2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：解析法巧解中考壓軸題

2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：解析法巧解中考壓軸題解析法巧解中考壓軸題在平面幾何中，我們可以利用解析法建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法解決幾何問題，這種方法通常更簡潔高效。下面以近年中考的壓軸題為例，來分析一下解析法的妙處。例如2013年泰州中考的一道題目，如下圖所示：（這里省略了圖1）題目描述：在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長線相交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，M為PQ中點(diǎn)。若AD＝10，AB＝a，DP＝8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化。當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍。這道題目考察了學(xué)生的相似解決問題的綜合能力，難度較大，區(qū)分度高。按照參考答案給出的解題思路，如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時，須滿足的條件是“BE>MN”。分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍。由△ADP∽△ABQ，解得QB＝a。由△QBE∽△QCP，同樣由比例關(guān)系得出BE＝$\frac{2a(a-8)}{2a+25}$。又因為MN為QCP的中位線，得出MN＝PC＝（a－8）。再由BE>MN，即$\frac{2a(a-8)}{2a+25}>(a-8)$，解得a>12.5。雖然這種解法需要想到添加輔助線，并且兩次運(yùn)用了相似比，計算量大，易出錯。但是我們可以采用更為簡潔的做法，將圖形放進(jìn)直角坐標(biāo)系中，利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決此類問題。我們需要建立合適、恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通常需要考慮以下兩點(diǎn)：1.讓盡可能多的點(diǎn)落在直角坐標(biāo)系上，這些點(diǎn)的坐標(biāo)含有數(shù)字0，可以起到簡化運(yùn)算的功效；2.考慮圖形的對稱性，同樣，也能起到簡化運(yùn)算的作用。解答如下圖所示，建立以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BC方向為x軸正半軸，BA方向為y軸正半軸的直角坐標(biāo)系。則A(0，a)，P(0，a－8)。直線AP的斜率為k，AP＝－，因此直線AQ為y＝x＋a，直線AQ與x軸交于點(diǎn)Q，因此Q(－a，0)。又M為線段QP上的中點(diǎn)，因此M（5－a，－4）。因為M點(diǎn)落在矩形ABCD的外部，所以M點(diǎn)在第二象限，解得a＞12.5。這樣，通過建立合適的直角坐標(biāo)系，使圖形上各點(diǎn)得到確定，讓問題變得清晰明了，避免了運(yùn)用相似而產(chǎn)生的復(fù)雜計算。某數(shù)學(xué)興趣小組探究線段上的動點(diǎn)問題。已知AB＝8，如圖4，點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF。問題思考：(1)分別連結(jié)AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由。問題拓展：(2)如圖5，在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM2＝BN＝1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動過程中，GH的中點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑的長度。(3)在第二問的情況下，求OM＋OB的最小值。分析：這是一道關(guān)于正方形的綜合題，難度較大，解題難點(diǎn)在于分析動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力。此外，本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式的運(yùn)算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點(diǎn)。但是，如果我們建立直角坐標(biāo)系，用解析幾何的方法就可以避開相似，a2省去很多不必要的麻煩。在第(1)問中，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得PK＝a－，進(jìn)而求得DK＝PD－PK＝，然后根據(jù)面積公式即可求得，第(2)(3)問涉及點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，GH中點(diǎn)O的運(yùn)動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如圖6所示。然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM＋OB的最小值。解答：(1)如圖6所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB方向為x軸正半軸，AC方向為y軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)AP＝a。又P在M到N之間運(yùn)動，∴1≤a≤7?！郺經(jīng)過的路徑是一條與AB平行的線段，長為3。(3)如圖7所示，作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對稱點(diǎn)M'，連結(jié)BM'。由軸對稱性質(zhì)可知，M'(1，8)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時OM＋OB＝BM'最小，而BM'＝√(1-8)2＋(8-a)2＝√