數(shù)理方程第1講

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第1講第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程的建立例1

弦的振動

設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦,平衡時沿直線拉緊,而且除受不隨時間而變的張力作用外,不受外力影響.下面研究弦作微小橫向振動的規(guī)律.所謂"橫向"是指全部運動出現(xiàn)在一個平面上,而且弦上的點沿垂直于x軸的方向運動.

所謂"微小"是指的振動的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小,以致它們的高于一次方的項都可略而不計.xOua'T'aTMM'NN'xx+dxds或或最后得(1.3)式稱為一維波動方程.如果在振動過程中,弦上另外還受到一個與弦的振動方向平行的外力,且假定在時刻t弦上x點處的外力密度為F(x,t),則按照同樣的推動辦法,可得到弦的強(qiáng)迫振動方程為其中表示t時刻單位質(zhì)量的弦在x點處所受的外力密度方程(1.3)與(1.3)'的差別在于(1.3)'的右端多了一個與未知函數(shù)u無關(guān)的項f(x,t),這個項稱為自由項.包括有非零自由項的方程稱為非齊次方程,自由項恒等于零的方程稱為齊次方程.

(1.3)為齊次一維波動方程,(1.3)'為非齊次一維波動方程.

例2

傳輸線方程

對于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫定律指出同一支路中電流相等,但對于較高頻率的電流(指頻率還沒有高到能顯著地輻射電磁波的情況),電路中導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略,因而同一支路中電流未必相等.今考慮一來一往的高頻傳輸線,它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體.在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中,電流通過的情況,可以用電流強(qiáng)度i和電壓v來描述,此處i與v都是x,t的函數(shù),記作i(x,t)與v(x,t).LDxCDxii+Div+Dvvxx+DxL—每一回路單位的串聯(lián)電感;

C—每一單位長度的分路電容.LDxCDxii+Div+Dvvxx+DxLDxCDxii+Div+Dvvxx+DxLDxCDxii+Div+Dvvxx+Dx(1.4)對t求偏導(dǎo),將(1.5)對x求偏導(dǎo),得(1.4)對x求偏導(dǎo),將(1.5)對t求偏導(dǎo),得最后得這兩個方程稱為高頻傳輸線方程.若令這兩個方程與(1.3)完全相同.由此可見,同一個方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容

以i,j,k分別表示沿x,y,z軸正向的單位向量,則任何一個三維空間的點或者向量a可表示為

a=xi+yj+zk,或表示為a=(x,y,z)

則二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的數(shù)量積或點積為:a1·a2=x1x2+y1y2+z1z2

它們的向量積或叉積為用M來代表三維空間中的一點x,y,z,則一個數(shù)量場函數(shù)就是一個三元函數(shù),用f(M)表示.一個向量場函數(shù)F(M),表示每給一點,都有一個向量與之對應(yīng),F(M)可表示為

F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k

其中P(M),Q(M),R(M)都是數(shù)量函數(shù).

一個數(shù)量場函數(shù)f(M)在某點x,y,z的沿l方向的方向?qū)?shù)為其中a,b,g為方向l的方向角數(shù)量場函數(shù)f(M)的梯度是一個向量場函數(shù),記為gradf(M)函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.向量場函數(shù)F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在點M處的散度是一個標(biāo)量場函數(shù),記為divF,在這里可看作穩(wěn)定流動的不可壓縮流體在點M的源頭強(qiáng)度—在單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體的質(zhì)量.如果為負(fù),表示點M處流體在消失.向量場函數(shù)F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在點M處的旋度是一個向量場函數(shù),記為rot

F,向量微分算子

的定義為它又稱為

(Nabla)算子或哈密爾頓(Hmilton)算子.運用向量微分算子,設(shè)數(shù)量場函數(shù)為f(x,y,z),向量場函數(shù)為F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,其中稱為拉普拉斯(Laplace)算子.高斯公式和斯托克斯公式可分別寫成其中Fn為向量場函數(shù)在曲面元法線方向上的投影,而Ft為向量場函數(shù)在曲線切線方向上的投影.例3

