隨機(jī)過(guò)程-方兆本-引言課件

§1.1

引言第一章引論定義1.1

隨機(jī)過(guò)程就是一族隨機(jī)變量其中t是參數(shù),它屬于某個(gè)指標(biāo)集T,

T稱為參數(shù)集.一般地,t表示時(shí)間.當(dāng)T={0,1,2,…}時(shí)稱隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)序列.§1.1引言第一章引論定義1.1隨機(jī)1對(duì)X(t)可以這樣看:

隨機(jī)變量是定義在空間

上的,所以是隨t與

而變化的.于是可以記為X(t,

).

當(dāng)固定一次隨機(jī)試驗(yàn),即取定

0

時(shí),X(t,

0)就是一條樣本路徑.它是t的函數(shù);另一方面,固定時(shí)間t=t0,X(t0,

)就是一個(gè)隨機(jī)變量,其取值隨著隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而變化,變化有一定的規(guī)律,用概率分布來(lái)描述.對(duì)X(t)可以這樣看:2隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻的值稱為過(guò)程所處的狀態(tài),狀態(tài)的全體稱為狀態(tài)空間.依照狀態(tài)空間不同可分為連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài);依照參數(shù)集T,當(dāng)T為有限集或可數(shù)集則稱為離散參數(shù)過(guò)程,否則稱為連續(xù)參數(shù)過(guò)程.當(dāng)T是高維向量時(shí)稱X(t)為隨機(jī)場(chǎng).隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻的值稱為過(guò)程所處的狀態(tài),狀態(tài)的全體稱為狀態(tài)空3例1.1

英國(guó)植物學(xué)家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進(jìn)行不規(guī)則的運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)叫做Brown運(yùn)動(dòng).它是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.Brown運(yùn)動(dòng)是分子大量隨機(jī)碰撞的結(jié)果.若記(xt,yt)為粒子在平面坐標(biāo)上的位置,則它是平面上的Brown運(yùn)動(dòng).例1.1英國(guó)植物學(xué)家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子4例1.2

若某人在一個(gè)直線格子點(diǎn)上,從原點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行行走,規(guī)則如下:擲一枚硬幣,若正面向上則前進(jìn)一個(gè)格子;若反面向上則后退一個(gè)格子.以X(t)表示他在t時(shí)刻所在的位置,則X(t)就是一種直線上的隨機(jī)游動(dòng).-2-10123例1.2若某人在一個(gè)直線格子點(diǎn)上,從原點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行行走,5例1.3

到達(dá)總機(jī)交換臺(tái)的呼叫次數(shù)為Poisson過(guò)程.每次呼叫是相互獨(dú)立的,而間隔時(shí)間服從指數(shù)分布.交換臺(tái)在同一時(shí)間只能接通K個(gè)呼叫.人們常要了解在某一時(shí)刻的排隊(duì)長(zhǎng)度以及呼叫的平均等待時(shí)間.這是一種排隊(duì)模型.

該模型可以應(yīng)用于對(duì)超市、公交車站的管理或服務(wù)研究。例1.3到達(dá)總機(jī)交換臺(tái)的呼叫次數(shù)為Poisson過(guò)程.每次6例1.4

流行病學(xué)的研究中有如下模型:在時(shí)刻0時(shí)易感人群大小為X(0),Y(0)是已受傳染的人數(shù).假定易感人群被傳染的概率為p,則經(jīng)過(guò)一段傳染周期后(記為單位時(shí)間)X(0)中有X(1)沒有染上病而Y(1)卻受到傳染.傳染過(guò)程一直蔓延到再?zèng)]有人會(huì)染上這種流行病時(shí)停止.于是且當(dāng)時(shí)有

{X(t),t=1,2,…}就是以上式為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的Markov過(guò)程.例1.4流行病學(xué)的研究中有如下模型:在時(shí)刻0時(shí)易感人群大7例1.5

