恒定電流的電場和磁場

恒定電流的電場和磁場第1頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

電流及電流強(qiáng)度

分類：傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流。

傳導(dǎo)電流是導(dǎo)體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運(yùn)動形成的電流。

運(yùn)流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運(yùn)動形成的電流。3.1恒定電流的電場

在空間中分布不隨時間變化的電流稱為恒定電流，與恒定電流對應(yīng)的電場稱為恒定電場。第2頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

電流強(qiáng)度：單位時間內(nèi)穿過某一截面的電量，又簡稱為電流，以I表示。電流的單位為A（安培）。

因此，電流I與電荷q的關(guān)系為

電流密度：是一個矢量，以J表示。電流密度的方向?yàn)檎姾傻倪\(yùn)動方向，其大小為單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積的電荷量。因此，穿過任一有向面元dS的電流dI與電流密度J的關(guān)系為第3頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月第25.26學(xué)時5.1恒定電流的電場

體電流密度

第4頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)通過ΔS的電流為ΔI，則該點(diǎn)處的電流密度J為

電流密度的單位是安培/米2(A/m2)。導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個電流密度，因而構(gòu)成一個矢量場。稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線。可以從電流密度J求出流過任意面積S的電流強(qiáng)度。一般情況下，電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時，通過面積S的電流就等于電流密度J在S上的通量，即

第5頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月面電流密度

第6頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

運(yùn)流電流的電流密度并不與電場強(qiáng)度成正比，而且電流密度的方向與電場強(qiáng)度的方向也可能不同?？梢宰C明運(yùn)流電流的電流密度J與運(yùn)動速度v的關(guān)系為式中

為電荷密度。

與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導(dǎo)電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點(diǎn)，這些特性的含義與前相同。上述公式僅適用于各向同性的線性媒質(zhì)。第7頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月1、歐姆定律的微分形式

由于電流密度可以視為單位面積的電流密度，電場強(qiáng)度可以視為在電場強(qiáng)度方向單位長度上的電壓。因此，對一段長為l

，橫截面為S的導(dǎo)線，歐姆定律的微分形式可寫成：

實(shí)驗(yàn)表明在導(dǎo)電媒質(zhì)中，當(dāng)溫度不變時，媒質(zhì)中某點(diǎn)的電流密度J

與該點(diǎn)的電場強(qiáng)度E成正比歐姆定律的微分形式電導(dǎo)率,單位:s/m值愈大表明導(dǎo)電能力愈強(qiáng)，即使在微弱的電場作用下，也可形成很強(qiáng)的電流。第8頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月材料電導(dǎo)率σ/(S/m)鐵(99.98%)107

黃銅1.56×107

鋁3.55×107

金3.10×107

鉛5.55×107

銅5.80×107

銀6.20×10硅1.56×10-3

表5-1常用材料的電導(dǎo)率第9頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月2、焦耳定律的微分形式

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，則在單位時間內(nèi)電場力對電荷所作的功，即功率是在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長度為Δl、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為

第10頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)ΔV→0，取ΔP/ΔV的極限，就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度，表示為

或

此式就是焦耳定律的微分形式。應(yīng)該指出，焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因?yàn)閷τ谶\(yùn)流電流而言，電場力對電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽埽皇寝D(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。第11頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月電荷守恒定律

要使積分對任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即

3.1.2恒定電流場的基本方程

第12頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月電源外部導(dǎo)體中恒定電場的基本方程歸納如下：

與其相應(yīng)的積分形式為

第13頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月電流密度J與電場強(qiáng)度E之間滿足歐姆定律J=σE。以上的電場是指庫侖場，因?yàn)樵陔娫赐獾膶?dǎo)體中，非庫侖場為零。因恒定電場的旋度為零，因而可以引入電位φ,E=-▽φ。在均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù))，有第14頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3恒定電場的邊界條件

1、兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的邊界邊界條件第15頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月或恒定電流場的邊界條件為

