數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）5-4-2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（分層作業(yè)）

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·江西省萬載中學(xué)高一期中）已知函數(shù)f(x)，對于定義域R上任意x值都有f(x＋2)＝f(x)，且f(1)＝1，則f(89)＝（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)周期性進行求解【詳解】∵，∴是周期為2的周期函數(shù)，∴.故選：B.2．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用整體法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】由，令，解得，即，即，故選：C.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】由的最小正周期為直接可得結(jié)論.【詳解】因為，所以函數(shù)的最小正周期．故選：C4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象的一個對稱軸方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：對于函數(shù)，令，解得，故函數(shù)的對稱軸方程為，令，可知函數(shù)的一條對稱軸為.故選：C5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】化簡可得，根據(jù)正弦函數(shù)的周期可得.【詳解】因為，因為的最小正周期為，所以的最小正周期為，所以的最小正周期為.故選：A.6．（2022·陜西渭南·高一期末）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦型函數(shù)最小正周期求法可直接得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)解析式可知：最小正周期.故選：A.7．（2022·湖北·鄖陽中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．1或-1 D．【答案】B【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)得到，求出的值，代入后用誘導(dǎo)公式即可得到結(jié)果.【詳解】由函數(shù)得，，，其中，.故選：B.8．（2020·浙江·高一期末）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性的求法求得正確答案.【詳解】，，，，令可的的遞增區(qū)間為.故選：C9．（2017·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高一期末）關(guān)于函數(shù)圖象的對稱性，下列說法正確的是（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于點對稱【答案】D【分析】將選項依次代入，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】對A，，，故A錯誤；對B，，，故B錯誤；對C，，，故C錯誤；對D，，此時，故D正確，故選：D二、多選題10．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】通過奇函數(shù)的定義，以及定義域關(guān)于原點對稱分析各個選項【詳解】因為的定義域為，不符合奇函數(shù)定義，A錯誤；通過奇函數(shù)的定義，，且定義域關(guān)于原點對稱，B正確；，所以，且定義域關(guān)于原點對稱，C正確；，所以，D錯誤；故選：BC11．（2022·浙江·杭州四中高一期末）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性判斷.【詳解】因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選項A錯誤；因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故選項B正確；因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項C錯誤；因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項D正確；故選：BD12．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學(xué)高一期末）下列關(guān)于余弦函數(shù)說法正確的是（

