2020年高考文科數(shù)學(xué)全國卷3(附答案與解析)

2020年高考文科數(shù)學(xué)全國卷3(附答案與解析)1.已知在平面內(nèi)，有兩個定點A和B，一個動點C，若AC乘以BC等于1，則點C的軌跡是什么？（選項：A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線）2.在坐標(biāo)系中，設(shè)原點為O，有一條直線x=2和一條拋物線C:y=2px(p>0)，它們在點D和點E處相交。如果OD垂直于OE，求拋物線C的焦點坐標(biāo)。3.選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。1.已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，則AB中元素的個數(shù)是多少？（選項：A.2B.3C.4D.5）2.若z(1+i)=1-i，則z的值是什么？（選項：A.1-iB.1+iC.-iD.i）3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1,10x2,...,10xn的方差為多少？（選項：A.0.01B.0.1C.1D.10）4.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域。有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)=K/(1+ae^(-bt))，其中K為最大確診病例數(shù)。當(dāng)I(t*)=4Sn，求m與n的值.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有a1+aq=4，即a1(1+q)=4，a3-a1=a1q2(a1q+1-a1)=8，解得a1=2，q=1/2.所以，等比數(shù)列的通項公式為an=2(1/2)n-1=2n-2.（2）由等比數(shù)列的通項公式可得log3an=log32+log3(1/2)n-2=log32+(n-2)log3(1/2).于是，Sn=log32+log3(1/2)+...+log3(1/2)n-2=(n-1)log3(1/2)+log32.又因為Sm=4Sn，即(m-1)log3(1/2)+log32=4(n-1)log3(1/2)+4log32，化簡得(m-4n+3)log3(1/2)=2log32，即(m-4n+3)=2，所以m-4n=1.又因為m>n，所以m=4n+1.綜上所述，m=4n+1.18.（12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-x+1，g(x)=f(x)-f(1-x).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）f'(x)=lnx，f''(x)=1/x>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且在x=e時取得極小值f(e)=e.（2）g'(x)=f'(x)+f'(1-x)=lnx-ln(1-x)，g''(x)=1/x+1/(1-x)>0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.又因為g(0)=2，g(1)=0，所以g(x)在(0,1)上取得最大值2，(1,+∞)上取得最小值-1.19.（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5，g(x)為f(x)的反函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)，f''(x)=6x-6，當(dāng)x<1或x>3時，f''(x)>0，所以f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，且在x=3時取得極小值f(3)=-13.（2）由反函數(shù)的性質(zhì)可知，g'(x)=1/f'(g(x))，g''(x)=-f''(g(x))/[f'(g(x))]^3，所以g(x)與f(x)的單調(diào)性相反，且在g(3)=-2時取得極大值，其他單調(diào)區(qū)間和極值與f(x)相同.20.（12分）已知函數(shù)f(x)=x2-lnx，g(x)=f(x+1)-f(x).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）f'(x)=2x-1/x，f''(x)=2+1/x2>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且在x=1時取得極小值f(1)=-1.（2）g(x)=f(x+1)-f(x)=2x+1-ln(x+1)+lnx，g'(x)=2-1/(x+1)+1/x=2(x-1)/(x(x+1))，g''(x)=-2/(x2(x+1)2)<0，所以g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，且在x=1時取得極大值g(1)=3-ln2.21.（12分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，g(x)=f(x)+f(2x).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）f'(x)=cosx-sinx，f''(x)=-sinx-cosx<0，所以f(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞減，在(π/2,π)上單調(diào)遞增，且在x=π/4時取得極小值f(π/4)=√2.（2）g(x)=f(x)+f(2x)=sinx+cosx+sin2x+cos2x=2sin(x+π/4)cos(x-π/4)，g'(x)=2cos2x-2sin2x=4cos(x+π/4)cos(x-π/4)，g''(x)=-8sin(x+π/4)sin(x-π/4)=-4sin(2x)<0，所以g(x)在(-∞,π/2)上單調(diào)遞減，在(π/2,π)上單調(diào)遞增，且在x=π/4時取得極小值g(π/4)=0.（二）選考題：共10分.22.（5分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，g(x)=f(x)+f(2x).（1）證明g(x)為周期函數(shù)；（2）求出g(x)的最小正周期.解：（1）對于任意實數(shù)x，有g(shù)(x+2π)=f(x+2π)+f(2(x+2π))=f(x)+f(2x)=g(x)，所以g(x)為周期函數(shù).（2）當(dāng)g(x)的周期為T>0時，有g(shù)(x+T)=g(x)，即f(x)+f(2x)=f(x+T)+f(2(x+T))，即f(x+T)-f(x)=f(2(x+T))-f(2x)，令y=x+T，則有f(y)-f(y-T)=f(2y)-f(2y-2T)，即f(y)-f(y-T)+f(2y-2T)-f(2y)=0，對于任意實數(shù)y，都有該式成立，所以f(x)-f(x-T)+f(2x-2T)-f(2x)=0，即g(x)-g(x-T)=0，所以T為g(x)的周期，當(dāng)T=π/2時，有g(shù)(x+T)=g(x)，且對于任意0<T<π/2，都有g(shù)(x+T)≠g(x)，所以π/2為g(x)的最小正周期.23.（5分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5，g(x)為f(x)的反函數(shù).（1）證明g(x)關(guān)于直線y=x對稱；（2）求出g(x)的解析式.解：（1）對于任意實數(shù)x，設(shè)y=g(x)，則有f(y)=x，即y3-3y2-9y+5=x，即y3-3y2-9y+(5-x)=0，設(shè)y1和y2為該方程的兩個實根，則有g(shù)(x)=y1或g(x)=y2，所以g(x)關(guān)于直線y=x對稱.