在恒定電場中，用電位φ表示的邊界條件為

第16頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，Jn=J1n=J2n,當(dāng)時，分界面上面電荷密度為零。應(yīng)用邊界條件，可得

第17頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看出，當(dāng)σ1>>σ2，即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良導(dǎo)體中，電力線近似地與界面垂直。這樣，可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面。

2、兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率邊界第18頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月在導(dǎo)體（第一種媒質(zhì)）與介質(zhì)（第二種媒質(zhì)）的分界面，因?qū)w表面有恒定電荷，E2n

0，E1t＝E2t，介質(zhì)中緊挨導(dǎo)體表面處的電場強(qiáng)度與導(dǎo)體表面不垂直。另外恒定電流場中，仍成立。

3、導(dǎo)體與理想介質(zhì)的分界面第19頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例

一個同心電容器的內(nèi)、外半徑為a、b，其間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示，求該電容器的漏電電導(dǎo)。同心電容器第20頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場為內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為

第21頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月漏電電導(dǎo)為

也可以通過計(jì)算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率，并由P=I2R求出漏電電阻R：

第22頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

恒定電流場與靜電場的比擬

恒定電場與靜電場的比較

第23頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電場（

＝0處）

導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的恒定電場（電源外）

Iσ如果J和D分別在導(dǎo)電媒質(zhì)和介質(zhì)中處于相同的邊界條件，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)的恒定電場與均勻介質(zhì)內(nèi)的靜電場有相同的場圖。即J和D的分布一致。如果兩種場中媒質(zhì)分布均勻，其介電常數(shù)和電導(dǎo)率分別是

1，

2，σ1，σ2，當(dāng)兩者邊界情況相似且滿足σ1/σ2=

1/

2，兩種場的相似關(guān)系也成立。第24頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ0。3.1.4接地電阻

第25頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。用靜電比擬法，位于電介質(zhì)中的半徑為a的導(dǎo)體球的電容為

所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為

接地電阻為

第26頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月在運(yùn)動電荷的周圍，除了電場，還存在一種稱為磁場的物質(zhì)。描述磁場特性的基本物理量：磁感應(yīng)強(qiáng)度磁場的表現(xiàn)：對于引入場中的運(yùn)動電荷有力的作用。如電荷q以速度運(yùn)動，磁場對其對作用力為磁場對運(yùn)動電荷的作用力又稱洛侖茲力。洛侖茲力不能做功。通有電流I的導(dǎo)線元在磁場中，此時這個電流元（

I

）所受到的力3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度

第27頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一線元dl1對另一載有電流I2的回路C2上任一線元dl2的作用力表示為

安培定律

第28頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月令若電流不是線電流，而是具有體分布的電流J，則有

第29頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月可以用上式計(jì)算各種形狀的載流回路在外磁場中受到的力和力矩。如果空間還存在外電場E，電荷q受到的力還要加上電場力。這樣，就得到帶電q以速度v運(yùn)動的點(diǎn)電荷在外電磁場(E，B)中受到的電磁力為上式稱為洛侖茲力公式。

對以速度v運(yùn)動的點(diǎn)電荷q，其在外磁場B中受的力是第30頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例求載流I的有限長直導(dǎo)線外任一點(diǎn)的磁場。

第31頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)線和z軸重合，在圓柱坐標(biāo)中計(jì)算。

從對稱關(guān)系能夠看出磁場與坐標(biāo)φ無關(guān)。不失一般性，將場點(diǎn)取在φ=0，即場點(diǎn)坐標(biāo)為(r,0,z)，源點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0，z′)。

第32頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月所以

對于無限長直導(dǎo)線(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其產(chǎn)生的磁場為

第33頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例真空中有一載電流I，半徑為R的圓形回路，求其軸線上P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：圓形回路的元電流在p點(diǎn)引起的元磁感應(yīng)強(qiáng)度由于圓形回路的對稱性，整個回路引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有x方向。第34頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月兩平行放置無限長直導(dǎo)線分別通有電流I1和I2

