彈性力學(xué)及有限元

彈性力學(xué)及有限元第1頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量基本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。1.外力體力、面力（材力：集中力、分布力。）(1)體力——彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力——體力分布集度（矢量）xyzOX、Y、Z為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影單位：N/m3kN/m3說(shuō)明：(1)F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的(如：重力，磁場(chǎng)力、慣性力等)(3)X、Y、Z的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。第2頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)面力——作用于物體表面單位面積上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐標(biāo)軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說(shuō)明：(1)F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的;(3)的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。第3頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.應(yīng)力(1)一點(diǎn)應(yīng)力的概念ΔAΔQ內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮)P(1)P點(diǎn)的內(nèi)力面分布集度(2)應(yīng)力矢量.----P點(diǎn)的應(yīng)力的極限方向由外力引起的在P點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度應(yīng)力分量n(法線)應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——剪應(yīng)力單位:與面力相同MPa(兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布的第4頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)一點(diǎn)P的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：第5頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用矩陣表示：其中，只有6個(gè)量獨(dú)立。剪應(yīng)力互等定理應(yīng)力符號(hào)的意義：第1個(gè)下標(biāo)x

表示τ所在面的法線方向；第2個(gè)下標(biāo)y

表示τ的方向.應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzO第6頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月與材力中剪應(yīng)力τ正負(fù)號(hào)規(guī)定的區(qū)別：xy規(guī)定使得單元體順時(shí)轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力τ為正，反之為負(fù)。在用應(yīng)力莫爾圓時(shí)必須用此規(guī)定求解問(wèn)題xyzO第7頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考察物體內(nèi)任一點(diǎn)o，設(shè)oxyz為舊坐標(biāo)系，其單位矢量為e1、e2、e3，相應(yīng)的應(yīng)力分量為xyze1e2e3z’x’y’e1’e2’e3’設(shè)ox’y’z’為新坐標(biāo)，其單位矢量為e1’、e2’、e3’。相應(yīng)的應(yīng)力分量為3.應(yīng)力張量第8頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)上，對(duì)坐標(biāo)變換時(shí)服從一定坐標(biāo)變換式的9個(gè)數(shù)所定義的量叫二階張量，應(yīng)力張量通常表示為：第9頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作斜面abc垂直于x’軸，該斜面上的應(yīng)力矢量為P。P在坐標(biāo)系下的三個(gè)分量為Px，Py

和Pz

，則xyzz’x’y’PPxPyPz由斜面應(yīng)力(Cauchy)公式4.斜面上的應(yīng)力第10頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，過(guò)某點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力分量，都可以用過(guò)該點(diǎn)的平行于坐標(biāo)面的微分面上的9個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示。寫成矩陣的形式，即：

斜面上的總應(yīng)力為：斜面上的正應(yīng)力為：第11頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)斜截面外法線方向?yàn)椋姆较蛴嘞覟閼?yīng)力矢量P在坐標(biāo)軸上的投影為：將上式展開§2.2主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量第12頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)斜面法線方向滿足上述方程時(shí)，該斜面上只有正應(yīng)力，沒(méi)有剪應(yīng)力，稱該平面為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主應(yīng)力方向（即主平面法線方向）稱為主方向。上述方程為的齊次線性方程組，且常數(shù)項(xiàng)都為零。因?yàn)椋?，故不能同時(shí)為零，所以方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即第13頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將行列式展開，得到求解主應(yīng)力的三次方程，稱為應(yīng)力張量的特征方程。式中第14頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)特征方程的三個(gè)根為，則展開后有比較上兩式，有對(duì)一個(gè)給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力的大小和方向是確定的，不隨坐標(biāo)系的變換而變化。故是不隨坐標(biāo)系的變換而變化的量，稱為應(yīng)力張量不變量。（特征方程）分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。第15頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主應(yīng)力的重要性質(zhì)1.主應(yīng)力為實(shí)數(shù)；2.三個(gè)主應(yīng)力相互垂直；即物體內(nèi)任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主平面，及對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。（1）當(dāng)，有3個(gè)相互垂直的主應(yīng)力；（2）當(dāng)，與垂直的平面上的任意方向都為主應(yīng)力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。（3）當(dāng)，空間任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。第16頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.主應(yīng)力的極值性；（1）最大（或最?。┑闹鲬?yīng)力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上正應(yīng)力的最大（或最?。┲?；設(shè)：，則（2）絕對(duì)值最大（或最?。┑闹鲬?yīng)力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上全應(yīng)力T的最大（或最小）值。第17頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力與主應(yīng)力的數(shù)值關(guān)系為按代數(shù)值的大小，將3個(gè)主應(yīng)力排序：則有第18頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在主應(yīng)力空間里，考察通過(guò)物體內(nèi)任一點(diǎn)M這的一個(gè)微分面，該微分面的外法向n與三個(gè)應(yīng)力主軸呈等傾斜。這樣的微分面共有8個(gè)，它們可組成一個(gè)包含點(diǎn)M在內(nèi)的無(wú)限小的正八面體，如圖所示。這些微分面上的應(yīng)力，就稱為八面體應(yīng)力。

