2023學年八年級數(shù)學上冊高分突破必練專題（人教版） 分式方程應用（四大類型）（解析版）

分式方程應用（四大類型）類型一：行程問題類型二：工程問題類型三：銷售問題類型四：方案問題【類型一：行程問題】【典例1】（2020秋?安丘市期末）星期天，小明和小芳從同一小區(qū)門口同時出發(fā)，沿同一路線去離該小區(qū)1800米的少年宮參加活動，為響應“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”的號召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結果小明比小芳早6分鐘到達，求小芳的速度．【解答】解：設小芳的速度是x米/分鐘，則小明的速度是1.2x米/分鐘，根據題意得：﹣＝6，解得：x＝50，經檢驗x＝50是原方程的解，答：小芳的速度是50米/分鐘．【變式1-1】（2012?山西模擬）列方程或方程組解應用題：為響應低碳號召，肖老師上班的交通方式由自駕車改為騎自行車，肖老師家距學校15千米，因為自駕車的速度是騎自行車速度的4倍，所以肖老師每天比原來早出發(fā)45分鐘，才能按原時間到校，求肖老師騎自行車每小時走多少千米．【解答】列方程或方程組解應用題：解：設肖老師騎自行車每小時走x千米．根據題意得：，解得x＝15，經檢驗x＝15是原方程的解，并符合實際意義，答：肖老師騎自行車每小時走15千米．【變式1-2】（2020秋?白云區(qū)期末）一輛汽車開往距離出發(fā)地180km的目的地，出發(fā)后第一小時內按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前40分鐘到達目的地，求前一小時的行駛速度．【解答】解：設前一小時的行駛速度為xkm/h，根據題意可得：+1＝﹣，解得：x＝60，檢驗得：x＝60是原方程的根，答：前一小時的行駛速度為60km/h．【變式1-3】（2021?揚州模擬）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．【解答】解：設走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，依題意，得：﹣＝，解得：x＝50，經檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+50%）x＝75．答：走路線B的平均速度為75km/h．【類型二：工程問題】【典例2】（2022春?瑤海區(qū)期末）某建工集團下有甲、乙兩個工程隊，現(xiàn)中標承建一段公路，若甲、乙兩工程隊合做20天可完成；若讓兩隊合做15天后，剩下的工程由甲隊獨做，還需15天才能完成．（1）甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊施工每天需付施工費10000元，乙工程隊施工每天需付施工費26000元，此項工程若由甲工程隊先獨做若干天后，乙工程隊再加入共同完成剩下的工程，則甲工程隊至少要獨做多少天，才能使施工費不超過680000元？【解答】解：（1）設甲隊單獨完成此項工程需x天，由題意得：×15+＝1，解得：x＝60，經檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意，∵﹣＝﹣＝，∴乙工程隊單獨完成此項工程需要30天，答：甲隊單獨完成此項工程需60天，乙工程隊單獨完成此項工程需要30天；（2）設甲工程隊要獨做a天，乙工程隊做了b天，由題意得：+＝1，整理得：a+3b＝60，∴b＝20﹣a，∵施工費不超過680000元，∴10000（a+b）+26000b≤680000，∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程隊至少要獨做20天．【變式2-1】（2022?桂林模擬）為了進一步豐富市民的休閑生活，某區(qū)政府決定在漓江沿岸擴建5400米綠道并進行招標，根據招標結果，該工程由甲、乙兩個工程隊參與建設．已知：甲工程隊每天完成的工程量是乙隊的1.2倍，甲隊單獨完成工程比乙隊單獨完成少用10天．（1）求乙隊每天能完成多少米？（2）若甲、乙兩個工程隊合作20天后，剩余工程由乙工程隊單獨完成，求乙工程隊還需多少天？【解答】解：（1）設乙隊每天能完成x米．則甲工程隊每天完成1.2x米，由題意可得：，解得：x＝90，經檢驗，x＝90是原方程的解，且符合題意．答：乙隊每天能完成90米；（2）設乙工程隊還需y天．由題意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，解得：y＝16，答：乙工程隊還需16天．【變式2-2】（2022?玉州區(qū)一模）為美化小區(qū)環(huán)境，物業(yè)計劃安排甲、乙兩個工程隊完成小區(qū)綠化工作．