含稱重載荷下桁架重量分配的最優(yōu)分配

含稱重載荷下桁架重量分配的最優(yōu)分配

對(duì)于航空推進(jìn)器結(jié)構(gòu)、精密天線結(jié)構(gòu)、高速運(yùn)行設(shè)備等，重量負(fù)荷或柔性負(fù)荷占很大比例。結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響不能忽視重量負(fù)荷或柔性負(fù)荷對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化效果的影響。在尺寸優(yōu)化中，。在設(shè)計(jì)變量空間,含自重載荷的功函數(shù)Hessian矩陣為不定矩陣,而在位移狀態(tài)空間,含自重載荷的功是凸函數(shù)。位移狀態(tài)空間的全局最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于設(shè)計(jì)變量空間的全局最優(yōu)解,它們有相同的穩(wěn)定點(diǎn)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)優(yōu)化的準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法只是利用了各單元?jiǎng)偠染仃嚺c總體剛度矩陣之間的線性關(guān)系本文針對(duì)含自重載荷作用的功約束下桁架結(jié)構(gòu)重量最小化問題,依據(jù)功準(zhǔn)則方程導(dǎo)出含自重載荷作用下的功-重量分配準(zhǔn)則,并討論該準(zhǔn)則的物理意義。依據(jù)Kuhn-Tucker極值條件以及射線步對(duì)功函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的影響,構(gòu)造含自重載荷的功射極法;利用反變仿射變換法,證明功射極法所用不動(dòng)點(diǎn)迭代求解式的全局收斂性。討論功約束與應(yīng)力約束的不相容性,以及應(yīng)力比法在拓?fù)鋬?yōu)化后的適用性。文末,以三桿和十桿桁架結(jié)構(gòu)為例,驗(yàn)證算法的有效性。1功-重量分配準(zhǔn)則含自重載荷的功和應(yīng)力約束下結(jié)構(gòu)重量最小化的數(shù)學(xué)模型可表示為:式中:A=[A對(duì)于線彈性材料,結(jié)構(gòu)所承擔(dān)的總功等于各桿的應(yīng)變能之和,即:式中,E對(duì)式(1)邊界條件進(jìn)行松弛式中:λ用各桿橫截面積A功函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)可表示為:式中:K式中:P式(8)的推導(dǎo),利用了以下關(guān)系:將式(8)的結(jié)果代入式(5),并利用式(4),可得功-重量分配準(zhǔn)則:式中:W若用結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能替換式(10)中的功,可得:優(yōu)化實(shí)踐反映,功-重量分配準(zhǔn)則使需保留各桿內(nèi)應(yīng)力的絕對(duì)值趨向一致的最大化,而使需刪除各桿內(nèi)應(yīng)力的絕對(duì)值變?yōu)檩^小,可用該結(jié)果識(shí)別最緊應(yīng)力約束。2算法保證解析確定為實(shí)現(xiàn)不等式約束的Kuhn-Tucker極值條件,在解析確定當(dāng)前乘子之前先做一次射線步,以滿足約束臨界與乘子非負(fù)的要求,然后求解功準(zhǔn)則方程組至收斂,設(shè)計(jì)變量非負(fù)的要求由算法來保證;重復(fù)以上步驟至獲得最優(yōu)解。2.1最佳射線步長(zhǎng)的確定射線步對(duì)功函數(shù)各部分的影響是不同的,具體影響如下:根據(jù)式(1)的功約束,并利用式(12),可得射線步的解析求解式:式中:?能同時(shí)滿足以上兩式的射線步步長(zhǎng)才是最佳步長(zhǎng)。當(dāng)式(13)等號(hào)右端開方號(hào)內(nèi)的項(xiàng)為正值時(shí),若開方號(hào)外的符號(hào)取正號(hào),則式(13)等號(hào)右端的平方大于式(14)不等號(hào)右端的平方,說明式(14)不能滿足。因此,式(13)等號(hào)右端開方號(hào)外的符號(hào)應(yīng)取負(fù)號(hào)?？稍谑?13)等號(hào)右端開方號(hào)外的符號(hào)取負(fù)號(hào)的基礎(chǔ)上,將其改寫為如下的解析求解式:2.2乘法子的分析在當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)不是功函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí),可由式(10)的第一等式解析求出乘子,即:式(16)乘子的正值要求已由式(15)保證。2.3極值點(diǎn)算法用其中,b對(duì)于式(20),因式(21)的導(dǎo)出,利用了式(9)的關(guān)系。由式(21)可知,b因K2.4等比的反變仿射不變量對(duì)式(17)的Φ(A對(duì)式(18)關(guān)于A對(duì)式(19)關(guān)于A式中的δ將以上3式以及式(18)~式(20)代入式(23),就可得?Φ(A由式(23)可知,式(17)的Jacobi矩陣J式(27)與式(18)~式(20)及其關(guān)于A將式(28)的關(guān)系代入式(18)~式(20),可知它們都具有等比的反變仿射不變性。因此,式(17)也就具有等比的反變仿射不變性。將式(28)關(guān)系代入式(24)~式(26),可知其值均變?yōu)樵瓉淼?/a倍。將上述關(guān)系代入式(23),并由式(27)可知,經(jīng)等比反變仿射變換后,J式(29)說明,等比的反變仿射變換,使不動(dòng)點(diǎn)迭代求解式(17)的Jacobi矩陣的行范數(shù)變?yōu)樵瓉淼?