§2.3八面體應(yīng)力、應(yīng)力強(qiáng)度第19頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是得：由于這些斜面的法線的方向余弦的絕對(duì)值都相等：同時(shí)有：帶入正應(yīng)力的計(jì)算公式，可得八面體正應(yīng)力為：

第20頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月八面體剪應(yīng)力對(duì)于塑性理論具有重要意義，為了使用方便，將它乘以，并稱之為應(yīng)力強(qiáng)度，用符號(hào)來(lái)表示，即

八面體剪應(yīng)力為：第21頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.4應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱應(yīng)力張量其中稱為應(yīng)力張量的分量。第22頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引入平均應(yīng)力則應(yīng)力張量可分解為兩個(gè)張量之和第23頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月簡(jiǎn)寫為式中稱為應(yīng)力偏量，為應(yīng)力球形張量，為單位張量。第24頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應(yīng)力狀態(tài)。球形張量應(yīng)力（靜水應(yīng)力）作用下，物體只產(chǎn)生各向相同的線應(yīng)變而無(wú)剪應(yīng)變。對(duì)應(yīng)物體的體積改變，而形狀不變。應(yīng)力偏量代表各面正應(yīng)力中偏離靜水應(yīng)力的量，是正應(yīng)力之和為零的應(yīng)力狀態(tài)。該應(yīng)力狀態(tài)下，物體的體積不改變而形狀改變。靜水壓力實(shí)驗(yàn)研究表明，在均勻受力情況下，即使應(yīng)力達(dá)到很大值，材料也不產(chǎn)生塑性變形。故：應(yīng)力球形張量不產(chǎn)生材料的塑性變形；應(yīng)力偏量是產(chǎn)生塑性變形的真正原因。第25頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.形變形變——物體的形狀改變xyzO（1）線段長(zhǎng)度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA——用線（正）應(yīng)變?chǔ)哦攘俊眉魬?yīng)變?chǔ)枚攘浚魬?yīng)變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的剪應(yīng)變：(1)一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；剪應(yīng)變：以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；第26頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.5平衡(運(yùn)動(dòng))微分方程

在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，棱邊的長(zhǎng)度分別為PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以連接六面體前后兩面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程整理，并略去微量后，得同樣可以得出剪應(yīng)力互等定理第27頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列出x軸方向的力的平衡方程

由其余兩個(gè)平衡方程和可以得出與之相似的兩個(gè)方程。化簡(jiǎn)，除以dxdydz，得空間問(wèn)題的平衡微分方程（納維葉方程）第28頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如物體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài),根據(jù)達(dá)朗伯(d’Alembert)原理,在體力項(xiàng)中引入慣性力:運(yùn)動(dòng)微分方程第29頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章應(yīng)變分析與幾何方程第二節(jié)有關(guān)力學(xué)基本概念描述已知:

*在載荷作用下,物體的形狀和位置要發(fā)生變化,

*力學(xué)中用應(yīng)變來(lái)度量一點(diǎn)形狀的改變;用位移來(lái)度量一點(diǎn)位置的改變.

