概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10大案例

案例1：概率——上帝的指引我是一個(gè)有選擇恐懼癥的人，遇到難以決斷的事，就會(huì)拋硬幣來決定，認(rèn)為這樣做更接近“上帝的指引”。比如我會(huì)在心里默念，我的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)會(huì)不會(huì)掛科？然后，告訴自己，如果數(shù)字的那面朝上就會(huì)掛科。接著，我把一枚硬幣拋向天空，忐忑地等待它落下。結(jié)果令人沮喪：數(shù)字朝上！如果我繼續(xù)不厭其煩地拋那枚硬幣，拋了1000次，我會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)數(shù)字和菊花出現(xiàn)的次數(shù)都大約為500次。這就意味著，上天給我的指引其實(shí)是十分中立的：你掛科或者不掛科的可能性各占一半。原來這就是隨機(jī)性中暗含的規(guī)律性。而這種規(guī)律性就量化為概率。案例2：三門問題三門問題（MontyHallproblem），是一個(gè)源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問題，大致出自美國(guó)的電視游戲節(jié)目Let'sMakeaDeal。問題的名字來自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾（MontyHall）。這個(gè)游戲的玩法是：參賽者會(huì)看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊，選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人會(huì)開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會(huì)問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。問題是：換另一扇門參賽者贏得汽車的機(jī)會(huì)率？分析：首先我們要把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。參賽者換門的話，他贏得汽車取決于一開始選定的是后面有汽車的門還是后面是山羊的門。不妨設(shè)A表示參賽者贏得汽車，B表示他選定的是后面有汽車的門，那么表示他選定的是后面有山羊的門，由于參賽者隨機(jī)選定一扇門，所以如果他換另一扇門，則畫出概率樹幫助分析題目，顯然要求出A參賽者贏得汽車的概率，需要考慮B和兩種情況，故用全概率公式解。解：故換另一扇門參賽者贏得汽車的機(jī)會(huì)率，也就說換另一扇門參賽者贏得汽車的概率比不換門參賽者贏得汽車的概率要大。案例3：“狼來了”故事中小孩的可信度模型貝葉斯分析作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本流派，對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)及各種用概率決策的領(lǐng)域具有重大影響，甚至作為理解人類智能的一種基本框架。總的來講，貝葉斯定律通過先驗(yàn)和條件概率的結(jié)合，可以綜合已有過往人類對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)和更新的數(shù)據(jù)，來不停改進(jìn)人類的認(rèn)知。簡(jiǎn)單說就是，某人的行為會(huì)不斷修正其他人對(duì)他的看法，貝葉斯不僅是一種方法論，更是一種世界觀.下面利用貝葉斯公式解釋“狼來了”的故事中小孩的可信度的變化。《伊索寓言》中有一則“孩子與狼”的故事，講的是一個(gè)小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒.第一天，他在山上喊“狼來了！狼來了！”，山下的村民聞聲便去打狼，可到了山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天也如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因?yàn)榍皟商焖f了慌，人們不再相信他了.試用貝葉斯公式來分析此寓言中村民對(duì)這個(gè)小孩的可信度是如何下降的.分析：這題分兩個(gè)方面，一是小孩，二是村民.小孩有兩種行為：一是說謊，二是不說謊.村民有兩種行為：一是認(rèn)為小孩可信，二是認(rèn)為小孩不可信.把本問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：先設(shè)事件:A表示小孩說謊，B表示小孩可信不妨設(shè)過去村民對(duì)這個(gè)小孩的印象是用貝葉斯公式計(jì)算當(dāng)小孩說謊后村民對(duì)這個(gè)小孩的可信度的改變時(shí)要用到即“可信的孩子說謊”的概率與“不可信的孩子說謊”的概率，在此不妨設(shè).第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，即小孩說了謊，村民根據(jù)這個(gè)信息，將這個(gè)小孩的可信程度改變?yōu)椋哼@表明村民上了一次當(dāng)后，對(duì)這個(gè)小孩可信程度由原來的0.8調(diào)整為0.444，也就是將村民對(duì)這個(gè)小孩的最初印象調(diào)整為.在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們?cè)儆秘惾~斯公式計(jì)算，即這個(gè)小孩第二次說謊之后，村民認(rèn)為他的可信程度改變?yōu)椋哼@表明村民經(jīng)過兩次上當(dāng)后，對(duì)這個(gè)小孩的信任程度已經(jīng)由最初的0.8下降到了0.138，如此低的可信度，村民聽到第三次呼叫時(shí)，怎么再會(huì)上山去打狼呢？這個(gè)例子對(duì)人來說有很大的啟發(fā)，“某人的行為會(huì)不斷修正其他人對(duì)他的看法”，所以貝葉斯公式的本質(zhì)是利用樣本信息不斷修正先驗(yàn)概率的過程。