，它們之間距離為d。求兩導(dǎo)線單位長度所受的力。I1處I2單位長度受力dI1I2第36頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：計(jì)算線電流在真空中P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度第37頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3恒定磁場的基本方程

3.3.1磁通連續(xù)性原理

磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋伯)，用Φ表示：

如S是一個閉曲面，則

第38頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月上式中，，故可將其改寫為

由矢量恒定式

第39頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月則有

而梯度場是無旋的，

所以第40頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月使用散度定理，得到

由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對空間的各點(diǎn)，有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B是一個無源(指散度源)場。第41頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.2安培環(huán)路定律

環(huán)路定律

第42頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)回路C′對P點(diǎn)的立體角為Ω，同時P點(diǎn)位移dl引起的立體角增量為dΩ，那么P點(diǎn)固定而回路C′位移dl所引起的立體角增量也為dΩ′。-dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面積。注意到R=r-r′，這個立體角為。把其對回路C′積分，就得到P點(diǎn)對回路C′移動dl時所掃過的面積張的立體角，記其為dΩ，則以上的磁場環(huán)量可以表示為第43頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，當(dāng)載流回路C′和積分回路C相交鏈時，有

當(dāng)載流回路C′和積分回路C不交鏈時，有這樣當(dāng)積分回路C和電流I相交鏈時，可得

第44頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)穿過積分回路C的電流是幾個電流時，可以得到為一般形式：

根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式：

由于

第45頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月因積分區(qū)域S是任意的，因而有

上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明磁場的渦旋源是電流?？捎么耸綇拇艌銮箅娏鞣植?。對于對稱分布的電流，可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。

第46頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月場中取一條半徑為r的磁感應(yīng)線作積分回路，

真空中無限長直導(dǎo)線中通以電流I，由其引起離軸線r遠(yuǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度第47頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月如果取任一包圍電流的回路，第48頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月真空的磁場中，沿任意回路取的線積分，等于真空的磁導(dǎo)率乘該回路所限定面積上穿過的電流的代數(shù)和。

電流方向與積分回路繞行方向成右手螺旋關(guān)系時，電流取正號，否則取負(fù)號。在一些對稱的情況下，可用上式簡便計(jì)算。第49頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解:在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零，

r≤ar>a

第50頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)r≤a時，

當(dāng)r>a時，

寫成矢量形式為

r≤ar>a

第51頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例

一無限長同軸電纜截面如圖。芯線通有均勻分布的電流I，外皮通有量值相同，方向相反對電流，試求各部分磁感應(yīng)強(qiáng)度。第52頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）芯線內(nèi)，r<R1，電流密度J=I/

R12,作一半徑為r的圓作為積分回路，用柱坐標(biāo)，穿過圓面積的電流I’為第53頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)絕緣層中R1<r<R2,取一半徑為r的圓作積分回路，穿過圓面積的電流為I(3)外導(dǎo)體R2<r<R3,取一半徑為r的圓作積分回路，穿過圓面積的電流為I’。第54頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）電纜外r>R3,第55頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月磁偶極子

3.4介質(zhì)的磁化3.4.1磁偶極子第56頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，m=Iπa2，是圓形回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是一個矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，即其定義為

真空中離磁偶極子r遠(yuǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為第57頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月位于外磁場B中的磁偶極子m，會受到外磁場的作用力及其力矩。這里僅僅給出作用力及力矩的公式。作用力為

力矩為

物理意義來源于受力的平衡性穩(wěn)定非穩(wěn)定第58頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2磁化強(qiáng)度

式中m是分子磁矩，求和對體積元ΔV內(nèi)的所有分子進(jìn)行。磁化強(qiáng)度M的單位是A/m(安培/米)。如在磁化介質(zhì)中的體積元ΔV內(nèi)，每一個分子磁矩的大小和方向全相同，單位體積內(nèi)分子數(shù)是N，則磁化強(qiáng)度為

