【教案】2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 教案

【教案】2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式教案教學(xué)設(shè)計：教學(xué)目標(biāo)：1.通過實際情境抽象出一元二次不等式，了解其現(xiàn)實意義；2.理解一元二次不等式的概念和二次函數(shù)的零點；3.通過二次函數(shù)的圖像，探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的整體性；4.能夠利用二次函數(shù)求解一元二次不等式；5.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和直觀想象的核心素養(yǎng)。教學(xué)重點、難點：重點：一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，利用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的實數(shù)根和不等式的解集；難點：一元二次方程根的情況與二次函數(shù)圖像與x軸位置關(guān)系的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合思想的運用。教學(xué)方法：采用誘思探究式教學(xué)，以學(xué)生為主體，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過程：一、問題引入園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區(qū)域種植花卉。若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20m2，則這個矩形的邊長為多少米？解：設(shè)這個矩形的一條邊長為xm，則另一條邊長為（12-x）m。由題意，得（12-x）x>20，其中x∈(0,12)。整理得x^2-12x+20<0，x∈(0,12)。①求得不等式①的解集，就得到了問題的答案。設(shè)計意圖：通過問題引入，引發(fā)學(xué)生思考，得到一元二次不等式，引入課題并出示本節(jié)教學(xué)目標(biāo)。二、新知探究問題：什么是一元二次不等式？學(xué)生總結(jié)回答，說出定義。定義：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式。一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c均為常數(shù)，且a≠0。教師引導(dǎo)學(xué)生解讀定義，強調(diào)關(guān)鍵詞，目的加深學(xué)生對定義的理解。在初中，我們學(xué)習(xí)了一元一次不等式的解法，以x-3>0和x-3<0兩個不等式為例，求出x=3的根，進而畫出函數(shù)y=x-3的圖像，通過圖像寫出不等式的解。類比這種解法，我們能否借助二次函數(shù)的圖像求解一元二次不等式呢？設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次不等式的解法，體會求解步驟，通過類比，有助于探究一元二次不等式的解法。探究一：一元二次不等式x^2-12x+20<0的解法1.求一元二次方程x^2-12x+20=0的根，x1=2，x2=10。2.將x軸分成三段，即x<2，2≤x≤10和x>10，分別代入原不等式，得到：當(dāng)x<2時，x^2-12x+20>0；當(dāng)2≤x≤10時，x^2-12x+20<0；當(dāng)x>10時，x^2-12x+20>0。3.將不等式的解集表示出來，即x∈(2,10)。探究二：一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解法1.求一元二次方程ax^2+bx+c=0的根，分為三種情況：當(dāng)b^2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，記為x1和x2；當(dāng)b^2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，記為x1=x2；當(dāng)b^2-4ac<0時，方程無實數(shù)根。2.將x軸分成三段，即x<x1，x1≤x≤x2和x>x2，分別代入原不等式，得到：當(dāng)x<x1時，ax^2+bx+c>0；當(dāng)x1≤x≤x2時，ax^2+bx+c≤0；當(dāng)x>x2時，ax^2+bx+c>0。3.將不等式的解集表示出來。設(shè)計意圖：通過探究一元二次不等式的解法，引導(dǎo)學(xué)生理解二次函數(shù)圖像與一元二次不等式的聯(lián)系，提升數(shù)形結(jié)合思想的運用能力。三、練習(xí)鞏固1.求解不等式x^2-6x+5>0。解：將x軸分成三段，即x<1，1≤x≤5和x>5，分別代入原不等式，得到：當(dāng)x<1時，x^2-6x+5>0；當(dāng)1≤x≤5時，x^2-6x+5≤0；當(dāng)x>5時，x^2-6x+5>0。將不等式的解集表示出來，即x∈(1,5)的補集。2.求解不等式2x^2-4x-6≤0。解：將不等式化為2(x-2)^2-14≤0，即(x-2)^2≤7，再將x軸分成三段，即x<2-√7，2-√7≤x≤2+√7和x>2+√7，分別代入原不等式，得到：當(dāng)x<2-√7時，2x^2-4x-6>0；當(dāng)2-√7≤x≤2+√7時，2x^2-4x-6≤0；當(dāng)x>2+√7時，2x^2-4x-6>0。