湖南省衡陽市康龍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

湖南省衡陽市康龍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知空間中的直線m、n和平面α，且m⊥α．則“m⊥n”是“n?α”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】m⊥α，n?α?m⊥n，反之不成立，可能n∥α．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵m⊥α，n?α?m⊥n，反之不成立，可能n∥α．∴“m⊥n”是“n?α”成立的必要不充分條件．故選：B．2.函數(shù)f（x）=ln（x2+1）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A考點： 函數(shù)的圖象．

專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： ∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方，在令x取特殊值，選出答案．解答： 解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴圖象過原點，綜上只有A符合．故選：A點評： 對于函數(shù)的選擇題，從特殊值、函數(shù)的性質(zhì)入手，往往事半功倍，本題屬于低檔題．3.“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的

(

)A．必要不充分條件

B．充分不必要條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略4.設(shè)，則的虛部是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得，進而可得的虛部.【詳解】∵，∴，∴的虛部是，故選B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．5.四名學(xué)生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是

（

）A．81

B．64

C．24

D．4參考答案：A略6.定義：，已知數(shù)列滿足，若對任意正整數(shù)，都有成立，則的值為

(

)

A．2

B.1

C．

D．

參考答案：D略7.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（）A．m B．m C．m D．m參考答案：B【考點】解三角形的實際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；解三角形．【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15°的正切值，然后通過求解兩個直角三角形得到DC和DB的長度，作差后可得答案．【解答】解：如圖，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的寬度BC等于120（﹣1）m．故選：B．【點評】本題給出實際應(yīng)用問題，求河流在B、C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．8.圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為(

)A． B．C．

D．參考答案：D9.若雙曲線的中心在原點，離心率，左焦點是，則的漸近線的距離是（

）A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：C10.設(shè)首項為l，公比為的等比數(shù)列的前n項和為，則

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“?x∈R，x2≤0”的否定為

．參考答案：?x∈R，x2＞0【考點】命題的否定．【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“?x∈R，x2≤0”的否定為：?x∈R，x2＞0．故答案為：?x∈R，x2＞0．【點評】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．12.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______參考答案：【分析】先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點在y軸上以及，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的幾何性質(zhì)，涉及到的知識點是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其準(zhǔn)線方程，屬于簡單題目.13.已知F1、F2為雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F2作雙曲線漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．則雙曲線離心率的值為

．參考答案：2【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的一條漸近線方程，運用點到直線的距離公式，求得|PF2|=b，運用余弦函數(shù)的定義和余弦定理，計算即可得到所求值．【解答】解：設(shè)雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，F(xiàn)2（c，0）到漸近線的距離為d=|PF2|==b，cos∠POF2==，在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2﹣2|PO|?|OF1|?cos∠POF1=a2+c2﹣2ac?（﹣）=3a2+c2，則|PF1|2﹣|PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵|PF1|2﹣|PF2|2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案為2．14.已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個端點在上運動，另一端點在底面上運動，則的中點的軌跡（曲面）與共一頂點的三個面所圍成的幾何體的體積為為______

.參考答案：.解析：

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線x2=2py（p＞0）上縱坐標(biāo)為1的一點到焦點的距離為3，則焦點到準(zhǔn)線的距離為．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得準(zhǔn)線的方程，進而利用點A的縱坐標(biāo)求得點A到準(zhǔn)線的距離，進而根據(jù)拋物線的定義求得答案．【解答】解：依題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=點A與拋物線焦點的距離為3，∴縱坐標(biāo)為1，點A到準(zhǔn)線的距離為+1=3，解得p=4．拋物線焦點（0，2），準(zhǔn)線方程為y=﹣2，∴焦點到準(zhǔn)線的距離為：4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了拋物線的定義的運用．考查了學(xué)生對拋物線基礎(chǔ)知識的掌握．屬基礎(chǔ)題．16.如圖所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3.過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E，則∠DAC=

，線段AE的長為

.參考答案：

30°

317.設(shè)，，若是的充分條件，則的取值范圍是

。參考答案：.因為是的充分條件，所以，則，解得.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)在處的切線方程是，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求a，b的值（2）證明：參考答案：(1)(2)見證明【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意列出方程組，求解即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得，令，用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，只需其最大值小于等于0即可.【詳解】（1）由題意，可得解得（2）由（1）知令，則,，當(dāng)，又，所以，使得即所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，令，又所以，使得此時，，，；故【點睛】本題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)的問題、以及導(dǎo)數(shù)方法證明不等式，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義、以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等即可，屬于常考題型.19.某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸、二級子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤是600元，每1噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸．甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤總額最大？參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】利用線性規(guī)劃知識求解，建立約束條件，作出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=600x+900y，利用截距模型，平移直線找到最優(yōu)解，即可．【解答】解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，則目標(biāo)函數(shù)為z=600x+900y．作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖），即可行域．作直線l：600x+900y=0，即直線l：2x+3y=0，把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值．解方程組，解得M的坐標(biāo)為（）因此，當(dāng)x=，y=時，z取得最大值．此時zmax=600×+900×=130000．答：應(yīng)生產(chǎn)甲種棉紗噸，乙種棉紗噸，能使利潤總額達(dá)到最大，最大利潤總額為13萬元．【點評】本題考查用線性規(guī)劃解決實際問題中的最值問題，解題的關(guān)鍵是確定約束條件，作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的類型，找到最優(yōu)解，屬中檔題．20.已知橢圓的右焦點為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2，BF2的中點，若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，求k的值.參考答案：(1)由題意得

得a=2,所以=4，結(jié)合，解得=3，

所以，橢圓的方程為---------------------4分

(2)

由

消去得：（3+4k2）x2+8kx-8=0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以---------6分依題意知，OM⊥ON，且,

----------------9分即(x1+1)(x2+1)+(kx1+1)(kx2+1)=0整理得：所以整理得：4k2+4k+1=0

所以

--------------------------12分21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一