）A．最小正周期是 B．定義域是R C．值域是 D．有最值【答案】ABD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：余弦函數(shù)最小正周期是，A正確；余弦函數(shù)定義域是R，B正確；余弦函數(shù)值域是，C錯誤；余弦函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，D正確，故選:ABD13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正弦在單調(diào)遞增可判斷A,根據(jù)在單調(diào)遞減可判斷B,根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正余弦的單調(diào)性可判斷C,D.【詳解】對A,因為，在單調(diào)遞增，所以,故A正確；對B，因為，在單調(diào)遞減，所以,故B錯誤；對于C,，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC三、填空題14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)該函數(shù)取得最大值時的取值集合是______．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)圖像可得結(jié)果.【詳解】，則當(dāng)，即，時，有最大值3．故答案為：15．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)和的圖象均連續(xù)不斷，若滿足：，均有，則稱區(qū)間為和的“區(qū)間”，則和在上的一個“區(qū)間”為_________．（寫出符合題意的一個區(qū)間即可）【答案】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在區(qū)間上的正負性，得到答案.【詳解】和的定義域都是，當(dāng)時，，，滿足“區(qū)間”的定義，故和在區(qū)間上的一個“區(qū)間”可以是．故答案為：16．（2022·遼寧·高一期末）的最小正周期為___________.【答案】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為.故答案為：.17．（2022·上海市晉元高級中學(xué)高一期末）函數(shù)的最小正周期為___________.【答案】【分析】利用余弦型函數(shù)求解周期的公式進行求解.【詳解】因為，所以周期為;故答案為：.18．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為________.【答案】【分析】令，求得的范圍，即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為：．四、解答題19．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，其圖像經(jīng)過點.(1)求的解析式；(2)作出函數(shù)在內(nèi)的簡圖，并指出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)；(2)圖像見解析，遞減區(qū)間為.【分析】（1）由圖像所過的點有，結(jié)合參數(shù)范圍及正弦函數(shù)性質(zhì)求，即可得解析式；（2）應(yīng)用五點法畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像確定遞減區(qū)間.（1）∵函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，，則，∴.（2）按五個關(guān)鍵點列表：x0-1131-1描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示，由圖像知：函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為.20．（2022·廣東深圳·高一期末）已知函數(shù)（）的最小正周期為.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求出，進而得到，代入求值即可；（2）整體法求解函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.(1)由最小正周期公式得：，故，所以，所以(2)令，解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.是21．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）解不等式：．【答案】【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性即可得解.【詳解】∵，，∴，∴不等式的解集為．22．（2022·陜西·渭南高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)取得最大、最小值時自變量的集合；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；【答案】(1)函數(shù)取最大值時自變量的集合是，函數(shù)取得最小值時自變量的集合是；(2)函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）先用誘導(dǎo)公式化簡，再用整體法可得函數(shù)取最值時自變量的取值范圍；（2）利用函數(shù)奇偶性定義進行判斷.【詳解】（1）因為，令，，即，時，函數(shù)取得最大值；令，，即，時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)取得最大值時自變量的集合是，函數(shù)取得最小值時自變量的集合是；（2）函數(shù)為奇函數(shù)；因為函數(shù)定義域為R，且，故函數(shù)為奇函數(shù).23．（2019·山東·濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)其中，.(1)求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的有界性，即可得到函數(shù)的值域；（2）根據(jù)相鄰交點間的距離確定的值，進而利用整體代換法求單調(diào)區(qū)間即可.（1）由，得，可知函數(shù)的值域為，；（2）函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為，即的圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為，所以的最小正周期為，又由，得，即得．于是有，再由，解得所以的單調(diào)增區(qū)間為24．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，.(1)用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像：(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意，由“五點作圖法”，列表描點作圖，可得答案；（2）由題意，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.（1）由“五點法”，列表如下：描點，作圖如下：（2）由的單調(diào)遞增區(qū)間為，且，則，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.25．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)整體法解不等式即可求解，（2）由得，進而可得最值.（1）令，解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)時，則，故當(dāng)時，取最大值，為，當(dāng)時，取最小值，為，【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是（

