m,∠D=90°,求這塊菜地的面積.

能力提升全練

7.(2022北京平谷期末,8,★☆☆)有五根小木棒,其長度分別為5,9,12,13,15,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形,其中正確的是()

A

B

C

D

8.(2023湖南益陽中考,7,★☆☆)已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn),AM=MN=2,NB=1,先以點(diǎn)A為圓心,AN的長為半徑畫弧,再以點(diǎn)B為圓心,BM的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則△ABC一定是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

9.(2022北京一六一中學(xué)期中,13,★☆☆)下列四組數(shù):①0.6,0.8,1;②5,12,13;③8,15,17;④4,5,6.其中是勾股數(shù)的為.(填序號)

10.(2023廣西玉林中考,16,★☆☆)如圖,某港口P位于東西方向的海岸線上,甲、乙兩艘輪船同時離開港口,各自沿固定方向航行,甲、乙兩艘輪船每小時分別航行12海里和16海里,1小時后兩船分別位于點(diǎn)A,B處,且相距20海里,如果甲船沿北偏西40°方向航行,則乙船沿方向航行.

11.(2023北京中考,12,★★☆)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則∠PAB+∠PBA=°.(點(diǎn)A,B,P是網(wǎng)格線的交點(diǎn))

12.(2023北京平谷期末,26,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE是AB的垂直平分線,DE分別交AC,AB于點(diǎn)E,D.

(1)求證:△ABC是直角三角形;

(2)求AE的長.

13.(2023內(nèi)蒙古呼和浩特中考改編,18,★★☆)如圖,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊的長分別為a、b、c.

(1)求證:△ABC的內(nèi)角和等于180°;

(2)若=,求證:△ABC是直角三角形.

素養(yǎng)探究全練

14.【運(yùn)算能力】張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中,設(shè)計(jì)了如下數(shù)表:

n2345…

a22-132-142-152-1…

b46810…

c22+132+142+152+1…

(1)請你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系,并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示:a=,b=,c=;

(2)猜想以a、b、c為三邊的長的三角形是不是直角三角形,并說明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.AA.∵32+42=52,∴能組成直角三角形;B.∵62+72≠92,∴不能組成直角三角形;C.∵42+62≠72,∴不能組成直角三角形;D.∵52+112≠122,∴不能組成直角三角形.故選A.

2.DA.()2+22≠()2,故不是直角三角形,不合題意;B.42+52≠82,故不是直角三角形,不合題意;C.62+72≠82,故不是直角三角形,不合題意;D.12+()2=()2,故是直角三角形,符合題意.故選D.

3.BA.∵∠C=∠A-∠B,∴∠C+∠B=∠A,

∵∠C+∠A+∠B=180°,∴2∠A=180°,

∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,

故A不符合題意;

B.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠C+∠A+∠B=180°,

∴∠C=180°×=75°,∴△ABC不是直角三角形,故B符合題意;

C.∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,

∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2,c2=(5k)2=25k2,

∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,

故C不符合題意;

D.∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,∴a2=b2+c2,

∴△ABC是直角三角形,故D不符合題意.

故選B.

4.答案24

解析∵62+82=102,∴此三角形為直角三角形,且兩直角邊長分別為6,8,∴此三角形的面積為×6×8=24.

5.解析(1)∵22+32=4+9=13,42=16,∴22+32≠42,

∴這個三角形不是直角三角形.

(2)∵0.92+0.72=0.81+0.49=1.3,1.22=1.44,

∴0.92+0.72≠1.22,∴這個三角形不是直角三角形.

(3)∵152+202=225+400=625,252=625,

∴152+202=252,∴這個三角形是直角三角形.

6.解析如圖,連接AC,

∵CD=4m,AD=3m,∠D=90°,

∴AC===5(m),

∴S△ADC=AD·CD=×3×4=6(m2),

在△CAB中,AC=5m,AB=12m,BC=13m,

∵AC2+AB2=52+122=169,BC2=132=169,

∴AC2+AB2=BC2,∴△CAB為直角三角形,∴∠CAB=90°,

∴S△CAB=AC·CB=×5×12=30(m2),

∴菜地的面積=S△CAB-S△ADC=24(m2),

∴這塊菜地的面積為24m2.

能力提升全練

7.C∵52=25,122=144,92=81,152=225,132=169,

∴52+122=132,92+122=152,∴C正確.故選C.

8.B如圖所示,

由題意可知,AC=AN=AM+MN=4,BC=BM=BN+MN=3,AB=AM+MN+BN=5,∵42+32=52,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.

故選B.

9.答案②③

解析滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù),①中0.62+0.82=12,但0.6,0.8不是整數(shù),所以0.6,0.8,1不是勾股數(shù);②中52+122=132,且5,12,13都為正整數(shù),∴5,12,13是勾股數(shù);③中82+152=172,且8,15,17都為正整數(shù),∴8,15,17是勾股數(shù);④中42+52≠62,∴4,5,6不是勾股數(shù).故是勾股數(shù)的為②③.

10.答案北偏東50°

解析由題意可知AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里,∵122+162=202,∴△APB是直角三角形,∠APB=90°,由題意知∠APN=40°,∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°,∴乙船沿北偏東50°方向航行.

11.答案45

解析如圖,延長AP至網(wǎng)格線的交點(diǎn)D,連接BD,

設(shè)每個小正方形的邊長為1,則PD2=12+22=5,BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,

∴PD2+BD2=PB2,PD=BD,∴△PBD為直角三角形,∠PDB=90°,∠DPB=∠DBP,∴∠DPB=×(180°-90°)=45°,∴∠PAB+∠PBA=45°.

12.解析(1)證明:∵△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,

∴52=42+32,即AB2=AC2+BC2,

∴△ABC是直角三角形.

(2)如圖,連接BE.

∵DE是AB的垂直平分線,∴AE=EB,

設(shè)AE=x,則EC=4-x.

∴x2=(4-x)2+32,解得x=,即AE的長是.

13.證明(1)如圖,過點(diǎn)B作MN∥AC,

∵M(jìn)N∥AC,∴∠MBA=∠A,∠NBC=∠C.

∵∠MBA+∠ABC+∠NBC=180°,

∴∠A+∠ABC+∠C=180°,

即△ABC的內(nèi)角和等于180°.

(2)∵=,∴ac=(a+b+c)(a-b+c)=[(a+c)2-b2]=[(a2+2ac+c2)-b2],