將不等式的解集表示出來，即x∈[2-√7,2+√7]。設(shè)計意圖：通過練習(xí)鞏固，檢驗學(xué)生對于一元二次不等式的理解和掌握情況。四、課堂小結(jié)本節(jié)課程主要是圍繞一元二次不等式展開的，通過實際問題引入，引發(fā)學(xué)生思考，探究一元二次不等式的概念和解法。通過二次函數(shù)的圖像，探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的整體性。最后，通過練習(xí)鞏固，檢驗學(xué)生對于一元二次不等式的理解和掌握情況。設(shè)計意圖：對本節(jié)課程進行總結(jié)，強化學(xué)生對于本節(jié)課程的理解和記憶。2.畫出一元二次函數(shù)$y=x^2-12x+20$的圖像。3.當(dāng)$2<x<10$時，函數(shù)圖像位于$x$軸上方，此時$y<0$，即$x^2-12x+20<0$。因此，一元二次不等式的解集為$\{x|2<x<10\}$。從而解決了引例的問題。設(shè)計意圖：通過以上三個步驟的設(shè)置，讓學(xué)生自主探究具體的一元二次不等式的解法，進而推廣到一般情況。問題：2和10是方程的根，是二次函數(shù)與$x$軸交點的橫坐標(biāo)，也叫做函數(shù)的零點。引出零點的定義。一般地，對于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，我們把使$ax^2+bx+c=0$的實數(shù)$x$叫做二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的零點。注：一元二次函數(shù)的零點不是點，是實數(shù)。教師強調(diào)上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式$ax^2+bx+c>(a>0)$和$ax^2+bx+c<(a>0)$的解集。探究二：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解對應(yīng)關(guān)系下面我們以表格的形式探究三者之間的關(guān)系（學(xué)生分組討論，合作交流）|判別式$\Delta$|$\Delta>0$|$\Delta=0$|$\Delta<0$||---|---|---|---||二次方程$ax^2+bx+c=0$的根|有兩個相異實根$x_1,x_2$|有兩個相等實根$x_1=x_2$|沒有實數(shù)根||二次不等式$ax^2+bx+c>0$的解集|$\{x|x<x_1$或$x>x_2\}$|$\{x|x\neq-\frac{2a}\}$|$\mathbb{R}$||二次不等式$ax^2+bx+c<0$的解集|$\{x|x_1<x<x_2\}$|$\varnothing$|$\varnothing$|討論結(jié)束，教師提問學(xué)生，完成表格。三．典例分析、舉一反三一元二次不等式的解法$\{x|x_1<x<x_2\}\quad\varnothing$例1：求不等式$x^2-5x+6>0$的解集。分析：因為方程$x^2-5x+6=0$的根是函數(shù)$y=x^2-5x+6$的零點，所以先求出$x^2-5x+6=0$的根，再根據(jù)函數(shù)圖像得到$x^2-5x+6>0$的解集。解：對于方程$x^2-5x+6=0$，因為$\Delta>0$，所以它有兩個實數(shù)根，解得$x_1=2$，$x_2=3$。畫出二次函數(shù)$y=x^2-5x+6$的圖像，結(jié)合圖像得不等式$x^2-5x+6>0$的解集為$\{x|x<2$或$x>3\}$。設(shè)計意圖：教師板書步驟，規(guī)范學(xué)生作答，強調(diào)關(guān)鍵語句。例2：求不等式$9x^2-6x+1>0$的解集。解：對于方程$9x^2-6x+1=0$，因為$\Delta=0$，所以它有兩個相等實數(shù)根，解得$x_1=x_2=\frac{1}{3}$。畫出二次函數(shù)$y=9x^2-6x+1$的圖像，結(jié)合圖像得不等式$9x^2-6x+1>0$的解集為$\{x|x\neq\frac{1}{3}\}$。教師直接利用課件展示做題步驟，比較與例1的區(qū)別與聯(lián)系。求不等式$-x+2x-3>0$的解集。解：不等式可化為$x-2x+3<0$。因為$\Delta=-8<0$，所以方程無實數(shù)根。畫出二次函數(shù)$y=x-2x+3$的圖象，結(jié)合圖象得不等式$x-2x+3<0$的解集為$\emptyset$。方法總結(jié)：如何用圖解法解一元二次不等式？(1)化標(biāo)：將原不等式化為系數(shù)為正的標(biāo)準(zhǔn)形式。(2)求根：依據(jù)$\Delta=b^2-4ac$，判定方程根的情況。(3)畫圖。(4)寫解集。鞏固練習(xí)：求不等式$(8-\frac{2}{5}x-2.5\times0.2)x\geq20$的解集。設(shè)計意圖：強化學(xué)生對一元二次不等式標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化能力與求解能力。四、課堂小結(jié)1.學(xué)到了哪些知識？（1）一元二次不等式的定義與二次函數(shù)的零點定義；（2）“三個二次”的關(guān)系；（3）一元二次不等式解法步驟：化標(biāo)、求根、畫圖、寫解集。2.運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？函數(shù)與方程數(shù)形結(jié)合、類比法、特殊到一般。3.提