如已知物體中每一點(diǎn)的位移,則受載物體的位置和形狀均可確定.即位移與應(yīng)變之間存在一定的關(guān)系.

描述位移與應(yīng)變之間關(guān)系的方程稱為幾何方程第30頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

研究在oxy平面內(nèi)投影的變形，PABCA’B’C’P’PA=dxPB=dyPC=dz一.幾何方程第31頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一點(diǎn)的變形線段的伸長(zhǎng)或縮短；線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；xyOP考察P點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：AdxBdyuv變形前變形后PABuv注：這里略去了二階以上高階無(wú)窮小量。第32頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyOPAdxBdyuvPA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：P點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化第33頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyOPAdxBdyuv整理得：——幾何方程第34頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同樣方法研究另外兩平面yoz和zox上投影線元的變形可得到類似的方程。綜合起來(lái)，得彈性力學(xué)幾何方程。也稱柯西(Cauchy)方程幾何方程第35頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）幾何方程反映任一點(diǎn)的位移(3個(gè)分量)與該點(diǎn)應(yīng)變(6個(gè)分量)間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2）當(dāng)位移分量u、v

、w已知，則6個(gè)應(yīng)變分量可完全確定；反之，已知6個(gè)應(yīng)變分量，不能確定位移分量。（∵積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）說(shuō)明：（3）幾何方程是純幾何變形分析結(jié)果，不涉及產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的原因和材料的物理性能，對(duì)一切連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問(wèn)題都適用。第36頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.連續(xù)性方程應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系由幾何方程表示；已知位移分量,可通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)得到6個(gè)應(yīng)變分量；這是唯一確定的。反之,已知應(yīng)變分量求位移分量,需通過(guò)積分運(yùn)算。-------從數(shù)學(xué)上看，6個(gè)方程求3個(gè)未知量，如有解，則6個(gè)方程是相關(guān)的，即應(yīng)變之間必須滿足某種關(guān)系才有可能得到唯一的位移解。-------從物理上看，為保證變形后物體連續(xù)和單值，應(yīng)變間必須滿足一定關(guān)系。稱為相容性。表示應(yīng)變分量間的這種關(guān)系的方程稱為變形連續(xù)性方程，也稱為變形相容方程或變形協(xié)調(diào)方程。第37頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第1式對(duì)y求兩階偏導(dǎo)第2式對(duì)x求兩階偏導(dǎo)兩式相加：將第4式代入得：第38頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理：第39頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月后三式分別對(duì)z、y、x求偏導(dǎo)得：第40頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理：第41頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)性方程第42頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)性方程是單連體小變形連續(xù)的必要和充分條件。如應(yīng)變分量滿足連續(xù)性方程，可保證位移分量存在。第43頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4章應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系——物理方程由材料力學(xué)已知，Hooke定律可表示為：?jiǎn)蜗蚶瓑杭兗羟蠩為拉壓彈性模量；橫向與縱向變形關(guān)系G為剪切彈性模量為泊松比一.各向同性材料的廣義Hooke定律第44頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在彈性力學(xué)假設(shè)條件下，應(yīng)用疊加原理：考慮x方向的正應(yīng)變：產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：疊加同理：第45頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月剪應(yīng)變：物理方程：說(shuō)明：1.方程表示了各向同性材料的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，稱為廣義Hooke定義。也稱為本構(gòu)關(guān)系或物理方程。2.方程組在線彈性條件下成立。第46頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.體積應(yīng)變與體積彈性模量令：則：令：sm稱為平均應(yīng)力;q稱為體積應(yīng)變第47頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三.物理方程的其他表示形式物理方程：第48頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用應(yīng)變表示應(yīng)力：或：