已知甲工程隊每天綠化面積是乙工程隊每天綠化面積的2倍，甲工程隊單獨完成600m2的綠化面積比乙工程隊單獨完成600m2的綠化面積少用2天．（1）求甲、乙兩工程隊每天綠化的面積分別是多少m2；（2）小區(qū)需要綠化的面積為9600m2，物業(yè)需付給甲工程隊每天綠化費為0.3萬元，付給乙工程隊每天綠化費為0.2萬元，若要使這次的綠化總費用不超過12萬元，則至少應安排甲工程隊工作多少天？【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x（m2），根據題意得，解得：x＝150，經檢驗：x＝150是原方程的解，則2x＝300．答：甲工程隊每天能完成綠化的面積是300m2，乙工程隊每天能完成綠化的面積是150m2，（2）設甲隊工作y天完成：300y（m2），乙隊完成工作所需要（天），根據題意得：0.3y+0.2×≤12，解得：y≥8．所以y最小值是8．答：至少應安排甲隊工作8天．【類型三：銷售問題】【典例3】（2022春?大觀區(qū)校級期末）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數(shù)量與用100元購進乙商品的數(shù)量相同．（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？（2）若該商場購進甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超過95個，則商場最多購進乙商品多少個？【解答】解：（1）設每個甲商品的進價為x元，則每個乙商品的進價為（x+2）元，依題意得：＝，解得：x＝8，經檢驗，x＝8是原方程的解，且符合題意，∴x+2＝8+2＝10．答：每個甲商品的進價為8元，每個乙商品的進價為10元．（2）設購進m個乙商品，則購進（3m﹣5）個甲商品，依題意得：3m﹣5+m≤95，解得：m≤25．答：商場最多購進乙商品25個．【變式3-1】（2022春?普寧市期末）某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數(shù)量與用64000元購進空調的數(shù)量相等．（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？（2）現(xiàn)在商城準備一次性購進這兩種家電共100臺，要求購進空調數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13000元，一共有多少種合理的購買方案？【解答】解：（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，根據題意得：＝，解得：x＝1600經檢驗，x＝1600是原方程的解，且符合題意，則x+400＝1600+400＝2000，答：每臺空調的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元．（2）設購進電冰箱m臺（m為正整數(shù)），這100臺家電的銷售總利潤為y元，則y＝（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）＝﹣50m+15000，根據題意得：，解得：33≤m≤40，∵m為正整數(shù)，∴m＝34，35，36，37，38，39，40，∴一共有7種合理的購買方案．【變式3-2】（2022春?市南區(qū)期末）某中學舉辦了以“童心繪未來”為主題繪畫比賽．學校計劃購買A、B兩種學習用品獎勵獲獎同學，已知購買一個A種學習用品比購買一個B種學習用品多用20元，若用400元購買A種學習用品的數(shù)量是用160元購買B種學習用品數(shù)量的一半．（1）求A、B兩種學習用品每件多少元？（2）商店給該校購買一個A種學習用品贈送一個B種學習用品的優(yōu)惠，如果該校需要B種學習用品的個數(shù)是A種學習用品個數(shù)的2倍還多8個，且該校購買A、B兩種獎品的總費用不超過670元，那么該校最多可購買多少個A種學習用品？【解答】解：（1）設購買一個B種學習用品需要x元，則購買一個A種學習用品需要（x+20）元．根據題意得：＝×，解得：x＝5，經檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意，則x+20＝25．答：購買一個A種學習用品需要25元，購買一個B種學習用品需要5元；（2）設該校購買A種學習用品個數(shù)為a個，則購買B種學習用品的個數(shù)是（2a+8﹣a）個．由題意得：25a+5（2a+8﹣a）≤670，解得：a≤21，答：該校最多可購買21個A種學習用品．【類型四：方案問題】【典例4】（2021春?