2023年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）：圖形的平移翻折對稱（共30題）（解析版）

專題19圖形的平移翻折對稱（30題）一、單選題1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（

）

A．2 B． C．3 D．5【答案】A【分析】利用平移的性質(zhì)得到，即可得到的長．【詳解】解：∵沿方向平移至處．∴，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等．2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負值不符合題意，舍去）∴，故選：C．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點F是中點∴∵，點F是中點∴，，∴點D是的中點，∴∵D是的中點，點F是中點，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點，點落在軸的點位置，點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設(shè)與交于點F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點的坐標是，故選：D．

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形紙片，其中，現(xiàn)將紙片進行如下操作：第一步，如圖①將紙片對折，使與重合，折痕為，展開后如圖②；第二步，再將圖②中的紙片沿對角線折疊，展開后如圖③；第三步，將圖③中的紙片沿過點的直線折疊，使點落在對角線上的點處，如圖④．則的長為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，等面積法求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵折疊，∴∴在以為圓心，為直徑的圓上，∴，∴∵矩形，其中，∴∴，∴，∵∴，故選：D．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（

）

A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得到答案．【詳解】解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B.【點睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（

）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯誤．【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴．∴．∴．故正確；∵，，∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴與不相似．∴．∴與不平行．故錯誤；故選A．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，則的大小為__________度．

【答案】【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點的對應(yīng)點為點．若點剛好落在邊上，，則的長為__________．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點的對應(yīng)點為點．點剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點落在長邊上的點處，并得到折痕，小宇測得長邊，則四邊形的周長為_________．

【答案】【分析】可證，從而可得，再證四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，由折疊得：，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．故答案：．【點睛】本題考查了平行四邊形判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數(shù)為___________．

【答案】或【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和等知識即可完成求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：；∵，∴；①當在下方時，如圖，∵，∴，∴；

②當在上方時，如圖，∵，∴，∴；

綜上，的度數(shù)為或；故答案為：或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，注意分類討論．12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上．將沿折疊，使點落在點處，連接，則的最小值為_______．

【答案】【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進行求解．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴當、、B三點在同一條直線時，取最小值，最小值即為；故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，，，點在邊所在的直線上，且，將矩形紙片折疊，使點與點重合，折痕與，分別交于點，，則線段的長度為______．【答案】或【分析】分點在點右邊與左邊兩種情況分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵折疊，∴，∵四邊形是矩形，∴∴，又∴∴，當點在點的右側(cè)時，如圖所示，設(shè)交于點，

∵，，，∴中，，則，∵，∴∴，當點在點的左側(cè)時，如圖所示，設(shè)交于點，∵，，，∴中，

則，∵，∴∴，綜上所述，的長為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在紙片中，，是邊上的中線，將沿折疊，當點落在點處時，恰好，若，則_________．

【答案】【分析】由，，是邊上的中線，可知，則，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，如圖，記與的交點為，，由，可得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，，是邊上的中線，∴，∴，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，如圖，記與的交點為，

∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，翻折的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，正切．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．15．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點是上一動點，將沿折疊得到，當點恰好落在上時，的長為______．

【答案】【分析】過點作交的延長線于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件得出，進而求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作交的延長線于點，

∵在中，，，，∴，∴，在中，∵將沿折疊得到，當點恰好落在上時，∴又∴∴∴設(shè)，∴在中，∴解得：（負整數(shù)）故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為________．

【答案】【分析】連接，過點作于點，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，

∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．17．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當射線交線段于點P時，連接，則的面積為___________；的最大值為___________．

【答案】；【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當最大時，即最大，通過分析點N的運動軌跡，結(jié)合勾股定理確定的最值，從而求得的最大值．【詳解】解：由題意可得的面積等于矩形的一半，∴的面積為，在中，，∴當最大時，即最大，由題意可得點N是在以D為圓心4為半徑的圓上運動，當射線與圓相切時，最大，此時C、N、M三點共線，如圖：

由題意可得：，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案為：，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，分析點的運動軌跡，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．18．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，動點在矩形的邊上沿運動．當點不與點重合時，將沿對折，得到，連接，則在點的運動過程中，線段的最小值為__________．

【答案】/【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出在為圓心，為半徑的弧上運動，進而分類討論當點在上時，當點在上時，當在上時，即可求解．【詳解】解：∵在矩形中，，∴，，如圖所示，當點在上時，