第59頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月磁化電流示意圖

3.4.3磁化電流

第60頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖所示)，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。

第61頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時，M=M0ez，磁化電流為在界面z=0上，n=-ez,

在界面z=L上，n=ez，

在界面r=a上，n=ep,第62頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5磁介質(zhì)的場方程

在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm。磁化電流Jm和外加的電流J都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：第63頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月令其中H稱為磁場強(qiáng)度，單位是A/m(安培/米)。于是有

與上式相應(yīng)的微分形式是

第64頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月M與H間的關(guān)系為

式中χm是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場強(qiáng)度有關(guān)，非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù)，各向異性介質(zhì)的M和H的方向不在同一方向上。順磁介質(zhì)的χm為正，抗磁介質(zhì)的χm為負(fù)。這兩類介質(zhì)的χm約為10-5量級。第65頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，μr=1+χm，是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，是一個無量綱數(shù)；μ=μ0μr，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達(dá)到106量級。第66頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程

第67頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域的H、B、M。

同軸線示意圖

第68頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：以后如無特別聲明，對良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。因同軸線為無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場只有φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律∮C

H·dl=∫SJ·dS，求出各區(qū)的磁場強(qiáng)度H，然后由H求出B和M。當(dāng)r≤a時，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得

第69頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得

(r≤a)(r≤a)當(dāng)a<r≤b時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為μ，可得

(a<r≤b)第70頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)b<r≤c時，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為則

當(dāng)r>c時，這一區(qū)域的B、H、M為零。

第71頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6恒定磁場的邊界條件

Bn的邊界條件

第72頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)底面和頂面的面積均等于ΔS。將積分形式的磁通連續(xù)性原理(即∮S

B·dS=0)應(yīng)用到此閉合面上，假設(shè)圓柱體的高度h趨于零，得寫成矢量形式為

第73頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月Ht的邊界條件

第74頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律

應(yīng)用在這一回路，得

若界面上的電流可以看成面電流，則

于是有

第75頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮到l°=b×n,得

使用矢量恒等式

第76頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月如果無面電流(JS=0)，這一邊界條件變成為

用下標(biāo)t表示切向分量，上式可以寫成標(biāo)量形式：

假設(shè)磁場B2與法向n的夾角為θ2,B1與n的夾角為θ1，則可寫成

第77頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月上式兩式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得這表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。若介質(zhì)1為鐵磁材料，介質(zhì)2為空氣，此時μ2?μ1,因而θ2?

θ1，可得B2?B1。假如μ1=1000μ0,μ2=μ0，在這種情況下，當(dāng)θ1=87°時，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可見，鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)大于外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度，同時外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直。

第78頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.7矢量磁位和標(biāo)量磁位

可以令

稱式中的A為矢量磁位(簡稱磁矢位)，其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個輔助量。僅規(guī)定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因?yàn)槿鬊=▽×A，另一矢量A′=A+▽Ψ，其中Ψ是一個任意標(biāo)量函數(shù)，則由于，而庫侖規(guī)范1、矢量磁位第79頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月使用矢量恒等式

上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對無源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即

第80頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月將其寫成矢量形式為

若磁場由面電流JS產(chǎn)生，容易寫出其磁矢位為

同理，線電流產(chǎn)生的磁矢位為

磁通的計(jì)算也可以通過磁矢位表示：

第82頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月磁偶極子

例：求小圓環(huán)電流的矢量磁位和磁場第83頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月第84頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月如果r>>a，則

從圖可見，

第85頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月所以

式中，m=Iπa2，是圓形回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是一個矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，即其定義為

第86頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月第87頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月位于點(diǎn)r的磁矩為m的磁偶極子，在點(diǎn)r′處產(chǎn)生的磁矢位為

