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文檔簡介
每月家庭可支配收入X(元YY XE(Y|Xi)=0+ X對(duì)于總體回歸直線:E(Y|Xi)=0+1Xi,其中總體回歸線(populationregressionline):在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡。也稱總體回歸曲線(populationregressionE(Y|Xif(Xi)稱為(雙變量)總體回歸函數(shù)(populationregressionfunctionPRF)。觀察值圍繞它的期望值的離差(deviation),是一個(gè)不可觀測(cè)的隨量,稱之為隨機(jī)干擾項(xiàng)(stochasticdisturbance)或隨機(jī)誤差項(xiàng)ui= -y.E(y|x)=0+ . 給定收入水平Xi,個(gè)別家庭的支出可表示為兩部 =Y|Xiui=0+1Xi+數(shù)據(jù)的欠缺(消費(fèi)與收入、糟糕的替代變量(變量測(cè)量誤差的影響y=0+1x+ 在簡單回歸模型y01xuy因變量(Dependent響應(yīng)變量(ResponseVariable左邊變量(Left-HandSide被解釋變量(Exined回歸子自變量(t右邊變量(Right-HandSide解釋變量(Exnatory回歸元協(xié)變量控制變量(Control線性的含義:y和x之間并不一定存性關(guān)例如y=e0+1x+uwage=0+1educ+E(u)= y=(0+5)+1x+(u-由此E(u- 總可以通過調(diào)整常數(shù)現(xiàn)誤差項(xiàng)的均值為零,因此該假定的限制性不E(u|xE(u)IfE(Y|X)=E(Y),thenCov(X,Y)=0[Infact,everyfunctionofXisuncorrelatedwithY.CovX,YCov(X,E[Y|X])Cov(X,E[Y])E(Y|f(X))E[E(Y|X)|f(X)]E[E(Y)|f(X)]E(Y由于已經(jīng)假定了E(u)=0,因此有E(u|x)=E(u)=0. 在教育一例中,假定u代表內(nèi)在能力,x代表教育年限,score=0+1attend E(u|attend)=score=0+1attend Whenstudentability,motivation,age,andotherfactorsinuarenotrelatedtoattendance,(2.6)wouldhold.Thisseemsunlikelytobethecase.由
E(y|x)=0+ 稱總體回歸直線,y的條件分布以它為。y
.
.E(y|x)=0+ x2若{(xi,yii=1,…,n是總體的一個(gè)yi=0+1xi+ yy E(y|x)=0+1 1
.. 由E(u|x)=E(u)= 可得Cov(x,u)=E(xu)= Cov(x,u)=Cov(x,E(u|x))=0=E(xu)–E(x)E(u)=uy0E(y–0–1x)= E[x(y–0–1x)]= 以上兩個(gè)式稱為總體的矩條件(momentE(y–0–1x)= E[x(y–0–1x)]=
ninnn
或
y?11
xxxyy?
x
xix
xn
2 ixixyyi則1
xix1Cov(x,y)/Var(x)
x
y
x
yii1 ii x xx y01xu0E(y)1E(x) 普通最小二乘法(methodofordinaryleastsquare,OLS)的基本思想:找到一組合適的參數(shù)估計(jì)值,?
yy
?
?
} 擬合值? def:iyi? u?2
y?x
n(y??x)
x(y??x)
?y?
xxyy 1 xxi max)=(223,1281,14822).。N=209(estimatedsalary)=963.191+在例2.5中,若ShareA=60即60,預(yù)計(jì)候VoteA^=26.81+0.464 將shareA=60代入(2.28)得VoteA^=54.65.這并非不合理。如果候選人A花了競選支出的60%,那么預(yù)測(cè)他將得到接近55%的選票。OLSOLS的樣本殘差平均值也為零 i(yix)
? n in(xin
)(?i??i
y?? 每一次觀測(cè)可以寫成擬合值與殘差之和yi
?
n即:(
?)(?i?
)?i
?iin(
y)?i
[?(xx? iixui? x ?iixui
n
i??n
xi?in
?