各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系第49頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四.廣義Hooke定律(物理方程)的一般表達(dá)式廣義虎克定律(物理方程)描述應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,6個(gè)應(yīng)力分量可表述為6個(gè)應(yīng)變分量的函數(shù)。第50頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 當(dāng)自變量(應(yīng)變)很小時(shí)，式（１）中的各表達(dá)式可用泰勒級(jí)數(shù)展開．略去二階及以上的高階微量，則式（１）中的第一式展開為：表示應(yīng)變分量為零時(shí)的值，由基本假設(shè)，初始應(yīng)力為零．故表示函數(shù)f1對(duì)應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量為零時(shí)的值，等于一個(gè)常數(shù)第51頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故,式（１）可用一個(gè)線性方程組表示式（２）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，實(shí)際上與虎克定律線性關(guān)系一致，是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變的一般關(guān)系式．式（２）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共有３６個(gè)．第52頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由均勻性假設(shè)，彈性體各點(diǎn)作用同樣應(yīng)力時(shí)，必產(chǎn)生同樣的應(yīng)變，反之亦然．因此為常數(shù)，其數(shù)值由彈性體材料的性質(zhì)而定．式（２）推導(dǎo)過(guò)程未引用各向同性假設(shè)，故可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、二維各向同性體以及各向同性體等．第53頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式(3)可用簡(jiǎn)寫為稱為彈性矩陣.式（２）可用矩陣表示第54頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月物體內(nèi)的任一點(diǎn),沿各個(gè)方向的性能都不相同,則稱為極端各向異性體.(這種物體的材料極少見)五.彈性常數(shù)1.極端各向異性體:由能量守恒定律和應(yīng)變能理論可證明,彈性常數(shù)之間存在關(guān)系即使在極端各向異性條件下,式(2)中的36個(gè)彈性常數(shù)也不是全部獨(dú)立.36個(gè)彈性常數(shù)減少到21個(gè).彈性矩陣是對(duì)稱矩陣.第55頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月彈性矩陣為第56頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極端各向異性體的特點(diǎn):

(1)當(dāng)作用正應(yīng)力時(shí),不僅會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)變,還會(huì)引起剪應(yīng)變。(2)當(dāng)作用正應(yīng)力時(shí),不僅會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)變,也會(huì)引起正應(yīng)變。第57頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.正交各向異性體如在均勻體內(nèi),任意一點(diǎn)都存在著一個(gè)對(duì)稱面,在任意兩個(gè)與此面對(duì)稱的方向上,材料的彈性性質(zhì)都相同。稱為具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體。該對(duì)稱面稱為彈性對(duì)稱面,垂直于彈性對(duì)稱面的方向稱為物體的彈性主方向。具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體,彈性常數(shù)有13個(gè)。單斜晶體(如正長(zhǎng)石)具有這類彈性對(duì)稱。第58頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面,這種物體稱為正交各向異性體。如:煤塊、均勻的木材、疊層膠木、復(fù)合材料等正交各向異性體有9個(gè)彈性常數(shù)。其彈性矩陣為第59頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.橫觀各向同性體如物體內(nèi)任意一點(diǎn),在平行于某一平面的所有各個(gè)方向都有相同的彈性性質(zhì),這類正交異性體為橫觀各向同性體。如不同層次的土壤、復(fù)合板材等。橫觀各向同性體只有五個(gè)彈性常數(shù),彈性矩陣為第60頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月物體內(nèi)任意一點(diǎn),沿任何方向的彈性性質(zhì)都相同。4.各向同性體各向同性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù),彈性矩陣為:第61頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見:第62頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一.指標(biāo)表示法1.指標(biāo)符號(hào) 具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個(gè)帶下標(biāo)的字母表示：如：位移分量u、v、w表示為u1

