向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 課件-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第二冊(cè)

第9章平面向量9.3.2向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來(lái)，就會(huì)形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論.引入一、向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.如圖所示，重力沿互相垂直的兩個(gè)方向分解就是正交分解，重力可以分解為這樣兩個(gè)分力：平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力,垂直于斜面的壓力.正交分解平面向量的正交分解：如圖，向量，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量

與

的夾角是30°，

且，以向量，

為一組基，向量

如何表示？思考：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示，那么，如何表示直角坐標(biāo)平面的一個(gè)向量呢？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為一組基時(shí)，將為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便.如圖，，是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量，若以為一組基，則對(duì)于平面內(nèi)任一向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y使得：.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作：.其中，叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，

叫做向量的坐標(biāo)表示.顯然:yOx向量，有什么關(guān)系？

能說(shuō)出向量

的坐標(biāo)嗎?相等的向量坐標(biāo)相同.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)

為起點(diǎn)作，則點(diǎn)

的位置由

唯一確定.設(shè)，則向量

的坐標(biāo)就是點(diǎn)

的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)

的坐標(biāo)也就是向量

的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出下列向量.yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-51234例1在平面內(nèi)，以點(diǎn)O的正東方向?yàn)閤軸的正向，正北方向?yàn)閥軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系.質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).求出下列位移向量的坐標(biāo).（1）向量表示沿東北方向移動(dòng)了2個(gè)單位長(zhǎng)度；解：（1）設(shè)，則yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-51234例1在平面內(nèi)，以點(diǎn)O的正東方向?yàn)閤軸的正向，正北方向?yàn)閥軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系.質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).求出下列位移向量的坐標(biāo).解：（2）設(shè)，則（2）向量表示沿北偏西方向移動(dòng)了3個(gè)單位長(zhǎng)度；yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-51234例1在平面內(nèi)，以點(diǎn)O的正東方向?yàn)閤軸的正向，正北方向?yàn)閥軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系.質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).求出下列位移向量的坐標(biāo).解：（1）設(shè)，則（3）向量表示沿南偏東方向移動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度；思考：已知，你能得出的坐標(biāo)嗎？?jī)蓚€(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.即同理可得思考：已知，你能得出的坐標(biāo)嗎？即注：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).探究：如圖，已知，你能得出的坐標(biāo)嗎？注：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).例2：

已知，，求，

的坐標(biāo).解：解：例3:已知A(-1，3)，B(1，-3)，C(4，1)，D(

3，4)，求向量，，，的坐標(biāo).(-1，3)，(1，-3)，(1，-3)，(3，4)-(4，1)=(-1，3).例4：如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)，

，的坐標(biāo)分別是，，，求頂點(diǎn)的坐標(biāo).解法1設(shè)點(diǎn)

的坐標(biāo)為所以頂點(diǎn)

的坐標(biāo)為.解法2由平行四邊形法則可得，而所以頂點(diǎn)

的坐標(biāo)為.例4：如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)，

，的坐標(biāo)分別是，，，求頂點(diǎn)的坐標(biāo).練習(xí)：已知P1(x1，y1)，P2

(x2，y2)，P是直線(xiàn)P1

P2上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：設(shè)P

(x，y)，則=(x-x1，y-y1)，=(x2-x，y2-y).由得

(x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y)，于是可得，.因此，點(diǎn)P坐標(biāo)為(，).當(dāng)λ=1時(shí)，就得到線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)M坐標(biāo)公式：所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(，)

.總結(jié)1.平面向量的坐標(biāo)表示：，是分別與

軸、

軸方向相同的單位向量，若以為基底，則對(duì)于平面內(nèi)任一向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得：，記作：2.若，則：

二、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示探究：已知，，怎樣用與的坐標(biāo)表示呢？因?yàn)?，，所以又，，，所?

這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.向量的模和兩點(diǎn)間的距離公式（1）若，則，或.（2）如果表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么：，兩個(gè)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示：已知，，則兩個(gè)向量夾角的余弦值的坐標(biāo)表示：已知，，則

例1.設(shè)，，求及，的夾角的余弦值.解：因?yàn)?，，所?/p>

練習(xí)設(shè)，，求及，.解：例2.（1）已知定點(diǎn)A和向量，點(diǎn)P是直線(xiàn)AB外的一點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的向量表示.（2）已知點(diǎn)A(1,1)，向量，過(guò)點(diǎn)A作以向量為方向向量的直線(xiàn)為l，求點(diǎn)P(3,5)到直線(xiàn)l的距離.

解：（1）設(shè)，作向量.則表示向量在向量上的投影數(shù)量，

是點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離.

yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-51234解：（2）設(shè)，作向量.設(shè)，則，令得，

由（1）知，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d=.

課堂小結(jié)1.平