位于外磁場B中的磁偶極子m，會受到外磁場的作用力及其力矩。這里僅僅給出作用力及力矩的公式。作用力為

力矩為

第88頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。直導(dǎo)線磁矢位

第89頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解:當(dāng)l>>z時，有

上式中，若再取l>>r,則有

第90頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點(diǎn)，就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時，可以得出從上式，用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出

第91頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例用磁矢位重新計(jì)算載流直導(dǎo)線的磁場。

解：

r≤ar>a

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即

設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁位是A1,導(dǎo)線外磁位是A2，

r<a時第92頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月r>a時

第93頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場分別為

導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

利用可求得第94頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月2、標(biāo)量磁位根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程式可知，在無自由電流(J=0)的區(qū)域里，磁場強(qiáng)度H是無旋的。此時，磁場強(qiáng)度可以表示為一個標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度，即

稱為磁場的標(biāo)量位函數(shù)(簡稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位)，單位為A(安培)。上式中的負(fù)號是為了與靜電位對應(yīng)而人為加入的。在均勻介質(zhì)中，可得第95頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程，即

所以用微分方程求磁標(biāo)位時，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁場的邊界條件用磁標(biāo)位表示時，為

磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內(nèi)無自由電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率，因而永磁體表面是一個等位(磁標(biāo)位)面，這時可以用靜電比擬法來計(jì)算永磁體的磁場。

第96頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8自感和互感在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ也是與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用Ψ表示。對于密繞線圈，可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等，從而有Ψ=NΦ。一個回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比，用L表示，即

1.自感第97頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月第98頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于內(nèi)自感的計(jì)算，設(shè)回路的尺寸比導(dǎo)線截面尺寸大得多且導(dǎo)線橫截面為圓形，則導(dǎo)線內(nèi)部的磁場可近似地認(rèn)為同無限長直圓柱導(dǎo)體內(nèi)部的場相同。若導(dǎo)線截面半徑為a，磁導(dǎo)率為μ，如圖所示。則導(dǎo)線內(nèi)的磁場為穿過導(dǎo)線中長為L，寬為dr的截面的磁通為第99頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月故長度為L的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為

dφ僅與電流的一部分（即半徑為的圓截面內(nèi)的電流）相交鏈，因而在計(jì)算與I相交鏈的磁鏈時要乘以一個比值，即它交鏈的電流占總電流的百分比，即故內(nèi)磁鏈為：第100頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月互感2.互感第101頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月互感的單位與自感相同。同樣，可以用載流回路C2的磁場在回路C1上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I2的比來定義互感M21，即

互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。

第102頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)自感

第103頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個回路之間的最近距離時，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個回路都只有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為

式中，A12為電流I1在C2上的磁矢位，即第104頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月同理有：

可見：上式為互感的諾伊曼公式

第105頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月例求無限長平行雙導(dǎo)線(如圖所示)單位長外自感。平行雙導(dǎo)線

第106頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無限長導(dǎo)線的磁場公式，可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為

所以單位長外自感為

第107頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月載流回路系統(tǒng)中有能量儲存，這能量是在電流和磁場建立過程中，由外源做功轉(zhuǎn)換而來，其所儲的磁能為磁場形成過程中電源所做的功，可以通過電流建立過程中抵抗感應(yīng)電動勢做功來計(jì)算。3.9磁場能量

第108頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

先計(jì)算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量。假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。在建立磁場的過程中，兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最終，i1=I1,i2=I2。在這一過程中，電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場能量。我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān)，與建立狀態(tài)的方式無關(guān)。為計(jì)算這個能量，（a）先假定回路2的電流為零，求出回路1中的電流i1從零增加到I1時，電源作的功W1；第109頁，課件共120頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)保持回路2的電流i2=0時，回路1中的電流i1在dt時間內(nèi)有一個增量di1,周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路1和2的磁通分別有增量dΨ11和dΨ12，相應(yīng)地在兩個回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢E1=-dΨ11/dt和E2=-dΨ12/dt。感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加。因而，為使回路1中的電流得到增量di1,必須在回