、u2、u

3，縮寫為ui（i=1,2,3）坐標(biāo)x、y、z表示為x1、x2、x3，縮寫為xi（i=1,2,3）。單位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。第63頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力分量：可表示為：縮寫為：同理，應(yīng)變分量可表示為：第64頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月向量表示為三階線性方程組可表示為縮寫為第65頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.愛因斯坦求和約定 在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)一次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)（簡(jiǎn)稱啞標(biāo)）例求和指標(biāo)j求和指標(biāo)i非求和指標(biāo)稱為自由指標(biāo)第66頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明：（1）對(duì)于重復(fù)次數(shù)大于1的指標(biāo)，求和約定無(wú)效。例：（2）啞標(biāo)的有效范圍僅限于本項(xiàng)。（3）多重求和可采用不同的啞標(biāo)表示。例：（4）啞標(biāo)可局部地成對(duì)替換。（5）自由指標(biāo)必須整體換名。（6）當(dāng)自由指標(biāo)恰好在同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)一次，為避免混淆，應(yīng)聲明對(duì)該指標(biāo)不求和。例第67頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.求導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)記方法微分算符簡(jiǎn)記法例:求和約定第68頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第69頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.克羅內(nèi)克(Kroneker)符號(hào)第70頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月具有如下性質(zhì)(1)(2)也稱換名算子同理:第71頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.置換符號(hào)表示，有２７個(gè)分量。定義：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有兩個(gè)以上的指標(biāo)相同置換符號(hào)用于簡(jiǎn)化公式的書寫．第72頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月行列式：第73頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.彈性力學(xué)方程的指數(shù)表示(1)平衡(運(yùn)動(dòng))微分方程第74頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)幾何方程第75頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)物理方程第76頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)邊界條件力邊界條件:位移邊界條件:第77頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.迭加原理:

彈性體受幾組外力同時(shí)作用時(shí)的解(應(yīng)力、應(yīng)變和位移)等于每一組外力單獨(dú)作用時(shí)對(duì)應(yīng)解的和.§2-8彈性力學(xué)的幾個(gè)基本原理 (1) 迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件是線性的.說(shuō)明: (2) 對(duì)大變形問(wèn)題,幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項(xiàng),平衡方程將受到變形的影響,迭加原理不再適用。 (3) 對(duì)非線彈性或彈塑性材料,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性,迭加原理不成立。第78頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理:

若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系 若作用在物體局部表面上的外力,用一個(gè)靜力等效的力系(具有相同的主矢和主矩)代替,則離此區(qū)域較遠(yuǎn)的部分所受影響可以忽略不計(jì).第79頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月課件上傳FTPIP:0Username:mechanicPassword:888888Port:210第80頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第5章彈性力學(xué)問(wèn)題的求解要點(diǎn)——建立直角坐標(biāo)下的平面問(wèn)題基本方程包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等第81頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要內(nèi)容§5-1兩類平面問(wèn)題§5-2平面問(wèn)題的基本方程和邊界條件§5-3位移解法§5-4應(yīng)力解法§5-5應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)解法§5-6多項(xiàng)式逆解法解平面問(wèn)題§5-7幾種平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)求解第82頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力、應(yīng)變和位移是彈性力學(xué)的3類基本未知函數(shù)，當(dāng)這3類基本未知函數(shù)與第3個(gè)坐標(biāo)方向（一般取z方向）無(wú)關(guān)時(shí)，則將該類問(wèn)題稱為平面問(wèn)題?！?-1兩類平面問(wèn)題平面問(wèn)題是在一個(gè)平面域內(nèi)的求解問(wèn)題，但并非數(shù)學(xué)上的二維問(wèn)題。彈性力學(xué)平面問(wèn)題分為平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問(wèn)題兩類。第83頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.平面應(yīng)力問(wèn)題(1)幾何特征xyyztba一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。——等厚薄平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿z

方向不變化。第84頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：由剪應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)。第85頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.平面應(yīng)變問(wèn)題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度z方向不變化。