（2）將y=g(x)代入f(y)=x，得到x=y3-3y2-9y+5，整理得y3-3y2-9y+(5-x)=0，由韋達(dá)定理可得y1+y2+y3=3，y1y2+y2y3+y3y1=-9，y1y2y3=5-x，所以y1,y2和y3是方程y3-3y2-9y+5-x=0的三個實根，所以g(x)的解析式為g(x)=y1+y2+y3-3x=3-√(x-2)+√(x+1).18.某學(xué)生興趣小組進(jìn)行了一項調(diào)查，調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次。數(shù)據(jù)整理如下表（單位：天）：|空氣質(zhì)量等級|鍛煉人次≤200|200＜鍛煉人次≤400|400＜鍛煉人次≤600||------------|------------|-----------------|-----------------||1（優(yōu)）|216|25|-||2（良）|51|1|2||3（輕度污染）|6|7|8||4（中度污染）|7|2|63|(1)估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率分別為：P(1)=0.267，P(2)=0.54，P(3)=0.21，P(4)=0.03.(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為：(200+400)/2×(216+25+51+1+2+6+7+2+7+63)/100=204.6.(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)：||鍛煉人次≤400|鍛煉人次＞400||--------|------------|------------||空氣質(zhì)量好|267/300|3/300||空氣質(zhì)量不好|13/300|17/300|計算K2值為0.936<3.84，因此不能認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)。19.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別在棱DD1、BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1，證明：(1)當(dāng)AB=BC時，EF垂直于AC；(2)點C1在平面AEF內(nèi)。20.已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.(1)當(dāng)k≥2/3時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)k≤-1/3時，f(x)在R上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)f(x)有三個零點時，k∈[-1/3,2/3]。.13，故選：C.【考點】函數(shù)的求值，對數(shù)函數(shù)5.【答案】B【解析】由已知條件可得，直線yx1與圓x2y21交于點P和點Q，且PQ為圓的直徑，所以點O在PQ的中垂線上，即OPOQ，所以點O在圓的周長上，即|OP||OQ|2.又因為點O在直線yx1上，所以O(shè)的坐標(biāo)為1，0，故|OP||OQ|1，所以|OP||OQ|2，故選：B.【考點】圓與直線的交點，中垂線，周長6.【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)正方形邊長為a，則圓的直徑為a，所以圓的半徑為a2，所以圓的面積為a24，所以圓的面積與正方形面積之比為4，故選：A.【考點】幾何圖形的面積7.【答案】C【解析】根據(jù)題意列出方程組即可解得x，y的值.因為xy3x2y25，所以x22xyy29，2x2y25，所以2xy4，即xy2，所以x2y，代入x2y25中得5y220，所以y±2，代入x2y中得x±24，故選：C.【考點】方程組，二元一次方程8.【答案】B【解析】根據(jù)題意列出方程組即可解得x，y的值.因為xy2x2y22，所以x22xyy26，2x2y22，所以2xy4，即xy2，所以x2y，代入x2y22中得3y22，所以y±23，代入x2y中得x±23，故選：B.【考點】方程組，二元一次方程9.【答案】D【解析】根據(jù)題意列出方程組即可解得x，y的值.因為2xy2x2y210，所以x24x24xyy240，即5x24xy38，所以y5x2384x，代入2xy2中得y2x2，所以x22x2210，解得x1，代入y2x2中得y0，故選：D.【考點】方程組，二元一次方程10.【答案】C【解析】由已知條件可得，直線yx2與圓x2y21交于點P和點Q，且PQ為圓的直徑，所以點O在PQ的中垂線上，即OPOQ，所以點O在圓的周長上，即|OP||OQ|2.又因為點O在直線yx2上，所以O(shè)的坐標(biāo)為2，0，故|OP||OQ|1，所以|OP||OQ|2，故選：C.【考點】圓與直線的交點，中垂線，周長二、填空題11.【答案】2【解析】因為xy3x2y25，所以x22xyy29，2x2y25，所以2xy4，即xy2，所以x2y，代入x2y25中得5y220，所以y±2，代入x2y中得x±24，故x，y的積為2，故填：2.【考點】方程組，二元一次方程12.【答案】12【解析】因為xy2x2y22，所以x22xyy26，2x2y22，所以2xy4，即xy2，所以x2y，代入x2y22中得3y22，所以y±23，代入x2y中得x±23，所以直線的斜率為y2y1x2x112，故填：12.【考點】方程組，二元一次方程，斜率13.【答案】2【解析】因為xy3x2y25，所以x22xyy29，2x2y25，所以2xy4，即xy2，所以x2y，代入x2y25中得5y220，所以y±2，代入x2y中得x±24，所以點A的坐標(biāo)為24，2，故填：2.【考點】方程組，二元一次方程14.【答案】12【解析】因為xy2x2y22，所以x22xyy26，2x2y22，所以2xy4，即xy2，所以x2y，代入x2y22中得3y22，所以y±23，代入x2y中得x±23，所以點A的坐標(biāo)為23，23，故填：12.【考點】方程組，二元一次方程15.【答案】34【解析】因為x2tt2y23tt2t為參數(shù)且t1，所以x22tt22t44t38t28t4，y223tt22t46t313t212t4，所以x2yy2xt44t38t28t46t226t12t46t313t212t44t312t216t4，化簡得x2yy2x2t22t13，所以dydxy2xx2y2t12t2，所以ABydxABy2t12t2dt12lnt112lnt23ln4ln3ln4ln34，故填：34.【考點】參數(shù)方程，曲線的切線斜率，定積分三、解答題16.【解答】（1）因為橢圓C的離心率為4，所以橢圓C的焦距為caa2b242515m23m（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09。根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出概率。（2）一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為350，利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果。（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2×2列聯(lián)表，計算出K2的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論。2×2列聯(lián)表如下：||