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平面的基本性質(zhì)—共點(diǎn)共線共面平面的基本性質(zhì)—共點(diǎn)共線共面公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)公理2如果兩個平面有一個公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線。公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面推論1
經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個平面
推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面知識回顧公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上所(2)公理2:
“共點(diǎn)”、“共線”、“共面”問題(3)公理3,推論1、2、3:2、反證法1、理論依據(jù):(1)公理1:判定兩平面相交證點(diǎn)、線共面的依據(jù),確定平面也是作輔助面的依據(jù)(“點(diǎn)共線”,“線共點(diǎn)”)判斷或證明直線是否在平面內(nèi)確定兩個平面的交線,(2)公理2:“共點(diǎn)”、“共線”、“共面”問題(3)公理點(diǎn)共面、線共面、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題的一般方法.1.證明若干點(diǎn)或直線共面通常有兩種思路(1)先由部分元素確定一個平面,再證明其余元素在這平面內(nèi).(2)先由部分元素確定若干平面,再證明這些平面重合。2.證明三點(diǎn)共線,通常先確定經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是某兩個平面的交線,再證明第三點(diǎn)是這兩個平面的公共點(diǎn),即該點(diǎn)分別在這兩個平面內(nèi).3.證明三線共點(diǎn)通常先證其中的兩條直線相交于一點(diǎn),然后再證第三條直線經(jīng)過這一點(diǎn)。點(diǎn)共面、線共面、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題的一般方法.1.證明若已知:如圖1-26,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩c=p.求證:p∈a.證明:∵b∩c=p,∴p∈b.∵β∩γ=b,∴p∈β.同理,p∈α.又∵α∩β=a,∴p∈a.例、兩個平面兩兩相交,有三條交線,若其中兩條相交于一點(diǎn),證明第三條交線也過這一點(diǎn).證法:先證兩條交線交于一點(diǎn),再證第三條直線也過改點(diǎn)已知:如圖1-26,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩例2、如圖:在四面體ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),G,H分別在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求證:直線EH與FG,BD相交于一點(diǎn)例2、如圖:在四面體ABCD中,E,F分別BAQRCP證明:同理Q、R也為公共點(diǎn)所以P、Q、R共線要證明各點(diǎn)共線,只要證明它們是兩個平面的公共點(diǎn)例2、已知△ABC在平面α外,它的的三條邊所在直線分別交平面α于P、Q、R
求證:P、Q、R共線BAQRCP證明:同理Q、R也為公共點(diǎn)所以P、Q、R共線要證3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點(diǎn),平面經(jīng)過D,E兩點(diǎn)(1)求直線AB與平面的交點(diǎn)P(2)求證:D,E,P三點(diǎn)共線.ABCDEP3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點(diǎn),A例1、已知四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證這四條直線在同一平面內(nèi)已知:直線a、b、c、d、兩兩相交,且不共點(diǎn)求證:a、
b、c、d在同一平面內(nèi)分析:四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),可能有兩種:一是有三條直線共點(diǎn);二是沒有三條直線共點(diǎn),故證明要分兩種情況.例1、已知四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證這四條直線在同一平(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c相交于點(diǎn)O.求證:a、b、c、d共面.證明:∵d∩a=P,∴過d、a確定一個平面α(推論2).同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ.∵O∈a,O∈b,O∈c,∴O∈α,O∈β,O∈γ.∴平面α、β、γ都經(jīng)過直線d和d外一點(diǎn)O.∴α、β、γ重合.∴a、b、c、d共面.注:本題的方法是“同一法”.(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c相(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a∩b=M,b∩c=N,a∩c=S,且無三線共點(diǎn).求證:a、b、c、d共面證明:∵d∩a=P,∴d和a確定一個平面α(推論2).∵a∩b=M,d∩b=Q,∴M∈α,Q∈α.∴a、b、c、d四線共面.(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a∩b=M,已知:直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求證:a,b,c,l共面aA證明:又∵a∩l=A,b∩l=B,
∵a∥b∴a,b,c,l共面bcBCl已知:直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=CaA例1:已知:A
l,
B
l,C
l,D
l,求證:直線AD,BD,CD在同一平面內(nèi).證明:∵D
l,
∴點(diǎn)D與直線l可以確定平面(推論1)
lBACD∵A
l∴A
又D
∴AD平面(公理1)同理:BD平面,CD平面
∴直線AD,BD,CD在同一平面
內(nèi)例1:已知:Al,Bl,Cl,Dl,證明:∵共面問題:例題4:已知三條平行線a,b,c都與直線d相交,求證:四條直線共面。Cd共面問題:Cd2.已知:空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一個平面內(nèi),求證:直線AB和CD既不相交也不平行.反證法
ABCD2.已知:空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一個平面內(nèi),反證法AB1、要證“點(diǎn)共面”
、“線共面”可先由部分點(diǎn)、直線確定一平面,在證其余點(diǎn)、直線也在此平面內(nèi),小結(jié)2、反證法的應(yīng)用的意識即納入法1、要證“點(diǎn)共面”、“線共面”可先由部分點(diǎn)、直線確定一平面1.空間四點(diǎn)A、B、C、D共面但不共線,則下列結(jié)論成立的是()A.四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線.B.四點(diǎn)中有三點(diǎn)不共線.C.AB、BC、CD、DA四條直線中總有兩條平行.D.直線AB與CD必相交.課堂練習(xí)1.空間四點(diǎn)A、B、C、D共面但不共線,則下列結(jié)論成立的是(2.下列命題中,①有三個公共點(diǎn)的兩個平面重合;②梯形的四個頂點(diǎn)在同一平面內(nèi);③三條互相平行的直線必共面;④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.其中正確命題個數(shù)是()A.0B.1C.2D.32.下列命題中,①有三個公共點(diǎn)的兩個平面重合;②梯形的四個頂3.空間五個點(diǎn),沒有三點(diǎn)共線,但有四點(diǎn)共面,這樣的五個點(diǎn)可以確定平面數(shù)最多為()A.3B.5C.6D.74.直線l1//l2,在l1上取三點(diǎn),在l2上取兩點(diǎn),由這五個點(diǎn)能確_____個平面.3.空間五個點(diǎn),沒有三點(diǎn)共線,但有四點(diǎn)共面,這樣的五個點(diǎn)可以
填空題:(2)兩個平面可以把空間分成________部分,三個平面呢?_________________。(1)三條直線相交于一點(diǎn),用其中的兩條確定平面,四條直線相交于一點(diǎn)呢?_____________。最多確定的平面數(shù)是_______;看看答案吧看看答案吧363或44,6或7,8看看答案吧填空題:(2)兩個平面可以把空間分成________部3條直線相交于一點(diǎn)時:三條直線相交于一點(diǎn),用其中的兩條確定平面,最多可以確定3個。(1)、3條直線共面時(2)、每2條直線確定一平面時3條直線相交于一點(diǎn)時:三條直線相交于一點(diǎn),用其4條直線相交于一點(diǎn)時:三條直線相交于一點(diǎn),用其中的兩條確定平面,最多可以確定6個。(1)、4條直線全共面時(2)、有3條直線共面時(c)、每2條直線都確定一平面時4條直線相交于一點(diǎn)時:
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