約束——沿長(zhǎng)度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱面第86頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月水壩因?yàn)槿我粰M截面均可視為對(duì)稱面，則有所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移問(wèn)題——平面應(yīng)變問(wèn)題注：(1)平面應(yīng)變問(wèn)題中但是，(2)平面應(yīng)變問(wèn)題中應(yīng)力分量：——僅為xy的函數(shù)?？山茷槠矫鎽?yīng)變問(wèn)題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。第87頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示三種情形，是否都屬平面問(wèn)題？是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題第88頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.平面問(wèn)題的求解問(wèn)題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)建立平面應(yīng)力（或應(yīng)變）條件下的基本方程：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；形變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；第89頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-2平面問(wèn)題的基本方程和邊界條件1.平衡微分方程空間問(wèn)題的平衡微分方程（納維葉方程）第90頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題—僅為xy的函數(shù)。第91頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面問(wèn)題的平衡微分方程：說(shuō)明：（1）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：——超靜定問(wèn)題，需找補(bǔ)充方程才能求解。（2）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問(wèn)題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質(zhì)無(wú)關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對(duì)整個(gè)彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。第92頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.幾何方程平面應(yīng)變平面應(yīng)力第93頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注：平面應(yīng)力問(wèn)題的解為近似解！平面應(yīng)力問(wèn)題，但由有對(duì)薄板，可認(rèn)為上兩式近似為零，故平面應(yīng)力問(wèn)題的解為近似解。第94頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.物理方程1.各向同性彈性體的物理方程其中：E為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；μ為泊松比。(應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系)第95頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程由于平面應(yīng)力問(wèn)題中——

平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式第96頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程由于平面應(yīng)變問(wèn)題中——

平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程注：(2)平面應(yīng)變問(wèn)題物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得（2-13）(1)平面應(yīng)變問(wèn)題中，但？第97頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）兩類平面問(wèn)題物理方程的轉(zhuǎn)換：——

平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程——

平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程(1)平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：(2)平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：第98頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.邊界條件1.彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：未知量數(shù)：8個(gè)方程數(shù)：8個(gè)結(jié)論：在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，上述8個(gè)方程可解。第99頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.邊界條件及其分類邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關(guān)系。xyOqP是力學(xué)計(jì)算模型建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類（1）位移邊界（2）應(yīng)力邊界（3）混合邊界——三類邊界（1）位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界用us

、

vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：——

平面問(wèn)題的位移邊界條件說(shuō)明：稱為固定位移邊界。第100頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件(2)力的邊界條件第101頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)邊界面力為合力時(shí)，面力正負(fù)號(hào)的確定邊界面力分量的矢量方向指向坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎?，反之為?fù)(2)邊界面力為合力矩時(shí)，力矩正負(fù)號(hào)的確定xyMs3.力的邊界條件的具體化第102頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyMs（+）右手法則，母指指向z軸的正向?yàn)樨?fù)，反之為負(fù)xyMs（-）xyMs（+）Ms（-）xy第103頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)說(shuō)明：x=0的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：第104頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4章內(nèi)容回顧：1.兩類平面問(wèn)題：平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題幾何特征;受力特征;應(yīng)力特征。幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。xyyztba水壩滾柱第105頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——位移邊界條件2.平面問(wèn)題的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）（4）邊界條件：（1）（2）——應(yīng)力邊界條件——平面應(yīng)力問(wèn)題第106頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入邊界條件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N第107頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：由應(yīng)力邊界條件公式，有右側(cè)面：第108頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無(wú)應(yīng)力存在。解：——平面應(yīng)力問(wèn)題，在AC、AB邊界上無(wú)面力作用。即AB邊界：由應(yīng)力邊界條件公式，有（1）AC邊界：代入應(yīng)力邊界條件公式，有（2）∵A點(diǎn)同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點(diǎn)處無(wú)應(yīng)力作用第109頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件。例6第110頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側(cè)：下側(cè)：第111頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。例6上側(cè)：下側(cè)：N第112頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。如：圖(a)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件圖(b)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件第113頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-3按位移求解平面問(wèn)題第114頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）以u(píng)、v