電磁場方程

電磁場的特性可用電場強(qiáng)度E與磁場強(qiáng)度H以及電感應(yīng)強(qiáng)度D與磁感應(yīng)強(qiáng)度B來描述.它們可用麥克斯韋(Maxwell)方程組描述為:J—傳導(dǎo)電流面密度,r—電荷的體密度.e—介電常數(shù),m—導(dǎo)磁率,s—導(dǎo)電率.而rotrot

H=graddivH-

2H=2H最后得到H所滿足的方程為同理,若消去H即得E所滿足的方程如s=0,則(1.15)與(1.16)稱為三維波動方程.用標(biāo)量形式表示可寫成u是E(或H)的任意一個分量,而從(1.11)和(1.12)還可以推出靜電場的電位所滿足的微分方程.因E=-grad

u,由

divD=edivE=r

可得 divgrad

u=-r/e,

或此非齊次方程稱為泊松(Poisson)方程.如果靜電場是無源的,即r=0,則(1.18)變成

2u=0 (1.19)這個方程稱為拉普拉斯(Laplace)方程.例4

熱傳導(dǎo)方程

在物體中任取一閉曲面S,它所包圍的區(qū)域記作V.假設(shè)在時刻t區(qū)域V內(nèi)點M(x,y,z)處的溫度為u(x,y,z,t),n為曲面元素DS的法向(從V內(nèi)指向V外).

由傳熱學(xué)中傅里葉實驗定律可知,物體在無窮小時間段dt內(nèi),流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt,曲面面積dS,以及物體溫度u沿曲面dS的法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比DSnMVS熱場DSnMVSk為熱傳導(dǎo)系數(shù).這里為常數(shù)。從時刻t1到t2,通過曲面S流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為(負(fù)號表明熱量是由高溫向低溫流動)上式的負(fù)號表示熱流流向是溫度梯度的相反方向。因S為閉曲面,式中的二重積分可利用高斯公式化為三重積分,即流入的熱量使V內(nèi)溫度發(fā)生了變化,在時間間隔[t1,t2]內(nèi)區(qū)域V內(nèi)各點溫度從u(x,y,z,t1)變化到u(x,y,z,t2),則在[t1,t2]內(nèi)溫度升高所需要的熱量為c—物體的比熱,r—物體的密度.流入的熱量應(yīng)等于物體吸收的熱量,因此有由于[t1,t2]及V是任取的,上式成立的條件就是被積函數(shù)相等,即其中方程(1.21)稱為三維熱傳導(dǎo)方程.若物體內(nèi)有熱源,其強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為其中作為特例,如果所考慮的物體是一根細(xì)桿(或一塊薄板),或者即使不是細(xì)桿(或薄板)而其中的溫度u只與x,t(或x,y,t)有關(guān),則(1.21)就變成一維或二維熱傳導(dǎo)方程如果考慮穩(wěn)恒溫度場,即在熱傳導(dǎo)方程中物體的溫度趨于某種平衡狀態(tài),這時溫度u已與時間無關(guān),此時方程(1.21)就變成拉普拉斯方程(1.19).由此可見穩(wěn)恒溫度場內(nèi)的溫度u也滿足拉普拉斯方程.

在研究氣體或液體的擴(kuò)散過程時,若擴(kuò)散系數(shù)是常數(shù),則所得的擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程完全相同.§1.2初始條件與邊界條件上面討論的是如何將一個具體問題所具有的物理規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來.除此以外,我們還需要把這個問題所具有的特定條件也用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來,這是因為任何一個具體的物理現(xiàn)象都是處在特定條件之下的.例如弦振動問題,上節(jié)所推導(dǎo)出來的方程是一切柔軟均勻的弦作微小橫向振動的共同規(guī)律,在推導(dǎo)這個方程時沒有考慮到弦在初始時刻的狀態(tài)以及弦所受的約束情況.如果我們不是泛泛地研究弦的振動,勢必就要考慮到弦所具有的特定條件.因為任何一個振動物體在某時刻的振動狀態(tài)總是和此時刻以前的狀態(tài)有關(guān),從而就與初始時刻的狀態(tài)有關(guān).另外,弦的兩端所受的約束也會影響弦的振動,端點處的物理條件不同就會產(chǎn)生不同的影響,因而弦的振動也不同.所以對弦振動問題來說,除了建立振動方程以外,還需列出它所處的特定條件.對熱傳導(dǎo)方程,拉普拉斯方程也是如此.提出的條件應(yīng)該能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)或者邊界上的約束情況.用以說明初始狀態(tài)的條件稱為初始條件;用以說明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.下面具體說明初始條件和邊界條件的表達(dá)形式.先談初始條件,對于弦振動問題來說,初始條件就是弦在開始時刻的位移及速度,若以j(x),y(x)分別表示初位移和初速度,則初始條件可以表達(dá)為而對熱傳導(dǎo)方程來說,初始條件是指在開始時刻物體溫度的分布情況,若以j(M)表示t=0時物體內(nèi)任一點M處的溫度,則熱傳導(dǎo)方程的初始條件就是

