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文檔簡介

§2.3隨機變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念對于離散隨機變量X，我們可以用分布律來描述概率分布，對于非離散型隨機變量由于其可能取的值不能一一列出，因此想采用分布律的形式來描述其概率分布是不可能的．然而,我們可以轉而去研究該隨機變量在一個區(qū)間內取值的概率．如,考慮對于任意實數(shù)（），落在區(qū)間上的概率,但由于=因此我們只需考慮和形式的概率就可以了，而與具有相同的形式，因此，我們有下面的概念.定義2.7設X是一個隨機變量，是任意實數(shù)，則稱函數(shù)（2—10）為X的分布函數(shù)或累積分布函數(shù)（CumulativeDistributionFunction）．根據(jù)定義，定義在整個實數(shù)軸上，在任意實數(shù)處的函數(shù)值就是隨機變量X落在實數(shù)軸點及其整個左側區(qū)間的概率．對于任意的實數(shù),當時，有（2—11）從這個意義上說，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性．分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，通過它，我們將能用分析的方法來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律．二、分布函數(shù)的性質1．（單調非降性）對于任意實數(shù),當時,有≤；事實上，由（2—11），－=≥0即知此性質成立．2.（規(guī)范性）對于任意實數(shù)，；且

；（證略）3.(右連續(xù)性)對于任意實數(shù)，有

F(x+0)=F（x）．（證略）反過來，理論上還可以證明滿足以上三條性質的函數(shù),一定是某個隨機變量X的分布函數(shù)．利用分布函數(shù)，可以進行概率計算，幾個經(jīng)常用到公式為：對于任意實數(shù)，有

(1).=;（證略)（2－12）

(2).=；證明根據(jù)（2－10）和（2－12）可知

□類似可證

(3).=1－；

(4).=1－；三、分布函數(shù)與離散型隨機變量分布律的關系一般地（1）若離散型隨機變量的分布律為：則對于任意實數(shù),X的分布函數(shù)為

(2－13)=即,的值等于所有不大于的對應的概率之和．（2）設離散型隨機變量X的分布函數(shù)為，為其間斷點=1,2,…,則X的分布律為

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