2020-2021學年省九年級（上）期末數(shù)學試卷及答案

2020-2021學年省九年級(上)期末數(shù)學試卷

一、選擇題(本大題共7小題，共28.0分)

1.一元二次方程*2-3戶0的解為()

A.%1—3,%2=3B.%1=3,%2=0

C.%1—3,%2=0D?%1=%2=3

2.下列事件中，是隨機事件的是()

A.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是360°

B.任意拋一枚圖釘，釘尖著地

C.通常加熱到100。時，水沸騰

D.太陽從東方升起

3.二次函數(shù)片(尸1)2+2,它的圖象頂點坐標是()

A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,2)

4.某醫(yī)藥廠兩年前生產(chǎn)某種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，

現(xiàn)在生產(chǎn)1t該種藥品的成本是3000元.設該種藥品生產(chǎn)成本的年平均下降

率為x,則下列所列方程正確的是()

A.5000x2(1—%)=3000B.5000x(1-%)2=3000

C.5000X(1-2%)=3000D.5000x(1-%2)=3000

5.已知反比例函數(shù)尸￡(4V0)的圖象經(jīng)過點4(7,%),8(2,卜2),C(3,

X

F3),則加P2,必的大小關系是()

A.%Vy3V71B.為<y2V7iC,71<y3<%D.

%vy2V%

6.如圖，在6義6的正方形網(wǎng)格中，有6個點，M,N,0,P,0,

/?（除/?外其余5個點均為格點），以0為圓心，的為半徑j

作圓，則在。0外的點是（）

A.M

B.N

C.P

D.R

7.若二次函數(shù)尸ax^+bv+c的圖象與x軸交于力和8兩點，頂點為C,且6?-4ac=4,

則N4C8的度數(shù)為（）

A.120°B.90°C,60°D,30°

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

8.已知反比例函數(shù)的圖象過點（2,3）,則該函數(shù)的解析式為.

9.有長為3,4,5,6的四根細木條，從中任取三根為邊組成三角形，則能構(gòu)

成直角三角形的概率為.

10.拋物線*>2-4x不經(jīng)過第象限

11.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，

各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？其

大意是：如圖，一座正方形城池，4為北門中點，從點/往正北方向走30步

到8處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到。處正好看

到8處的樹木，則正方形城池的邊長為步.

第2頁，共24頁

12.在平面直角坐標系中，點戶關于原點及點（0,-1）的對稱點分別為力，B,

則48的長為.

13.如圖，在△48C中，AB-.4R7：3,N劭C的平分線交

BC于點E,過點8作力￡的垂線段，垂足為D,則AE-.

ED=.

三、計算題（本大題共1小題，共8.0分）

14解方程:V-2尸仁0.

四、解答題（本大題共7小題，共66.0分）

15.已知關于一元二次方程x?+（2府1）/加（府1）=0,試說明不論實數(shù)加取何

值，方程總有實數(shù)根

16.求證：相似三角形對應高的比等于相似比.（請根據(jù)題意畫出圖形，寫出已

知，求證并證明）

第4頁，共24頁

17.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓。(單

位:千帕)隨氣體體積單位：立方米)的變化而變化，Q隨/的變化情

況如表所示.

P1.522.534???

I/644838.43224???

(1)寫出一個符合表格數(shù)據(jù)的0關于1/的函數(shù)解析式

(2)當氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕時，氣球?qū)⒈?，依?1)中的函數(shù)解

析式，基于安全考慮，氣球的體積至少為多少立方米？

18.如圖，△48。中，AB^AC,N劭R50°,P是8c邊上一點，

將△48Q繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)50°,點"旋轉(zhuǎn)后的對應點為P'.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形；

(2)連接欣'，若/劭々20°,求/%'C的度數(shù)；

19.盒中有若干枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無其他差別，現(xiàn)讓學生進行摸棋