i2SST(yy 2i解釋平方和(ExinedSumofSquares, SSE(?y)2?2(xx i
殘差平方和(ResidualSumofSquares,nSSRn
(y?)2
n n SSTSSRSSTy2y??y2 u??yySSR R2=SSE/SST=1–ExampleR2Example2.9競選結(jié)果和活動(dòng)開R2Theestimatedsampleregressionischangedfrom(estimatedsalarys)=963.191+18.501roe (estimatedsalarys)=963191+ nxixyiyn?1
nn(estimatedsalary)=963.191+(estimatedsalary)=963.191+ 對(duì)于函數(shù):ylog(x) 0xlog(x)log(x)
x xlog(x1x2)log(x1)log(x2)log(x1/x2)log(x1)log(x2)log(xc)clog(x)log(1x) xlog(x1)log(x0)(x1x0)/x0x/u0,(01educu)(01educ0u01log(wage)-log(wage0)(wagewage0)/log(wage)n
R2w?geR2自然對(duì)數(shù)的另一個(gè)重要用途是用于獲得彈性為常log(salary)01log(sales)在CEO的薪水和企業(yè)銷售額的例子中,常數(shù)彈性 P42)og(salary)n R2tInterpretationofyxyyLog-log(xy/y0log(y/y01x/誤差u的關(guān)系可寫作:y=0+1x+ {(xi SLR.3x不是一個(gè)不變的SLR.4給定解釋變量的任何值,隨機(jī)誤差項(xiàng)的期望值都為零.E(u|x)0或 |xi)0(隨機(jī)樣本Eu|X0Xx1x2,xn它們的OLS估計(jì)量的期望值都等于它們各自的 E?和E? Xx1,x2,,xn?1
xixyynnxixii1 ?xixyi,其中 xx1 分子xixyixix01xiuixix0xix1xixix xxixix11xix xx xxx xx ?xix 記 xix,?1SSTdu x 11
E
|X SSTx E |XE |x1,x2,,xnE |xi 101xu?110(1?)x1故E(?|X)E[(?)x|X]E(u|X Using409Michiganhighschooldatafor1992–1993,weestimatedthatPredictedmath10=32.14-Predictedmath10=32.14-學(xué)考試的學(xué)生會(huì)減少3.2個(gè)百分點(diǎn)??尚艈??數(shù)學(xué)考試的學(xué)生會(huì)減少3.2個(gè)百分點(diǎn)??尚艈幔繉?shí)上,u包含著既影響學(xué)生成績又與午餐項(xiàng)目資格高度AssumeSLR.5Var(u|x)=2 orVar(ui|xi)=2(Homoskedasticity)Var(y|x)=2orVar(yi|xi)=2
..=+.
.E(y|x)=0+ Var(u|x)=E(u2|x)-E(u|x022=E(E(u2|x))=E(u2)=稱作誤差方差(errorvariance)。E(y|x)=01xVar(y|x若工資方程滿足同方差假設(shè),即 若工資方程滿足同方差假設(shè),即 如果接受過高等教育的人的機(jī)會(huì),收入的
X
x
x x
d2VaruX SSTx2
SST 2
d2221SST
x 2
x 2
SSTx 2widi/ wu
wE(u E(uu)E(u2/n)2/ wE(uu) w(2/n) yx ?(xu)?xu(? Var(?)Var(u)Var(?)x22/n(2/SST)x22/n2x2/ 0 Var(?)2[ /n0
n1 x2x2x2/ x2/SST SLR.1~SLR.5下,以樣本值{x1,x2,…,xn}為條件有 和
|X)
nn (xix i (xi
x
|X 12nn12n
xn 1ni
x)2P u?2SSR/nn iiyi??xui
0
1 ?x ( ?x1以上兩式相減得:?i 1 i ?2(uu)2(?)2(xx)22(?)(uu)(x i i ?2(uu)2(?)2(xx)22(?)u( i E{(?)2(xx)2}2i?u?u(xx)
(xx)2 (xx)2 u(xx)}22 定義:? x已知:sd?1SST1x111se?1
1/2?/
x212x1y 1
(
n
(
1 1
x2故1xiyi
1
2x = i x yi01xi 2 =xi(01xiui) xi 0xi
x2
xu
i
/
i +1
xiui/
i
2
條件于x可得:E(1)=0xi/xi + 11n當(dāng)00時(shí),這個(gè)偏差為零。當(dāng)
1由(i)x1 Var(1) i VariVar(1) i Vari iVar(ui
x2
x2 2 x2
2x
=2
x
i i (2.57),Var(
(xi
)2n n 由于
x2
(xx)2Var(Var(? n或
x)2
xi2n(x2 x0,它都小于xi
nxo2xoi11(x2的和被取定時(shí))x? Var()0 ? ,x,和n的大小(以及 x2的大小) regressypredictyhat,predictSE,disyinvttail(8,generaow1=yhat-generategraphtwowaylfitciyx,stdp||scatteryx,msymbol(o)||,ytitle("Meancompositey")legend(off)xtitle("omex")title("Confidencebandsforconditionalmeans(stdp)")MeancompositeConfidencebandsforconditionalMeancomposite omeregressypredictyhat,predictSEyhat,disyinvttail(8, ow2=yhat-2.306*generatehigh2=yhat+2.306*graphtwowaylfitciyx,stdf||scatteryx,msymbol(o)||,legend(off)xtitle("omex")title("Confidencebandsforindividual-caseprediction(stdf)")0 0omegraphtwowaylfitciyx,stdp||scatteryx,||,ytitle("Meancompositey omex")title("Confidencebandsforconditionalmeans(stdp)")graphtwowaylfitciyx,stdf||scatteryx,msymbol(o)||,legend(off)xtitle("omex")title("Confidencebandsforindividual-caseprediction(stdf)")graphtwowaylfit
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