第四章導熱問題數(shù)值解法

第四章導熱問題的數(shù)值解法§4.1導熱問題數(shù)值求解的基本思想一、基本思想二、區(qū)域離散化圖2

區(qū)域離散化圖1數(shù)值計算流程建立離散方程的方法主要有兩大類：有限元法與有限差分法。在有限差分法中，又分為泰勒（Taylor）級數(shù)展開法與熱平衡法。一、泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法：把導熱微分方程中的導數(shù)項用相應的差分表達式來代替而形成離散方程的方法。以二維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源的導熱方程為例：圖3內節(jié)點離散方程的建立控制方程：22

+

=

0

m,n

m,n?y?x

?2

t

?2

t

Dx

?t

Dx

?t

tm,n

-

tm-1,n=

?x

m-1

2,ntm+1,n

-

tm,n=由差分理論：

?x

m+1

2,n§4.2內節(jié)點離散方程的建立方法2Dx2t

-

2t

+

tDx

-

?t

?t

m,n

?x

?2t

=

2

2

=

m+1,n m,n

m-1,n

?x

m+

1

,n

?x

m-1

,n同理：2Dy2t

-

2t

+

tDy

?t

-

?t

m,n

?y

?2t

=

2 2

=

m,n+1

m,n m,n-1

?y

m,n+

1

?y

m,n-1將以上表達式代入離散方程，得：=

0tm+1,n

-

2tm,n

+

tm-1,n

+

tm,n+1

-

2tm,n

+

tm,n-1Dx2

Dy2當網(wǎng)格均分（Δx=Δy）時：nb44t

=

1

(t

+

t

+

t

+

t

)=

1

tm,n+1m,n-1m-1,nm+1,nm,n二、熱平衡法通過對各節(jié)點所代表的控制容積根據(jù)熱力學第一定律建立熱平衡而獲得離散方程的方法。劃出（m，n）節(jié)點所代表的控制容積；建立節(jié)點{m，n}的熱平衡方程；l

tm-1,n

-

tm,n

Dy

+

l

tm+1,n

-

tm,n

Dy

+

l

tm,n-1

-

tm,n

Dx

+

l

tm,n+1

-

tm,n

Dx

=

0Dx

Dx

Dy

Dy當網(wǎng)格均分（Δx=Δy）時：nb+

t

+

t

+

t4

4t

=

1

(t

)=

1

tm+1,n

m-1,n m,n-1

m,n+1m,n§4.3邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解導熱問題完整的數(shù)學描寫包括導熱方程及相應的定解條件；邊界節(jié)點的離散采用熱平衡方法；一、三種典型的邊界節(jié)點圖4三種典型的邊界節(jié)點平直邊界點圖5平直邊界點w=

q

Dym,n1+

DxDyF

2lDy

tm-1,n

-tm,n

+

l

1

Dx

tm,n+1

-tm,n

+

l

1

Dx

tm,n-1

-tm,nDx

2

Dy

2

Dy外角點圖6外角點w2=

1

(Dx

+

Dy)q1m,n+

DxDyF

4l

1

Dy

tm-1,n

-

tm,n

+

l

1

Dx

tm,n-1

-

tm,n2

Dx

2

Dy內角點w2=

1

(Dx

+

Dy)q3m,n+

DxDyF

4l

1

Dy

tm-1,n

-tm,n

+

lDy

tm+1,n

-tm,n

+

lDxtm,n+1

-tm,n

+

l

1

Dx

tm,n-1

-tm,n2

Dx

Dx

Dy

2

Dy圖7內角點二、qw的幾種形式絕熱邊界條件：qw=0給定邊界熱流密度：qw=const.對流換熱條件：qw=h(t(m,n)-tf)輻射換熱條件：qw=εσ(T4(m,n)-Tf4)三、代數(shù)方程的求解圖8代數(shù)方程的求解方法求解代數(shù)方程的方法直接法Gauss消元法Gramer法則迭代法Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代SOR迭代Gauss-Seidel迭代法以三元一次代數(shù)方程為例

333

332

2

31

121

1 22

2 23

3

2

a

t

+

a

t

+

a

t

=

b

a

t

+

a

t

+

a

t

=

b=

b1

a11t1

+

a12t2

+

a13t31）將代數(shù)方程寫成關于t1、t2、t3的顯式表達式

3 31

1 32

2332221 12

2 13

311a

1

t3

=

(b

-

a

t

-

a t

)a=

1

(b

-

a

t

-

a t

)a

t1

1

t2

=

(b

-

a21t1

-

a23t3

)?

