函數(shù)的單調(diào)性與最值漫談

Email:lihongqing999@163.com地址：570206?？谑泻Ｐ愦蟮?9號海南華僑中學(xué)李紅慶工作室第6頁共9頁函數(shù)的單調(diào)性與最值漫談海南華僑中學(xué)黃玲玲函數(shù)的單調(diào)性與最值是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容．從中學(xué)數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)來看，函數(shù)的單調(diào)性與最值在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著“紐帶”的作用，她承前于函數(shù)的值域、方程有解的條件、不等式證明，啟后于數(shù)列的最值問題、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識．例如：求函數(shù)的值域，令，則，，則函數(shù)即為，由于，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，而，所以函數(shù)的值域為；方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍，由方程可變?yōu)?，由于函?shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍是，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要把函數(shù)（，）作為基本函數(shù)來掌握，它的圖像如右下圖所示，它在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；設(shè)正數(shù)，滿足，求證：，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，由基本不等式有，則有，也就是；設(shè)數(shù)列，，，，…，，…的前項和為的最大值，假設(shè)最大，則，，，…，是遞增的，，，…，是遞減的，則有，即，解之或．函數(shù)的單調(diào)性與最值在中學(xué)階段分兩個時期滲透，前期是函數(shù)的初等方法，即利用函數(shù)的單調(diào)性和最值的定義解決簡單的基本函數(shù)或簡單的基本函數(shù)的簡單復(fù)合形式的問題，后期是函數(shù)的后續(xù)性質(zhì)，主要利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，解決一元高次函數(shù)或簡單的超越函數(shù)問題．下面分兩個方面來漫談：前期的函數(shù)的單調(diào)性和最值問題利用函數(shù)的單調(diào)性或最值來求函數(shù)的值域例1求函數(shù)的值域．分析：凡是分?jǐn)?shù)的分子、分母都是整式，一般是把次數(shù)高的式子按次數(shù)低的式子進(jìn)行配方，這樣就能得到關(guān)于某個式子的基本形式的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的特性解決問題．解答：，令，則在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則，則．練習(xí)1已知函數(shù)的圖像與軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，．（1）證明：；（2）證明：，；（3）若，滿足不等式．求的取值范圍．分析：要把所給的函數(shù)化歸成關(guān)于的二次函數(shù)形式，用配方法求指定區(qū)間內(nèi)的最值．解答：．∵，∴，∴當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．練習(xí)4：若時，求函數(shù)的最大值和最小值．解：由，得，函數(shù)可化為，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，．3．含有參變量的函數(shù)的單調(diào)性與最值問題例5求函數(shù)（）在區(qū)間上的最小值．分析：函數(shù)的最值點在區(qū)間的端點或處，由于點在變動，要分在區(qū)間內(nèi)，或左側(cè)，或右側(cè)的情形進(jìn)行討論．解答：令，得，這是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像的最低點的橫坐標(biāo)，即函數(shù)在上遞減，在上遞增．因此有：當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．練習(xí)5：例6求函數(shù)在區(qū)間上的最值．分析：函數(shù)的對稱軸是不變的，區(qū)間在變動，在區(qū)間中，與差的絕對值最小的自變量為最小值的取值點，與差的絕對值最大的自變量為最大值的取值點．因此，函數(shù)的最值點在區(qū)間的端點或處．解答：因為拋物線的對稱軸為，因此有：（1）當(dāng)，即時，，；（2）當(dāng)，即時，，；（3）當(dāng)時，，；（4）當(dāng)時，，．后期用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題1．一元高次多項式函數(shù)的單調(diào)性與最值問題例7設(shè)函數(shù)，其圖像在點處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為．求，的值；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最值．分析：依函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)表示的曲線在點的導(dǎo)數(shù)即為以點為切點的切線的斜率，再由二次函數(shù)的最小值就可求出，的值．解答：（1），直線的斜率為，所以切線的斜率為，則，即，……①，則，……②代入①式得，；（2）由（1），則，令，解之，，所以，隨的變化如下表：極大值極小值由于函數(shù)在上是連續(xù)不斷的曲線，所以的遞增區(qū)間為和；∵，，，所以當(dāng)時，取最小值為；當(dāng)時，取最大值為．2．超越函數(shù)的單調(diào)性與最值問題例8已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值．分析：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的極值點在區(qū)間的左側(cè)，在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間的右側(cè)的三種情形進(jìn)行分類討論．解答：∵，∴．令，得或，由知，，隨的變化如下表：極小值極大值（1）當(dāng)，即時，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴；（2）當(dāng)，即時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以；（3）當(dāng)，即時，在區(qū)間上是增函數(shù)，∴．綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．三．相關(guān)訓(xùn)練：求二次函f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值與最小值已知是f(x)=奇函數(shù)，且f(1)=求實數(shù)m、n的值；求函數(shù)f(x)在[3,)上的最小值。3.已知函數(shù)f(x)=2ax-,（1）若f(x)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）求f(x)在區(qū)間上的最大值