花都區(qū)校級月考）學校計劃選購甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎品．已知甲圖書的單價是乙圖書單價的1.5倍；用600元單獨購買甲種圖書比單獨購買乙種圖書要少10本．（1）甲、乙兩種圖書的單價分別為多少元？（2）若學校計劃購買這兩種圖書共40本，且投入的經費不超過1050元，要使購買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量，則共有幾種購買方案？【解答】解：（1）設乙種圖書的單價為x元，則甲種圖書的單價為1.5x元，由題意得﹣＝10解得：x＝20則1.5x＝30，經檢驗得出：x＝20是原方程的根，答：甲種圖書的單價為30元，乙種圖書的單價為20元；（2）設購進甲種圖書a本，則購進乙種圖書（40﹣a）本，根據題意得解得：20≤a≤25，所以a＝20、21、22、23、24、25，則40﹣a＝20、19、18、17、16、15∴共有6種方案．【變式4-1】（2021春?龍華區(qū)校級期中）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數(shù)量與用100元購進乙商品的數(shù)量相同．（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？（2）若該商場購進甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超過95個，則商場最多購進乙商品多少個？（3）在（2）的條件下，如果甲、乙兩種商品的售價分別是12元/個和15元/個，且將購進的甲、乙兩種商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過380元，那么該商場購進甲、乙兩種商品有哪幾種方案？【解答】解：（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x﹣2）元，根據題意，得＝，解得：x＝10，經檢驗，x＝10是原方程的根，每件甲種商品的進價為：10﹣2＝8．答：每件甲種商品的進價為8元，每件乙種商品件的進價為10元．（2）設購進乙種商品y個，則購進甲種商品（3y﹣5）個．由題意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商場最多購進乙商品25個；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y＞23．∵y為整數(shù)，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2種方案．方案一：購進甲種商品67個，乙商品件24個；方案二：購進甲種商品70個，乙種商品25個．【變式4-2】（2021?郴州）“七?一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買A，B兩種獎品，用于表彰在“童心向黨”活動中表現(xiàn)突出的學生．已知A獎品比B獎品每件多25元，預算資金為1700元，其中800元購買A獎品，其余資金購買B獎品，且購買B獎品的數(shù)量是A獎品的3倍．（1）求A，B獎品的單價；（2）購買當日，正逢該店搞促銷活動，所有商品均按原價八折銷售，故學校調整了購買方案：不超過預算資金且購買A獎品的資金不少于720元，A，B兩種獎品共100件，求購買A，B兩種獎品的數(shù)量，有哪幾種方案？【解答】解：（1）設A獎品的單價為x元，則B獎品的單價為（x﹣25）元，由題意得：＝，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是原方程的解，則x﹣25＝15，答：A獎品的單價為40元，則B獎品的單價為15元；（2）設購買A種獎品的數(shù)量為m件，則購買B種獎品的數(shù)量為（100﹣m）件，由題意得：，解得：22.5≤m≤25，∵m為正整數(shù)，∴m的值為23，24，25，∴有三種方案：①購買A種獎品23件，B種獎品77件；②購買A種獎品24件，B種獎品76件；③購買A種獎品25件，B種獎品75件．1．（2021?張家界模擬）為創(chuàng)建國家級生態(tài)市，遵義市政府決定對市區(qū)周邊水域的水質進行改善，這項工程由甲、乙兩個工程隊承包．已知甲工程隊每天的施工量是乙工程隊的3倍，若先讓乙工程隊單獨施工14天后甲工程隊加入，甲、乙兩個工程隊合作4天后，可完成總工程的．（1）求甲工程隊單獨完成這項工程需要多少天；（2）甲工程隊每天需支付的工程款為10萬元，乙工程隊每天需支付的工程款為3萬元，若工程費用不超過190萬元，則甲工程隊最多工作多少天？