u(M,t)|t=0=j(M). (1.23)

泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的,與初始狀態(tài)無關(guān),所以不提初始條件.再談邊界條件.還是先從弦振動問題說起,從物理學(xué)得知,弦在振動時,其端點(以x=a表示這個端點)所受約束情況,通常有以下三種類型:

第一,固定端,即弦在振動過程中這個端點始終保持不動.對應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為

u|x=a=0, (1.24)

或 u(a,t)=0.第二,自由端,即弦在這個端點不受位移方向的外力,從而在這個端點弦在位移方向的張力應(yīng)該為零.由前面的推導(dǎo)過程可知,此時對應(yīng)的邊界條件為即或?qū)醾鲗?dǎo)方程來說,也有類似的情況.以S表示某物體V的邊界,如果在導(dǎo)熱過程中邊界S的溫度為已知的函數(shù)f(x,y,z,t),則這時的邊界條件為

u|S=f (1.27)

這里的f是定義在S上(一般依賴于t)的函數(shù).

如果在導(dǎo)熱過程中,物體V與周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài),則在S上的熱量流速始終為零,則在邊界S上必滿足所以,當(dāng)物體和外界有熱交換時,相應(yīng)的邊界條件為即其中s=k1/k綜上所述可知,不論對弦振動問題,還是對熱傳導(dǎo)問題,它們所對應(yīng)的邊界條件,從數(shù)學(xué)角度看不外有三種類型:

一是在邊界S上直接給出了未知函數(shù)u的數(shù)值,即 u|S=f1 (1.30)

這種形式的邊界條件稱為第一類邊界條件.

二是在邊界S上給出了未知函數(shù)u沿S的外法線方向的方向?qū)?shù),即這種形式的邊界條件稱為第二類邊界條件.三是在邊界S上給出了未知函數(shù)u及其沿S的外法向的方向?qū)?shù)某種線性組合的值,即這種形式的邊界條件稱為第三類邊界條件.需要注意的是(1.30),(1.31),(1.32)右端的fi(i=1,2,3)都是定義在邊界S上(一般說來,也依賴于t)的已知函數(shù).不論哪一類型的邊界條件,當(dāng)它的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的自由項(即不依賴于u的項)恒為零時,則這種邊界條件稱為是齊次的,否則稱為非齊次的.§1.3定解問題的解法前面推導(dǎo)了三種不同類型的偏微分方程并討論了與它們相應(yīng)的初始條件與邊界條件的表達(dá)方式.由于這些方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階都是二階,而且它們對于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)來說都是線性的,所以這種方程稱為二階線性偏微分方程.在工程技術(shù)上二階偏微分方程遇到最多.如果一個函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且代入該方程中能使它變成恒等式,則此函數(shù)稱為該方程的解(古典解).由于每一個物理過程都處在特定的條件之下,所以我們的任務(wù)是要求出偏微分方程的適合某些特定條件的解.初始條件和邊界條件都稱為定解條件,把某個偏微分方程和相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起,就構(gòu)成了一個定解問題.只有初始條件,沒有邊界條件的定解問題稱為始值問題(或柯西(Cauchy)問題);

反之,沒有初始條件,只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題.

即有初始條件也有邊界條件的定解問題稱為混合問題.一個定解問題提得是否符合實際情況,當(dāng)然必須靠實踐來證實.然而從數(shù)學(xué)角度來看,可以從三方面加以檢驗:

1)解的存在性,即看所歸結(jié)出來的定解問題是否有