）A．a(chǎn)，b均為負數(shù)，則． B．．C．． D．．【答案】C【分析】根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”，可知選項ABD不符合要求，而選項C，只需要舉反例（不滿足“一正”）即可判斷其符合要求．【詳解】對于A，因為a，b均為負數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故A不符合要求；對于B，易知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故B不符合要求；對于C，當(dāng)時，，顯然是因為不滿足“一正”導(dǎo)致的錯誤，故C符合要求；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故D不符合要求.故選：C．2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的一個周期是 B．的最小值為2C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，用周期性定義判斷A；取特值計算判斷B；分析單調(diào)性判斷C；證明對稱性判斷D作答.【詳解】對于A，，即不是的周期，A錯誤；對于B，取，則，即的最小值不是2，B錯誤；對于C，當(dāng)時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞減，C錯誤；對于D，，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，D正確．故選：D3．（2022·浙江金華第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在R上滿足，且時，對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，按、分別探討函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象關(guān)系及已知列出不等式，求解作答.【詳解】令，當(dāng)時，，若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位而得，顯然的圖象總在的圖象的上方，即恒成立，因此，若，當(dāng)時，，因為奇函數(shù)，函數(shù)在R上的圖象，如圖，把的圖象向右平移個單位得的圖象，要，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)射線經(jīng)平移后在射線及下方，于是得，則，綜上得，即，而，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：由一個函數(shù)經(jīng)左右平移得另一函數(shù)，兩個函數(shù)式為不等式的兩邊的不等式恒成立問題，作出原函數(shù)圖象，借助圖象分析求解是解決問題的關(guān)鍵.二、多選題4．（2022·貴州六盤水·高一期末）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】根據(jù)的范圍，三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由于，所以的值可以為負數(shù)，A選項錯誤.B選項，，所以為奇函數(shù)，B選項正確.C選項，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確.D選項，，所以在區(qū)間上遞增，令，，令，，其中，所以，所以在上遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上單調(diào)遞減，D選項正確.故選：BCD5．（2022·湖北·襄陽五中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根據(jù)，可確定，即可確定的取值情況，然后結(jié)合在上單調(diào)遞增，進行驗證即可確定答案.【詳解】函數(shù)，,則①,又，則是函數(shù)的一個對稱中心，故②,兩式相減得：，在上單調(diào)遞增，則,則，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；當(dāng)時，，，故，此時在單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，，不符合題意；當(dāng)時，，，故，此時，因為，則，在單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時，，，故，此時，，故在上不單調(diào)，不符合題意；故選：AC6．（2022·湖北·鄖陽中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，其中為常數(shù)，且，則以下結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)的圖象的對稱中心為D．函數(shù)在區(qū)間上有67個零點【答案】ABD【分析】先根據(jù)已知條件求得，然后根據(jù)三角函數(shù)值的最小正周期、函數(shù)值、對稱中心、零點等知識求得正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，所以，由于，所以令，得.所以.所以的最小正周期為，A選項正確.，B選項正確.，即函數(shù)的圖象的對稱中心為，所以C選項錯誤.，，由于，所以，共個，即函數(shù)在區(qū)間上有67個零點，D選項正確.故選：ABD7．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的值域為D．若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可得判斷A，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域判斷C，利用數(shù)形結(jié)合可判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；由題可知函數(shù)的定義域為，不關(guān)于對稱，故B錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以函數(shù)的值域為，故C正確；由可得，則函數(shù)與有四個交點，作出函數(shù)與的大致圖象，由圖象可知函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是，故D錯誤.故選：AC.8．（2022·河南·新密市第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再逐項判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得的圖象關(guān)于點對稱，則有，取得，B正確；由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，則有，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此，有，C正確；于是得，即，有，取得，D正確；函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且關(guān)于直線對稱，而，A不正確.故選：BCD三、填空題9．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足.若，則______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，且，可證得是周期為周期函數(shù)，再由題意求得，即可求得答案.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，所以，又因為，，所以，，并且，所以，所以是周期函數(shù)，周期為，又，所以.故答案為：.10．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則x的取值范圍是____________.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到，又因為，即可求出，即可求出x的取值范圍.【詳解】因為，即，當(dāng)時，所以，因為，所以，所以，所以x的取值范圍是：.故答案為：.四、解答題11．（2022·山東東營·高一期中）函數(shù)的最小值為，(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)【答案】(1)(2)1【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求得.（2）對進行分類討論，求得的解析式，由求得.【詳解】（1）當(dāng)時，.所以，當(dāng)時，取得最小值，即.（2），若，即時，則當(dāng)時，有最小值，.若，即時，則當(dāng)時，有最小值，.所以，若，得或由解得或（舍去），由解得（舍去）.所以12．（2022·湖北·鄖陽中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期．(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求得，函數(shù)式化簡后由正弦函數(shù)的單調(diào)性求得結(jié)論；（2）轉(zhuǎn)化為求在上的值域．【詳解】（1）因為函數(shù)的最小正周期，所以，由于，所以．所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，只需求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因為函數(shù)在上有零點，所以函數(shù)的圖像與直線在上有交點，因為，故函數(shù)在區(qū)間上的值域為所以當(dāng)時，函數(shù)的圖像與直線在上有交點，所以當(dāng)時，函數(shù)在上有零點．13．（2022·江西省萬載中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，，(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最大值、最小值及對應(yīng)的x值的集合；(3)若對任意，存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1).(2)時，

；時，.(3)【分析】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，使即可；(2)根據(jù)余弦函使其交集不為空集(3)求兩個函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的值域，根據(jù)包含關(guān)系求解即可.（1），解不等式得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），即時，

，，即時，；（3）時，，，時，，，要使得，只需，.14．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）已知定義域為，值域為，求實數(shù)的值.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)定義區(qū)間以及正弦函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)的值域，再根據(jù)最值對應(yīng)關(guān)系列方程組，解得的值.【詳解】∵，∴，∴，又所以，所以，又函數(shù)的值域為，所以，解得，因此.15．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)有零點，求的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