案例4：伯恩斯坦反例如果三個(gè)事件A，B，C滿足兩兩獨(dú)立，即P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，那么一定有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立嗎？事實(shí)上，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。數(shù)學(xué)家伯恩斯坦提出一個(gè)反例，如下：一個(gè)均勻的正四面體,其第一面染成紅色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A,B,C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否兩兩獨(dú)立?并驗(yàn)證P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？解：由于在四面體中紅、白、黑分別出現(xiàn)有兩個(gè)面,因此又由題意“這個(gè)四面體同時(shí)出現(xiàn)紅、白顏色朝下只有第四面朝下”，同理“這個(gè)四面體同時(shí)出現(xiàn)白、黑顏色朝下也只有第四面朝下”，“這個(gè)四面體同時(shí)出現(xiàn)黑、紅顏色朝下也只有第四面朝下”，有，故則三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.但是，所以。因此如果三個(gè)事件A，B，C滿足兩兩獨(dú)立，即P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，那么P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。案例5：設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且令求：（1）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布律；（2）X與Y的相關(guān)系數(shù)解：由題意，二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取到的數(shù)偶為：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),它們分別對(duì)應(yīng)于，由已知?jiǎng)t即所以(X,Y)的概率分布律XY0102/31/1211/61/12(2)X的概率分布律X01P{X=k}3/41/4Y的概率分布律Y01P{Y=j}5/61/6則案例6：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度：求：（1）常數(shù)A；（2）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)，驗(yàn)證X與Y是否獨(dú)立？（3）Z=X+Y的概率密度函數(shù)；（4）驗(yàn)證X與Y是否相關(guān)？解：（1）利用概率密度函數(shù)的性質(zhì)，即，（2）由，知。故同理由知，X與Y不獨(dú)立。（3）由于X與Y不獨(dú)立，故不能用卷積公式求解Z=X+Y的概率密度，用一般公式。當(dāng)上式被積函數(shù)時(shí)有意義，故，即，如圖使用公式時(shí)，x為積分變量，z為常數(shù)，把z的值固定去確定x的積分限，如下圖得（4）故X與Y相關(guān)。案例7：已知隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且，設(shè)。求：（1）Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差D(Z)，以及Z服從什么分布;(2)X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3）問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？解：（1）由正態(tài)分布的線性組合性知：（2）X，Y都服從正態(tài)分布，且Z也服從正態(tài)分布，由（2）題知，所以X與Z相互獨(dú)立。案例8：水房擁擠問題假設(shè)西安郵電學(xué)院新校區(qū)有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1％的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？（2）至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？解：（1）設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則X～B（5000，0.01）由于n=5000（充分大），p=0.01，由棣莫弗-拉普拉斯定理知：擁擠的概率是（2）設(shè)至少要裝m個(gè)水龍頭，使得，，，需裝62個(gè)水龍頭。案例9：抽樣——“捉放法”估計(jì)魚苗成活率肖博士從農(nóng)業(yè)學(xué)院畢業(yè)后放棄了研究所的安逸工作，毅然決然回老家創(chuàng)業(yè)，承包了村里的魚塘，雇傭了很多鄉(xiāng)親挖魚塘養(yǎng)魚。春天的時(shí)候，肖博士撒下2萬條鯽魚苗。魚苗并非都能成活，取決于養(yǎng)殖環(huán)境和方法。過了一段時(shí)間，肖博士決定看看魚苗有多少存活了下來。于是，他采取了“捉放法”來估算現(xiàn)在魚塘里有多少魚。肖博士的解決方法是:從魚塘中捉400條魚并做好特殊標(biāo)記。把做好標(biāo)記的魚再放回魚塘。過一周后，從魚塘中捕捉800條魚，發(fā)現(xiàn)其中有30條是做了標(biāo)記的。查看第二次捕捉的全部魚中多少是做過標(biāo)記的，根據(jù)這個(gè)比例估算出魚塘中鯽魚的數(shù)量，從而算出魚苗的成活率。解：設(shè)肖博士魚塘中有x條魚存活下來，第一步中，第一次被捕捉的400條魚全部被做上標(biāo)記，并放回魚塘，此時(shí)，魚塘中有標(biāo)記的魚的比例是。第三步中，第二次被捕捉的800條魚可看做一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中有標(biāo)記的魚的比例是，這個(gè)比例（隨機(jī)樣本中）和在總體中