/a倍。由于原式(27)的值為有限的數(shù),解析確定的乘子為不變時(shí),若對(duì)設(shè)計(jì)變量做等比的反變仿射變換,總可以找到某一尺度,使式(29)的值變?yōu)樾∮?的數(shù),從而使式(17)滿足收斂條件。若在某一尺度下式(17)滿足收斂條件,由于式(17)具有等比的反變仿射不變性,等比的反變仿射變換均不會(huì)使該式的結(jié)果發(fā)生改變,也就不會(huì)影響式(17)的收斂性。故,在某一尺度下式(17)滿足收斂條件,式(17)在任一尺度下必然收斂。綜合以上論證可知,含自重載荷作用的功準(zhǔn)則方程求解式(17)具有全局收斂性。3不隨桿橫截面積變化而改變的許用應(yīng)力在拓?fù)鋬?yōu)化完成之后,可用應(yīng)力比法求解應(yīng)力約束問題。應(yīng)力比法的本質(zhì)為:對(duì)于拉桿和短粗的壓桿,許用應(yīng)力不隨桿橫截面積的變化而改變,將應(yīng)力的定義式代入式(30),有:對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的壓桿,根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范,其許用壓應(yīng)力為:式中:[σ式中,系數(shù)ξ和系數(shù)η與材料、截面類型、細(xì)長(zhǎng)比等有關(guān)。將應(yīng)力的定義式和式(33)代入式(30),可得:若選用的是圓鋼管,其Euler穩(wěn)定性條件為式中,α4計(jì)算和分析4.1桿桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化圖1為三桿平面桁架結(jié)構(gòu),假定桿3的長(zhǎng)度為L(zhǎng)設(shè)各桿橫截面積的初始值均為0.01m按拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果,以桿1和桿2構(gòu)成二桿桁架結(jié)構(gòu),并保留工況3的優(yōu)化參數(shù)。在各種工況中,工況1下桿1的壓應(yīng)力為最大,采用式(36)的應(yīng)力比公式對(duì)其優(yōu)化。工況3下節(jié)點(diǎn)2沿x向的位移為最大,大于許用位移。由位移的虛功表達(dá)式可得如下的位移比公式:式中:u4.2靜定桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化圖2為十桿桁架結(jié)構(gòu),節(jié)點(diǎn)5和節(jié)點(diǎn)6處于完全固定狀態(tài)。假定水平與垂直桿的長(zhǎng)度均為9.144m,彈性模量為E=69GPa,材料比重為γ=2768kg/m設(shè)作用有節(jié)點(diǎn)外力載荷的各節(jié)點(diǎn)位移均達(dá)到許用位移時(shí)的功為許用功,收斂精度及單元?jiǎng)h除準(zhǔn)則與前例相同。采用功射極法進(jìn)行優(yōu)化,3種工況的計(jì)算結(jié)果列于表3中。對(duì)于工況1,經(jīng)10次迭代可達(dá)到收斂精度,圖2中的桿1、桿3~桿4、桿7~桿9為需保留的單元,優(yōu)化結(jié)果為圖3所示的六桿靜定桁架結(jié)構(gòu)。對(duì)于工況2,經(jīng)13次迭代收斂,圖2中的桿3和桿7為需保留的單元。對(duì)于工況3,經(jīng)14次迭代收斂,圖2中的桿1、桿3~桿4、桿8~桿9為需保留的單元。此時(shí),各桿內(nèi)應(yīng)力均小于未考慮壓桿穩(wěn)定性的許用值。需指出的是:對(duì)于工況3,在缺少桿7的情況下,桿1、桿3~桿4、桿8~桿9所組成的結(jié)構(gòu)為可變結(jié)構(gòu),可將桿3和桿4合并為一個(gè)單元,則保留的單元構(gòu)成靜定四桿桁架結(jié)構(gòu)。綜合3種工況的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可知,工況2和工況3的結(jié)果均為工況1結(jié)果的子集,因此,工況1下圖3的六桿靜定桁架結(jié)構(gòu)為最優(yōu)拓?fù)?。按拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果,以圖2中的桿1、桿3~桿4和桿7~桿9構(gòu)成圖3的六桿桁架結(jié)構(gòu),并保留工況1的優(yōu)化參數(shù)。在各種工況中,工況1為最惡劣工況,圖3中的桿2、桿3和桿5不滿足壓桿穩(wěn)定性要求,采用式(36)的應(yīng)力比公式對(duì)其優(yōu)化2次,可獲得滿足應(yīng)力與位移要求的表4優(yōu)化結(jié)果,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量為3339.73kg。5功射極法求解本文以含自重載荷作用的功約束下桁架結(jié)構(gòu)重量最小化問題為基礎(chǔ),依據(jù)功準(zhǔn)則方程導(dǎo)出含自重載荷作用下的功-重量分配準(zhǔn)則,該準(zhǔn)則反映:桁架結(jié)構(gòu)應(yīng)按功當(dāng)量,即各桿所承擔(dān)的節(jié)點(diǎn)外力載荷所做的功與節(jié)點(diǎn)自重載荷所做功之差的大小來正比分配其重量。依據(jù)不等式約束的Kuhn-Tucker極值條件以及射線步對(duì)功函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的影響,構(gòu)造直接在設(shè)計(jì)變量空間尋優(yōu)的功射極法,即:解析確定最佳射線步步長(zhǎng)與乘子、求解功準(zhǔn)則方程組。其中,乘子的正值要求由射線步的算法保證,各桿橫截面積的非負(fù)要求由不動(dòng)點(diǎn)迭代