專題3 二次函數(shù)與一元二次方程不等式

專題3二次函數(shù)與一元二次方程不等式知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式的概念解析只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式.ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù).思考a2b＋2ab2＋8>0(ab≠0)可看作一元二次不等式嗎？可以，把b看作常數(shù)，則是關(guān)于a的一元二次不等式；把a(bǔ)看作常數(shù)，則是關(guān)于b的一元二次不等式．知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??意味著中部分，意味著中部分，，求出兩個(gè)根，；根據(jù)圖像可知：開口向上時(shí)，大于取兩邊，小于取中間，反之亦然．【例1】解關(guān)于的不等式．【例2】解關(guān)于的不等式．【例3】已知關(guān)于的不等式的解集為或．（1）求，；（2）解關(guān)于的不等式．知識(shí)點(diǎn)三一元二次不等式與韋達(dá)定理=1\*GB3①已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．=2\*GB3②已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．=3\*GB3③已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．=4\*GB3④已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．【例4】不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或 B． C． D．知識(shí)點(diǎn)四二次項(xiàng)系數(shù)含參的一元二次不等式問題（1）分析當(dāng)時(shí)的情況．（2）十字相乘得到，求出兩個(gè)根，，若不能十字相乘，則要討論的情況．（3）比較兩個(gè)根的大小，；；，并分別進(jìn)行討論．（4）其中一種情況涉及到以及，再分開口方向討論．【例5】解關(guān)于的不等式：．知識(shí)點(diǎn)五乘除的等價(jià)原理和穿根法若，則與異號(hào)，．若，則異號(hào)，，且．若，則同號(hào)，．若，則同號(hào)，，且．?dāng)?shù)軸穿根法或者口訣：移項(xiàng)調(diào)號(hào)，分解排序，奇穿偶回，分母非零，參數(shù)討論，小心等號(hào)．【例6】解關(guān)于的不等式：（）．【例7】解關(guān)于的不等式：．【例8】解關(guān)于的不等式：知識(shí)點(diǎn)六對(duì)勾函數(shù)解決恒成立和實(shí)根分布問題對(duì)勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)，形如當(dāng)同為正數(shù)時(shí)，的圖象是由直線與雙曲線構(gòu)成，形狀酷似雙勾．故稱“對(duì)勾函數(shù)”，也稱“耐克函數(shù)”．耐克函數(shù)的頂點(diǎn)：和【例9】已知函數(shù)對(duì)于一切成立，求的取值范圍．【例10】方程在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)七二次函數(shù)軸動(dòng)區(qū)間定和軸定區(qū)間動(dòng)口訣：軸在區(qū)間內(nèi)，頂點(diǎn)定；軸在區(qū)間外，單調(diào)定．【例11】若函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【例12】已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值，最小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例13】若函數(shù)，若對(duì)任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．歸納總結(jié)：在關(guān)于二次函數(shù)軸動(dòng)區(qū)間定的題型時(shí)，若只考查單調(diào)性，顯然直接法更簡(jiǎn)單，遇到恒成立或者零點(diǎn)分布類型題目時(shí)，顯然參變分離更簡(jiǎn)單．軸定區(qū)間動(dòng)顯然還是直接討論并卡根更加直截了當(dāng)．關(guān)于零點(diǎn)分布，進(jìn)行區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸一起來“卡根”，端點(diǎn)值往往形成一種“定海神針”感覺，接下來我們通過題目分析這類方法．【例14】（2022?長(zhǎng)沙月考）設(shè)函數(shù)．（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．歸納總結(jié)此題明顯參變分離解題更為簡(jiǎn)單，下面我們將系統(tǒng)分析參變分離和定海神針方法各自的適用范圍．【例15】（2022?湖北月考）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求的值；（2）設(shè)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)八二次函數(shù)零點(diǎn)分布之兩零點(diǎn)分布在同一區(qū)間型二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)位于同一區(qū)間或者在某個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)時(shí)，參變分離轉(zhuǎn)化為區(qū)間的值域或者交點(diǎn)問題，顯然事半功倍．【例16】（2022?安徽月考）已知．（1）若且，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)為何值時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，且均比大．【例17】（2022?襄陽月考）若關(guān)于的一元二次方程至少有一個(gè)正根，求的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)九二次函數(shù)單零點(diǎn)分布之卡根法第一類恒成立（能成立）的異號(hào)類二次函數(shù)開口方向和不等號(hào)方向反向，即恒成立，或者恒成立．【例18】不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．第二類零點(diǎn)問題的分散或者范圍內(nèi)單個(gè)零點(diǎn)如果兩個(gè)零點(diǎn)在不同區(qū)間或者某個(gè)區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，端點(diǎn)值的正負(fù)號(hào)將決定參數(shù)的取值范圍．【例19】若方程的一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【例20】已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．第三類綜合問題的處理策略在軸動(dòng)區(qū)間定的情況下，若參變分離出現(xiàn)正負(fù)號(hào)不確定時(shí)也需要分類討論，不等號(hào)方向涉及改變，此時(shí)只需分兩類，而常規(guī)的定海神針卡根法需要分三類．【例21】已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【例22】（2007?廣東）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍．1.（2015?廣東）不等式的解集為．（用區(qū)間表示）2.（2015?上海）函數(shù)，，的值域?yàn)?，?.（2017?北京）已知，，且，則的取值范圍是，．4.（2022?雨花區(qū)開學(xué)）一條拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，則、、中為正數(shù)的A．只有 B．只有 C．只有 D．只有和5.（2015?四川）如果函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么的最大值為A．16 B．18 C．25 D．6.（2022?龍鳳區(qū)期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為A．6 B．7 C．9 D．107．（2022?浙江開學(xué)）已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)，滿足（2）（3），則的最大值為A． B． C． D．8．（2022?連云區(qū)開學(xué)）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．或9.（2022?榆林期末）若關(guān)于的不等式的解集為，則函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為A． B．0 C．2 D．310.（2022?雙鴨山期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是A．或B． C．或 D．11.（2022?興化市模擬）若正實(shí)數(shù)，滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)的最大值為A． B． C．2 D．312.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．若函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程沒有根，則不等式的解集為 B．不等式在上恒成立的條件是且△ C．若關(guān)于的不等式的解集為，則 D．不等式的解為13.（2022?義烏期末）已知二次函數(shù)，若，，（1），則的根的分布情況可能為A．可能無解 B．有兩相等解，且 C．有兩個(gè)不同解， D．有兩個(gè)都不在內(nèi)的不同解，14.（2022?雨花區(qū)開學(xué)）二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④若方程有兩個(gè)根和，且，則；⑤若方程有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為，其中正確的結(jié)論有個(gè)．15.（2022?長(zhǎng)沙月考）已知不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.（2022?嘉興期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．17.（2022?定州期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．18（2022?佛山期末）設(shè)二次函數(shù)為．（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取