為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v

表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。第115頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.按位移求解平面問(wèn)題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有（a）將式(a)代入平衡方程，化簡(jiǎn)有（1）第116頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（a）將式（a）代入，得式（1）、（2）、（3）構(gòu)成按位移求解問(wèn)題的基本方程說(shuō)明：（1）對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。（3）第117頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）按位移求解平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程：（1）（2）邊界條件：位移邊界條件：（2）應(yīng)力邊界條件：（3）第118頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-4按應(yīng)力求解平面問(wèn)題相容方程第119頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的未知函數(shù)：平衡微分方程：2個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問(wèn)題。需尋求補(bǔ)充方程，從形變、形變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。第120頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然有：——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)，才能求得位移分量。1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）將幾何方程：作如下運(yùn)算：第121頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）平面應(yīng)力情形將物理方程（a）2.變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示代入相容方程得：第122頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用平衡方程將兩式相加：（b）將（a）式化簡(jiǎn)：第123頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將(b)代入(a)，得：將上式整理得：應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)力情形）第124頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）平面應(yīng)變情形將上式中的泊松比μ代為：，得應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）注意：當(dāng)體力X、Y為常數(shù)時(shí)，兩種平面問(wèn)題的相容方程相同，即第125頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件：（平面應(yīng)力情形）說(shuō)明：（1）對(duì)位移邊界問(wèn)題，不易按應(yīng)力求解。（2）對(duì)應(yīng)力邊界問(wèn)題，且為單連通問(wèn)題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（3）對(duì)多連通問(wèn)題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。第126頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）（a）（b）第127頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解（1）將式（a）——滿足將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。代入平衡方程：第128頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）解將式（b）式（b）滿足相容方程，∴（b）為可能的應(yīng)變分量。代入應(yīng)變表示的相容方程：第129頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力=0，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。解材料力學(xué)解答：式（a）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否滿足邊界條件？代入平衡微分方程：顯然，平衡微分方程滿足。第130頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式（a）滿足相容方程。再驗(yàn)證，式（a）是否滿足邊界條件？——滿足——滿足——近似滿足近似滿足結(jié)論：式（a）為正確解代入相容方程：上、下側(cè)邊界：右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：第131頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平衡方程:相容方程:邊界條件:常體力下，滿足的方程：(a)4.常體力下體力與面力的變換第132頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令：將式(b)代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有(b)(c)表明：（1）變換后的平衡方程、相容方程均為齊次方程（容易求解）；（2）變換后問(wèn)題的邊界面力改變?yōu)椋旱?33頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：當(dāng)體力X=常數(shù)，Y=常數(shù)時(shí)，可先求解無(wú)體力而面力為：?jiǎn)栴}的解：，而原問(wèn)題的解為：第134頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyxy例如：pFABCDEhh(a)圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析。原問(wèn)題：體力：邊界面力：所求應(yīng)力：ABCFDEhh(b)ph2ph變換后的問(wèn)題：體力：邊界面力：(1)當(dāng)y=0時(shí)，(2)當(dāng)y=–h時(shí)，(3)當(dāng)y=–2h時(shí)，所求得的應(yīng)力：原問(wèn)題的應(yīng)力第135頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn)（好處）：原問(wèn)題的求解方程變換后問(wèn)題的求解方程常體力問(wèn)題無(wú)體力問(wèn)題作用：(1)方便分析計(jì)算（齊次方程易求解）。(2)實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。注意：面力變換公式：與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，因此，適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可使面力表達(dá)式簡(jiǎn)單。第136頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-5應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)解法第137頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常體力下問(wèn)題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)式(a)為非齊次方程，其解：全解=齊次方程通解1.平衡微分方程解的形式(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齊次方程：(c)(d)的通解。第138頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,y)，使得(e)(f)同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解。由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得第139頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(i)(j)將式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解(k)第140頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解：(k)——對(duì)應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解。(3)全解取特解為：則其全解為：(2-26)——

常體力下平衡方程（a）的全解。由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。φ(x,y)——平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)——Airy應(yīng)力函數(shù)第141頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示(2-26)將式（2-26）代入常體力下的相容方程：有：注意到體力X、Y為常量，有將上式展開，有(2-27)——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。第142頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式（2-27）可簡(jiǎn)記為：或：式中：滿足方程(2-27)的函數(shù)φ(x,y)稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)）結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)φ應(yīng)為一重調(diào)和函數(shù)第143頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（X=常量、Y=常量）的歸結(jié)為：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問(wèn)題）。(2-28)（無(wú)體力情形）第144頁(yè)，課件共160頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.應(yīng)力函數(shù)求解方法（1）逆解法（2）半逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）——主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問(wèn)題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系