【答案】（1）甲工程隊單獨完成這項工程需要20天（2）甲工程隊最多工作10天【解答】解：（1）設甲工程隊單獨完成這項工程需要x天，則乙工程隊單獨完成這項工程需要3x天，依題意得：+＝，解得：x＝20，經檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意．答：甲工程隊單獨完成這項工程需要20天．（2）由（1）可知乙工程隊單獨完成這項工程所需時間為20×3＝60（天）．設甲工程隊工作m天，則乙工程隊工作＝（60﹣3m）天，依題意得：10m+3（60﹣3m）≤190，解得：m≤10．答：甲工程隊最多工作10天．2．（2021?長沙模擬）《三湘都市報》華聲在線2月21日訊，在長沙市岳麓區(qū)麓景路與梅溪湖路的交匯處，一條穿過桃花嶺公園連接含浦片區(qū)與梅溪湖片區(qū)的麓景路隧道正在加緊施工當中．從隧道中運輸挖出土方，其中每輛大貨車運輸?shù)耐练奖让枯v小貨車多8立方米，大貨車運120立方米與小貨車運80立方米車輛數(shù)相同．（1）求大貨車與小貨車每輛各運輸土方多少立方米？（2）總共有大小貨車共20輛，每天需運出432立方米泥土，大小貨車各需要多少輛？【答案】（1）小貨車每輛運輸16方，大貨車每輛運輸24方（2）大貨車需要14輛，小貨車需要6輛【解答】解：（1）設小貨車每輛運x方，則大貨車每輛運（x+8）方，依題意得：，解得：x＝16，經檢驗：x＝16是方程的解．則大貨車為：16+8＝24（方）．答：小貨車每輛運輸16方，大貨車每輛運輸24方；（2）設小貨車有a輛，則大貨車有（20﹣a）輛．依題意得：16a+24（20﹣a）＝432，解得：a＝6，則大貨車為20﹣6＝14（輛）．答：大貨車需要14輛，小貨車需要6輛．3．（2020秋?倉山區(qū)校級期末）某段鐵路全長2400千米，經過鐵路技術改造，列車實現(xiàn)第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了20%，行駛全程所需時間減少了4小時．（1）求列車提速前的速度；（2）現(xiàn)將鐵路全長延伸至3000千米，且要繼續(xù)縮短行駛全程所需的時間，則列車需再次提速，設提速百分比為m，已知列車在現(xiàn)有條件下安全行駛的速度不應超過180千米/每小時，求m的取值范圍．【答案】（1）列車提速前的速度為100千米/小時（2）m的取值范圍為25%＜m≤50%【解答】解：（1）設列車提速前的速度為x千米/小時，則提速后的速度為（1+20%）x千米/小時，依題意得：﹣＝4，解得：x＝100，經檢驗，x＝100是原方程的解，且符合題意．答：列車提速前的速度為100千米/小時．（2）第一次提速后的速度為100×（1+20%）＝120（千米/小時），第一次提速后行駛全程所需時間為2400÷120＝20（小時）．依題意得：，解得：0.25＜m≤0.5，∴25%＜m≤50%．答：m的取值范圍為25%＜m≤50%．4．（2021?昆明模擬）受新冠肺炎疫情影響，口罩、體溫計、消毒液等一度緊缺，某藥店用3200元采購一批耳溫計（測量體溫的），上市后發(fā)現(xiàn)供不應求，很快銷售完了，該藥店又去采購第二批同樣的耳溫計，進貨價比第一批貴了5元，該店用了9900元，所購數(shù)量是第一批的3倍．（1）求第一批采購的耳溫計單價是多少元？（2）若該藥店按每個耳溫計的售價為210元，銷售光這兩批耳溫計，總共獲利多少元？【答案】（1）第一批采購的耳溫計的單價是160元（2）總共獲利3700元【解答】解：（1）設第一批采購的耳溫計的單價為x元，則第二批采購的耳溫計的單價是（x+5）元，依題意，得：，解得：x＝160，經檢驗，x＝160是原方程的解，且符合題意，答：第一批采購的耳溫計的單價是160元；（2）第一批采購的耳溫計的數(shù)量為3200÷160＝20（個），第二批采購的耳溫計數(shù)量為20×3＝60（個），∴銷售完這兩批耳溫計共獲利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．答：銷售光這兩批耳溫計，總共獲利3700元．5．（2021春?埇橋區(qū)期末）開學初，學校要補充部分體育器材，從超市購買了一些排球和籃球．其中購買排球的總價為1000元，購買籃球的總價為1600元，且購買籃球的數(shù)量是購買排球數(shù)量的2倍．已知購買一個排球比一個籃球貴20元．種類標價優(yōu)惠方案A品牌足球150元/個八折B品牌足球100元/個九折（1）求購買排球和籃球的單價各是多少元；（2）為響應“足球進校園”的號召，學校計劃再購買50個足球．恰逢另一超市對A、B兩種品牌的足球進行降價促銷，銷售方案如表所示．如果學校此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過5000元．那么最多可購買多少個A品牌足