∵∴在為圓心，為半徑的弧上運動，當三點共線時，最短，此時，當點在上時，如圖所示，

此時當在上時，如圖所示，此時

綜上所述，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是________．

【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個等式相加即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D為上一動點，連接，將沿翻折得到，交于點G，，且，則______．

【答案】【分析】于點M，于點N，則，過點G作于點P，設(shè)，根據(jù)得出，繼而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，是的角平分線，，用證明，從而得到，設(shè)，則，，利用勾股定理得到即，化簡得，從而得出，利用三角形的面積公式得到：．作于點M，于點N，則，過點G作于點P，

∵于點M，∴，設(shè)，則，，又∵，，∴，，，∵，即，∴，，在中，，，設(shè)，則∴∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，化簡得：，∴，∴故答案是：．【點睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）矩形中，，將矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，若是直角三角形，則點到直線的距離是__________．【答案】6或或【分析】由折疊的性質(zhì)可得點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，延長交的另一側(cè)于點E，則此時是直角三角形，易得點到直線的距離；當過點D的直線與圓相切于點E時，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【詳解】解：由題意矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，可知點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，如圖，延長交的另一側(cè)于點E，則此時是直角三角形，點到直線的距離為的長度，即，

當過點D的直線與圓相切與點E時，是直角三角形，分兩種情況，①如圖，過點E作交于點H，交于點G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，②如圖，過點E作交于點N，交于點M，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，綜上，6或或，故答案為：6或或．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題切線的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點E的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則__________．

【答案】【分析】過點作于，證明，得出，根據(jù)，得，設(shè)，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于，

∵平分交于點，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設(shè)，，則，則，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，則∴故答案為：．【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，過點C作射線，點M，N分別在邊，上，將沿折疊，使點B落在射線上的點處，連接，已知．給出下列四個結(jié)論：①為定值；②當時，四邊形為菱形；③當點N與C重合時，；④當最短時，．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號）【答案】①②④【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由此即可判斷①正確；先解直角三角形可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)菱形的判定即可得②正確；先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)即可判斷③錯誤；當最短時，則，過點作于點，連接，交于點，先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，再利用勾股定理可得，，然后根據(jù)建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判斷④正確．【詳解】解：是等邊三角形，且，，，由折疊的性質(zhì)得：，，是定值，則結(jié)論①正確；當時，則，在中，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為菱形，則結(jié)論②正確；如圖，當點與重合時，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，則結(jié)論③錯誤；當最短時，則，如圖，過點作于點，連接，交于點，，，，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則，在中，，即，解得，，

設(shè)，則，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），，則結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點分別在邊，上，連接，已知點和點關(guān)于直線對稱．設(shè)，若，則_________（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明，再證，推出，通過證明，推出，即可求出的值．【詳解】解：點和點關(guān)于直線對稱，，，．，，點和點關(guān)于直線對稱，，又，，，，，點和點關(guān)于直線對稱，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明．三、解答題25．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．

(1)畫出線段關(guān)于直線對稱的線段；(2)將線段向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段，畫出線段；(3)描出線段上的點及直線上的點，使得直線垂直平分．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于直線的對稱點，，連接，則線段即為所求；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；

（2）解：如圖所示，線段即為所求；

（3）解：如圖所示，點即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平分．【點睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．26．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在下列網(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點都在格點上）．

【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)進行作圖即可．【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．

【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)能夠和原圖形重合．27．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動，有一位同學(xué)操作過程如下：操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接、，延長交于點Q，連接．

(1)如圖1，當點M在上時，___________度；(2)改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)30(2)，理由見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出，，進而可求出，即得出；（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證，即得出．【詳解】（1）解：∵對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，∴，．∵在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，∴．在中，，∴．故答案為：．（2）解：結(jié)論：，理由如下：∵四邊形是正方形，，．由折疊可得：，，，．又，，∴．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點．熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．28．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應(yīng)點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進而證明，再由平行線的性質(zhì)證明即可證明；（2）如圖，延長交于點．證明得到，，設(shè)，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．∴．∴，即，∵四邊形是正方形，∴．∴．∴．（2）解：如圖，延長交于點．∵，∴．又∵，正方形邊長為3，∴∴，∴，，設(shè)，則，∴．∵，即，∴．∴．在中，，∴．解得：（舍），．∴．

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．29．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當時，求四邊形的面積；(2)當點在線段上移動時，設(shè)，