隨機(jī)變量的分布函數(shù)課件

§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念對(duì)于離散隨機(jī)變量X，我們可以用分布律來描述概率分布，對(duì)于非離散型隨機(jī)變量由于其可能取的值不能一一列出，因此想采用分布律的形式來描述其概率分布是不可能的．然而,我們可以轉(zhuǎn)而去研究該隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率．如,考慮對(duì)于任意實(shí)數(shù)（），落在區(qū)間上的概率,但由于=因此我們只需考慮和形式的概率就可以了，而與具有相同的形式，因此，我們有下面的概念.定義2.7設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)（2—10）為X的分布函數(shù)或累積分布函數(shù)（CumulativeDistributionFunction）．根據(jù)定義，定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上，在任意實(shí)數(shù)處的函數(shù)值就是隨機(jī)變量X落在實(shí)數(shù)軸點(diǎn)及其整個(gè)左側(cè)區(qū)間的概率．對(duì)于任意的實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí)，有（2—11）從這個(gè)意義上說，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，通過它，我們將能用分析的方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．二、分布函數(shù)的性質(zhì)1．（單調(diào)非降性）對(duì)于任意實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),有≤；事實(shí)上，由（2—11），－=≥0即知此性質(zhì)成立．2.（規(guī)范性）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，；且

；（證略）3.(右連續(xù)性)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有

F(x+0)=F（x）．（證略）反過來，理論上還可以證明滿足以上三條性質(zhì)的函數(shù),一定是某個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．利用分布函數(shù)，可以進(jìn)行概率計(jì)算，幾個(gè)經(jīng)常用到公式為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有

(1).=;（證略)（2－12）

(2).=；證明根據(jù)（2－10）和（2－12）可知

□類似可證

(3).=1－；

(4).=1－；三、分布函數(shù)與離散型隨機(jī)變量分布律的關(guān)系一般地（1）若離散型隨機(jī)變量的分布律為：則對(duì)于任意實(shí)數(shù),X的分布函數(shù)為

(2－13)=即,的值等于所有不大于的對(duì)應(yīng)的概率之和．（2）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，為其間斷點(diǎn)=1,2,…,則X的分布律為