考研數(shù)學(xué)（二）歷年真題與模擬試題詳解

第一部分歷年真題及詳解2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試考研數(shù)學(xué)二真題及詳解一、選擇題（1～8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。）1設(shè)f（x）＝x2（x－1）（x－2），則f′（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。A．0B．1C．2D．3【答案】D查看答案【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念及四則運(yùn)算法則【解析】f′（x）＝4x3＋3x2－4x＝x（4x2＋3x－4）。令f′（x）＝0，可得f′（x）有三個(gè)零點(diǎn)。2如圖1所示，曲線方程為y＝f（x），函數(shù)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分在幾何上表示（）。圖1A．曲邊梯形ABOD面積B．梯形ABOD的面積C．曲邊三角形ACD面積D．三角形ACD面積【答案】C查看答案【考點(diǎn)】積分的幾何意義【解析】其中af（a）是矩形面積，為曲邊梯形的面積，所以為曲邊三角形ACD的面積。3在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3為任意的常數(shù)）為通解的是（）。A．y‴＋y″－4y′－4y＝0B．y‴＋y″＋4y′＋4y＝0C．y‴－y″－4y′＋4y＝0D．y‴－y″＋4y′－4y＝0【答案】D查看答案【考點(diǎn)】常微分方程特征值的解法【解析】由y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x，可知其特征根為λ1＝1，λ2，3＝±2i，故對(duì)應(yīng)的特征值方程為（λ－1）（λ＋2i）（λ－2i）＝（λ－1）（λ2＋4）＝λ3－λ2＋4λ－4所以所求微分方程為y‴－y″＋4y′－4y＝0。4判定函數(shù)間斷點(diǎn)的情況（）。A．有一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)B．有一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無窮間斷點(diǎn)C．有兩個(gè)跳躍間斷點(diǎn)D．有兩個(gè)無窮間斷點(diǎn)【答案】A查看答案【考點(diǎn)】函數(shù)間斷點(diǎn)類型的判斷【解析】函數(shù)可能的間斷點(diǎn)有x＝0，x＝1兩個(gè)。在x＝0時(shí)，故x＝0是可去間斷點(diǎn)。在x＝1時(shí)，故x＝1是跳躍間斷點(diǎn)。5設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是（）。A．若{xn}收斂，則{f（xn）}收斂B．若{xn}單調(diào)，則{f（xn）}收斂C．若{f（xn）}收斂，則{xn}收斂D．若{f（xn）}單調(diào)，則{xn}收斂【答案】B查看答案【考點(diǎn)】利用單調(diào)有界定理證明數(shù)列收斂【解析】由函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)單調(diào)有界可知，若{xn}單調(diào)，則{f（xn）}單調(diào)有界。根據(jù)單調(diào)有界定理，進(jìn)一步可得{f（xn）}收斂。6設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，其中區(qū)域Duv如圖2陰影部分所示，則∂F/∂u＝（）。A．vf（u2）B．vf（u）C．vf（u2）/uD．vf（u）/u圖2【答案】A查看答案【考點(diǎn)】利用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分【解析】利用極坐標(biāo)，得所以∂F/∂u＝vf（u2）。7設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣。若A3＝O，則下列結(jié)論正確的是（）。A．E－A不可逆，則E＋A不可逆B．E－A不可逆，則E＋A可逆C．E－A可逆，則E＋A可逆D．E－A可逆，則E＋A不可逆【答案】C查看答案【考點(diǎn)】可逆的定義【解析】（E－A）（E＋A＋A2）＝E－A3＝E，（E＋A）（E－A＋A2）＝E＋A3＝E。故E－A，E＋A均可逆。8設(shè)則在實(shí)數(shù)域上，與A合同的矩陣為（）。A．B．C．D．【答案】D查看答案【考點(diǎn)】矩陣合同的判定、慣性定理【解析】則λ1＝－1，λ2＝3，記則則λ1＝－1，λ2＝3，矩陣A和矩陣D的正負(fù)慣性指數(shù)相同，故選D項(xiàng)。二、填空題（9～14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在題中橫線上。）9已知函數(shù)f（x）連續(xù)，且則f（0）＝______。【答案】2查看答案【考點(diǎn)】函數(shù)連續(xù)的概念、利用等價(jià)無窮小簡(jiǎn)化計(jì)算極限【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）連續(xù)，所以所以f（0）＝2。10微分方程（y＋x2e－x）dx－xdy＝0的通解是______?！敬鸢浮縴＝x（C－e－x）【考點(diǎn)】微分方程通解的求法【解析】對(duì)微分方程進(jìn)行變形可得此為一階線性非齊次微分方程，通解為11曲線sinxy＋ln（y－x）＝x在點(diǎn)（0，1）的切線方程為______。【答案】y＝x＋1查看答案【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；已知曲線方程，求曲線在某點(diǎn)處的切線方程【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求切線的斜率為k＝y(tǒng)′|（x＝0）。令f（x，y）＝sinxy＋ln（y－x）－x，則所求切線方程為y＝x＋1。12曲線y＝（x－5）x2/3的拐點(diǎn)坐標(biāo)為______?！敬鸢浮浚ǎ?，－6）查看答案【考點(diǎn)】曲線拐點(diǎn)的計(jì)算方法【解析】由題意可知y＝x5/3－x2/3，則有令y″＝0，得x＝－1，且有x→0時(shí)，y″→∞。又因?yàn)樵趚＝－1的左、右鄰域y″變號(hào)，在x＝0的左、右鄰域y″不變號(hào)，所以拐點(diǎn)為（－1，－6）。13設(shè)則______?！敬鸢浮俊究键c(diǎn)】復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法【解析】由于令r＝x（lny－lnx）/y，運(yùn)用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則可得所以14設(shè)3階矩陣A的特征值為2，3，λ。