遼寧省鞍山市華育中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

遼寧省鞍山市華育中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)φ∈R，則“φ=0”是“f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）為偶函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件參考答案：A【分析】f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）為偶函數(shù)，由f（﹣x）=f（x）可得：cosφ=±1，即可得出．【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）為偶函數(shù)，由f（﹣x）=f（x）可得：cosφ=±1，解得φ=kπ，k∈Z．∴“φ=0”是“f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）為偶函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.若0≤α≤2π，sinα＞cosα，則α的取值范圍是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）參考答案：C考點(diǎn)：正切函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)線．專題：計(jì)算題．分析：通過(guò)對(duì)sinα＞cosα等價(jià)變形，利用輔助角公式化為正弦，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．解答：解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣）＞0，∴0＜α﹣＜π，∴＜α＜．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查輔助角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，將sinα＞cosα等價(jià)變形是難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．3.設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓交l于B、D兩點(diǎn)，若∠ABD=90°，△ABF的面積為3，則p=（） A．1 B． C． 2 D． 參考答案：B4.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則（

）A．2 B． C．1 D．參考答案：B因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，可得，,,故選B.

5.已知，則的值等于（

）

A．

B．—

C．

D．—

參考答案：D6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

A．9 B．16 C．25 D．27參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】按照程序的流程，寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，并同時(shí)判斷各個(gè)結(jié)果是否滿足判斷框中的條件，直到滿足條件，執(zhí)行輸出即可得解．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得S=0，i=1執(zhí)行循環(huán)體，S=1，i=3不滿足條件i＞7，執(zhí)行循環(huán)體，S=4，i=5不滿足條件i＞7，執(zhí)行循環(huán)體，S=9，i=7不滿足條件i＞7，執(zhí)行循環(huán)體，S=16，i=9滿足條件i＞7，退出循環(huán)，輸出S的值為16．故選：B．7.將拋物線沿向量平移得到拋物線，則向量為A．(－1,2)

B．(1,－2)

C．(－4,2)

D．(4,－2)參考答案：A略8.如圖所示，用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有()A．180種

B．120種C．96種

D．60種參考答案：A按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有5種顏色可選；第二步B區(qū)域有4種顏色可選；第三步C區(qū)域有3種顏色可選；第四步由于D區(qū)域可以重復(fù)使用區(qū)域A中已有過(guò)的顏色，故也有3種顏色可選用．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3×3＝180(種)涂色方法．9.集合,則集合P∩Q的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：B10.若函數(shù)y=f（x）的最小正周期是π，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）的解析式可以（）A． B． C．y=2sin2x﹣1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)周期公式求解出ω，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入即可得到滿足要求的f（x）的解析式．【解答】解：函數(shù)y=f（x）的最小正周期是π，即T=，解得：ω=2，排除A．將點(diǎn)坐標(biāo)代入，即當(dāng)x=時(shí)，y的值應(yīng)該為0，B，C，D選項(xiàng)中只有D滿足．故f（x）的解析式可以是D，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.a，b為正數(shù)，給出下列命題：①若a2﹣b2=1，則a﹣b＜1；②若﹣=1，則a﹣b＜1；③ea﹣eb=1，則a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，則a﹣b＜1．期中真命題的有．參考答案：①③【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】不正確的結(jié)論，列舉反例，正確的結(jié)論，進(jìn)行嚴(yán)密的證明，即可得出結(jié)論．【解答】解：①中，a，b中至少有一個(gè)大于等于1，則a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正確．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=滿足上式但a﹣b=＞1，故②錯(cuò)；③構(gòu)造函數(shù)y=x﹣ex，x＞0，y′=1﹣ex＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，∵ea﹣eb=1，∴a＞b，∴a﹣ea＜b﹣eb，∴a﹣b＜ea﹣eb=1，故③正確；④若lna﹣lnb=1，則a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正確．故答案為：①③．12.若向量滿足且則向量的夾角為__________.參考答案：

13.已知是第二象限角，且則（

）。參考答案：14.設(shè)，，是單位向量，且，則向量，的夾角等于

．參考答案：設(shè)，的夾角為，因?yàn)?，所以，即，即，所以，所以，的夾角為或。15.如圖，圓是的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).若，，則線段的長(zhǎng)是

；圓的半徑是

.參考答案：16.若方程

參考答案：略17.求曲線y=，y=x2所圍成圖形的面積．參考答案：【考點(diǎn)】定積分．【分析】先由解的x的值，再利用定積分即可求得面積．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲線所圍成圖形的面積===．故答案是．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題12分）某進(jìn)修學(xué)校為全市教師提供心理學(xué)和計(jì)算機(jī)兩個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展，每位教師可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)．現(xiàn)知全市教師中，選擇心理學(xué)培訓(xùn)的教師有60%，選擇計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的教師有75%，每位教師對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響．

(1)任選1名教師，求該教師選擇只參加一項(xiàng)培訓(xùn)的概率；

(2)任選3名教師，記為3人中選擇不參加培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望．參考答案：任選1名教師，記“該教師選擇心理學(xué)培訓(xùn)”為事件，“該教師選擇計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．

………1分（1）任選1名，該教師只選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是．

…………4分（2）任選1名教師，該人選擇不參加培訓(xùn)的概率是

．

…………5分因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中選擇不參加培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，

…………6分且，，

…………8分即的分布列是01230.7290.2430.0270.001……10分所以，的期望是．

………12分（或的期望是．）19.（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐平面，底面為直角梯形，，且,.（1）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)，問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，平面，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)面，且，求四棱錐的體積.參考答案：20.（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值。

參考答案：（I）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.………3分(II)由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則,即，令，則，，所以.………6分同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以.

由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.………8分(III)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn)，且.所以.解得，，.所以.

由，即.解得.………11分因?yàn)椋栽诰€段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B.此時(shí)，.………13分21.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知sin（A﹣）=cosA（1）求角A的大??；（2）若a=1，b+c=2，求△ABC的面積S．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）由已知利用兩角差的正弦公式展開可求tanA，結(jié)合0＜A＜π，可求A；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，結(jié)合已知可得bc的值，然后利用三角形面積公式即可得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）由已知有sinA?cos﹣cosA?sin=cosA，…故sinA=cosA，tanA=．…又0＜A＜π，所以A=．…（2）∵a=1，b+c=2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得，1=b2+c2﹣bc，…所以1=（b+c）2﹣3bc，即解得：bc=1，…∴=．…22.已知拋物線x2=2py上點(diǎn)P處的切線方程為x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）和B（x2，y2）為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中y1≠y2且y1+y2=4，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】（Ⅰ）由題意，拋物線x2=2py上點(diǎn)P處的切線方程為x﹣y﹣1=0，設(shè)P的坐標(biāo)，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在P點(diǎn)斜率為1，求解P的坐標(biāo)值．（Ⅱ）由題意，采用設(shè)而不求的思想，設(shè)A（x1，y1）和B（x2，y2）為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知y1+y2=4，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點(diǎn)C，可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式．求解出直線方程，與拋物線組成方程組，求其中點(diǎn)坐標(biāo)范圍．利用弦長(zhǎng)公式求|AB|的長(zhǎng)度，再求C點(diǎn)到直線AB的距離最大值，從