0(i

=

1,3)aii2）假設一個溫度場，依次利用當前值進行迭代，設進行到第k次迭代，計算公式為：

k(k

)(k

)(k

)k

-

k

-(k

)-

a(b

-

a

t

t

)a(

-

a

t

)b

-

a

ta-

a

t(b

-

a

t

)at

=32

231

1333

t3

=

(k

)

(k

-1)23

321

1222

t2

=

13

3(

1)

(

1)12

2111

1

1

1

1?

0(i

=

1,3)aii3）每次迭代以后，檢查兩次迭代差值￡

ek

-i(k

)

(

1)i-

tt4）計算精度滿足要求后迭代終止，輸出結果代數(shù)方程迭代收斂條件對于由常物性的導熱問題所形成的差分方程式，迭代求解方法收斂的充分條件是：代數(shù)方程的系數(shù)矩陣按行（或列）弱對角占優(yōu)。即：naii

?

aijj

=1j

?i§4.4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法一、三種差分格式圖9三種差分格式+

O(Dx

2

)1）中心差分：?t

=ti+1

-ti-1?x

2Dx+

O(Dx)3）向后差分：?t

=ti

-ti-1?x

Dx+

O(Dx)2）向前差分：?t

=ti+1

-ti?x

Dx用差分代替微分所引起的誤差：根據(jù)泰勒展開式：(

)

(

)++

+dxn(Dx)n

d

n

fn!f x

+

Dx

=

f

x

+

Dx

+dx

2!dx

2df

(Dx)2

d

2

fdf+

= +

O(Dx)dx+

+

f

(x

+

Dx)-

f

(x)Dxn!

dxn(Dx)n-1

d

n

fdf

Dx

d

2

f=

+dx

2!

dx

2同理：2

)df

+

= +

O(Dxdx=

+dx

3!

dx32Dx

f

(x

+

Dx)-

f

(x

-

Dx)

df

(Dx)2

d

3

f圖10時空區(qū)域的離散二、時間空間區(qū)域的離散三、內節(jié)點差分方程的建立1）泰勒展開法以一維無內熱源的非穩(wěn)態(tài)導熱方程為例：?t

?2t=

a?t

?x

2對節(jié)點（n，i）有：Dx

2-

2t

i

+

t

i

n n

=

a

n+1

n

n-1t

i+1

-

t

i

t

iDt則：iint

n

(t

+

ti

)

t

=n+1

n-1

Dx2i+1+

1-2aDtDx2aDt

FoDintiD

n+

ti

)+

[1-

2Fo

]tn-1D

n+1ti

+1

=

Fo2）熱平衡法圖11熱平衡法NPPPjPj

P P

=

PPR-

t

it

ij

=1t

i+1

-

t

i+

F

DVDt(rc)

DV圖12邊界節(jié)點離散方程的建立四、第三類邊界條件的差分表達式1）泰勒展開法f?x-

l

?t

=

h(t

-

t

)離散：

=

ll-

l

hDx

+

hDx

t(

-

t

)Dxft

it

iNf=

h

t

iN-

t

it

iN1

+

N

-1N

-12）熱平衡法

+

-

+

iNt

f

t

DxDx

N

N

-

tDx-

titi(rc)Dx

DxDt)=

rc

2hDt(rcp

)Dxi

2hDt

2aDt

2aDttN

=

tN

1-12iN

-122i+1ti+1

-

til

N

-1

N

+

h(t

f五、非穩(wěn)態(tài)導熱問題差分格式的穩(wěn)定性 如果前一時層計算所引入的舍入誤差對后面時層計算的影響是漸縮的或是有限的，則該差分格式是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題內點顯式格式的穩(wěn)定性判據(jù)iint

n

(t

+

t

i

)

t

=n+1

n-1

Dx2i+1+

1-2aDtDx2aDt

FoD穩(wěn)定性條件：各節(jié)點對下一時層