若行列式|2A|＝－48，則λ＝______?！敬鸢浮浚?查看答案【考點(diǎn)】矩陣A的行列式與其特征值的關(guān)系【解析】因?yàn)閨A|＝6λ，且A為3階矩陣，故有|2A|＝23|A|＝8×（6λ）＝48λ＝－48，所以λ＝－1。三、解答題（15～23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（本題滿分9分）求極限【考點(diǎn)】利用等價(jià)無窮小、兩個(gè)重要極限求極限解：方法一：方法二：16（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由參數(shù)方程確定，其中x＝x（t）是初值問題的解，求d2y/dx2?！究键c(diǎn)】由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則解：由dx/dt－2te－x＝0，得exdx＝2tdt，積分得ex＝t2＋C。由條件x|t＝0＝0，得C＝1，即ex＝t2＋1，故x＝ln（1＋t2）。方程組兩端同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得所以dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝（1＋t2）ln（1＋t2）。從而17（本題滿分9分）計(jì)算【考點(diǎn)】反常積分的概念、計(jì)算方法解：方法一：由于故是反常積分。令arcsinx＝t，有x＝sint，t∈[0，π/2），則方法二：令arcsinx＝t，有x＝sint，t∈[0，π/2），則所以18（本題滿分11分）計(jì)算，其中D＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}?！究键c(diǎn)】二重積分的計(jì)算解：曲線xy＝1將區(qū)域D分成如圖3所示的兩個(gè)區(qū)域D1和D2。則有圖319（本題滿分11分）設(shè)f（x）是區(qū)間[0，＋∞）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f（0）＝1。對(duì)任意的t∈[0，＋∞），直線x＝0，x＝t，，曲線y＝f（x）以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式。【考點(diǎn)】用定積分表示旋轉(zhuǎn)體體積與側(cè)面積，積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算解：根據(jù)題意，因?yàn)樾D(zhuǎn)體體積側(cè)面積所以上式兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得解得由y（0）＝1，得C＝1；所以20（本題滿分11分）（Ⅰ）證明積分中值定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得（Ⅱ）若函數(shù)φ（x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足φ（2）＞φ（1），則至少存在一點(diǎn)ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0?！究键c(diǎn)】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其應(yīng)用、微分中值定理的應(yīng)用證明：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則必存在最大值M和最小值m，即m≤f（x）≤M，x∈[a，b]。于是有即根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在[a，b]上至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得因此而得證。（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中結(jié)論可得，存在η∈[2，3]，使得由知η∈[2，3]。由φ（2）＞φ（1），利用微分中值定理，存在ξ1∈（1，2），使得由φ（2）＞φ（η），利用微分中值定理，存在ξ2∈（2，η），使得存在ξ∈（ξ1，ξ2）⊂（1，3），使得21（本題滿分11分）求函數(shù)u＝x2＋y2＋z2在約束條件z＝x2＋y2和x＋y＋z＝4下的最大值和最小值。【考點(diǎn)】用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值解：作拉格朗日函數(shù)F（x，y，z）＝x2＋y2＋z2＋λ（x2＋y2－z）＋μ（x＋y＋z－4）令解得（x1，y1，z1）＝（1，1，2），（x2，y2，z2）＝（－2，－2，8）。故所求得最大值為72，最小值為6。22（本題滿分12分）設(shè)n元線性方程組Ax＝b，其中（Ⅰ）證明行列式|A|＝（n＋1）an；（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求x1；（Ⅲ）當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求其通解?！究键c(diǎn)】行列式的計(jì)算，線性方程組的求解證明：（Ⅰ）方法一：數(shù)學(xué)歸納法記以下用數(shù)學(xué)歸納法證明Dn＝（n＋1）an。當(dāng)n＝1時(shí)，D1＝2a，結(jié)論成立；當(dāng)n＝2時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論對(duì)小于n的情況成立。將Dn按第一行展開得故|A|＝（n＋1）an。方法二：消元法記（Ⅱ）當(dāng)a≠0時(shí)，方程組系數(shù)行列式Dn≠0，故方程組有唯一解。由克萊姆法則，將Dn得第一列換成b，得行列式為所以，當(dāng)a≠0時(shí)，有唯一解（Ⅲ）當(dāng)a＝0時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣得秩和增廣矩陣的秩均為n－1，所以方程組有無窮多組解，其通解為x＝（0，1，0，…，0）T＋k（1，0，…，0）T，其中k為任意常數(shù)。23（本題滿分10分）設(shè)A為3階矩陣，α1，α2為A的分別屬于－1，1的特征向量，向量α3滿足Aα3＝α2＋α3。（Ⅰ）證明α1，α2，α3線性無關(guān)；（Ⅱ）令P＝（α1，α2，α3），求P－1AP?！究键c(diǎn)】向量線性無關(guān)的定義，矩陣的計(jì)算證明：（Ⅰ）設(shè)存在數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0①。由已知條件知Aα1