記X(t)為時(shí)刻t的商品價(jià)格.若X(t)適合線性模型其中為實(shí)參數(shù),Z(t)為獨(dú)立同分布的不可觀測(cè)的隨機(jī)變量,則X(t)服從ARMA模型——自回歸滑動(dòng)平均模型.這是在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中十分有用的時(shí)間序列模型.例1.5記X(t)為時(shí)刻t的商品價(jià)格.若X(t)適合線性模8

有限維分布和數(shù)字特征對(duì)于隨機(jī)過(guò)程,過(guò)程的一維均值函數(shù)為過(guò)程的方差函數(shù)為過(guò)程的一維分布為有限維分布和數(shù)字特征對(duì)于隨機(jī)過(guò)程9過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)為對(duì)于隨機(jī)過(guò)程,其中隨機(jī)變量與的關(guān)系有X(t1)與X(t2)的聯(lián)合分布為即過(guò)程在t1,t2兩個(gè)不同時(shí)刻值的聯(lián)合二維分布.過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)為對(duì)于隨機(jī)過(guò)程10自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì):1.對(duì)稱性,即對(duì)任何s,t有2.非負(fù)定性,即對(duì)任何t1,t2,…,tn

T及任意系數(shù)b1,b2,…,bn有自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì):1.對(duì)稱性,即對(duì)任何s,t11對(duì)于隨機(jī)過(guò)程,其有限維分布族為

有限維分布的性質(zhì):1.對(duì)稱性2.相容性對(duì)于隨機(jī)過(guò)程,其有限維分布12例1.6

記Xn為第n次獨(dú)立地扔一枚骰子的結(jié)果,則{Xn,n

1}為一隨機(jī)過(guò)程.參數(shù)集T為{1,2,…},而狀態(tài)空間為{1,2,3,4,5,6}.均值函數(shù)為:協(xié)方差函數(shù)為:任何有限維分布:其中F(x)為X1的分布函數(shù).例1.6記Xn為第n次獨(dú)立地扔一枚骰子的結(jié)果,則{Xn,13

平穩(wěn)過(guò)程和獨(dú)立增量過(guò)程如果一個(gè)隨機(jī)向量與另一個(gè)隨機(jī)向量有相同的聯(lián)合分布函數(shù),則稱這兩個(gè)隨機(jī)向量是同分布的,記為.定義1.2

如果隨機(jī)過(guò)程X(t)對(duì)任意的t1,…,tn

T和任何h有

則稱X(t)為嚴(yán)格平穩(wěn)的.平穩(wěn)過(guò)程和獨(dú)立增量過(guò)程如果一個(gè)隨機(jī)向量14定義1.3

如果隨機(jī)過(guò)程X(t)的所有二階矩存在,并且E[X(t)]=m及協(xié)方差函數(shù)RX(t,s)只與時(shí)間差t-s有關(guān),則稱X(t)為寬平穩(wěn)的或二階矩平穩(wěn)的.對(duì)于寬平穩(wěn)過(guò)程,由于對(duì)-

<s,t<+,

RX(t,s)=RX(0,t-s)所以可以記之為RX(t-s).顯然對(duì)所有t,RX(t)=RX(-t),即為偶函數(shù).定義1.3如果隨機(jī)過(guò)程X(t)的所有二階矩存在,并且E[X15定義1.4

對(duì)任意的t1<t2<…<tn且t1,…,tn

T,如果隨機(jī)變量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1),是相互獨(dú)立的,則稱X(t)為獨(dú)立增量過(guò)程.

如果進(jìn)一步有對(duì)任意的t1,t2,

則稱X(t)為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程.定義1.4對(duì)任意的t1<t2<…<tn且t1,…,tnT16例1.7

設(shè)Zi,i=0,1,2,…,是一串獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,定義 則{Xn,n

0}就是獨(dú)立增量過(guò)程.一般稱Xn為獨(dú)