試驗：每次摸出一枚棋，記錄顏色后放回搖勻.重復進行這樣的試驗得到以

下數(shù)據(jù)：

摸棋的次數(shù)n1002003005008001000

摸到黑棋的次數(shù)加245176124201250

摸到黑棋的頻率公(精確

n

0.2400.2550.2530.2480.2510.250

到0.001)

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是;(精確

到0.01)

(2)若盒中黑棋與白棋共有4枚，某同學一次摸出兩枚棋，請計算這兩枚

棋顏色不同的概率，并說明理由

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20.已知△48C,NAC卬9G,438信4,。是48的中點，戶是平面上的一點，且

(2)當△8PC是等腰三角形時，求利的長；

(3)將點8繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點8',連接力8',求48'的最大

值.

21.已知二次函數(shù)*W+b/](a>0,6V0)的圖象與x軸只有一個公共點力

(1)當時，求點>4的坐標；

(2)過點力的直線*A+A與二次函數(shù)的圖象相交于另一點8,當627時,

求點8的橫坐標勿的取值范圍

第8頁，共24頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：x(x_3)=0,

x=0或x-3=0,

所以XFO,X2=3.

利用因式分解法解方程.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右邊化為0,再把左

邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可

能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把

解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉(zhuǎn)化思想).

2.【答案】B

【解析】

解：A、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是360°是不可能事件，故本選項錯誤；

B、任意拋一枚圖釘，釘尖著地是隨機事件，故本選項正確；

C、通常加熱到100℃時，水沸騰是必然事件，故本選項錯誤；

D、太陽從東方升起是必然事件，故本選項錯誤；

故選：B.

根據(jù)隨機事件、必然事件以及不可能事件的定義即可作出判斷.

此題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事

件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定

條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能

發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

3.【答案】D

【解析】

解：?拋物線解析式為y=(x-1)2+2,

...二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(1,2).

故選：D.

因為y=(x-1)2+2是二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)頂點式可直接寫出頂點坐標.

根據(jù)拋物線的頂點式，可確定拋物線的開口方向，頂點坐標(對稱軸)，最大

(最小)值，增減性等.

4.【答案】B

【解析】

解：設這種藥品的年平均下降率為X,

5000(1-x)2=3600.

故選：B.

若這種藥品的年平均下降率為x,根據(jù)兩年前生產(chǎn)1噸某藥品的成本是5000元，

隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸藥品的成本是3600元可列方程.

本題考查增長率問題，發(fā)生了兩年變化，知道兩年前為5000,兩年后為3600,

設出下降率即可列出方程.

5.【答案】A

【解析】

解：Vy=-X,k<0,

.?.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，圖象在第二、四象限內(nèi)，

?.?反比例函數(shù)(kVO)的圖象經(jīng)過點A(-1,),B(2,y),C(3,y),

Xyi23

.二A點在第二象限，w>0,B、C在第四象限，

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V2<3,

，y2Vy3Vo,

.*.y2<y3<yi,

故選：A.

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，圖象在第二、

四象限內(nèi)，再比較即可.

本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關

鍵.

6.【答案】C

【解析】

解：:OQ=V<12+22=VZ5,OP=5/22+22=2x/2,0N=2,OR=\/l2+l^2=>/X25,0M=\/12+22=>/5,

.,.在。0外的點是P,

故選：C.

根據(jù)點與圓的位置關系即可求解.

本題考查了點與圓的位置關系：設。。的半徑為r,點P到圓心的距離0P=d,則

有：點P在圓外od>r；點P在圓上od二r;點P在圓內(nèi)odVr.

7.【答案】B

【解析】

解：令y-0則ax2+bx+c=0,

—b+2_-6-2

??Xi-X2-H，

b-4ac=4

，AC=\b_（±2升2+（」產(chǎn)*.

\2?'2a"'a'13

由拋物線的對稱性可知BC=嗎，

（I

.-.AC2+BC2=AB2,

ZACB=90°.

故選：B.

先求得點A、B、C的坐標，然后可求得AB、AC、BC的長，最后，依據(jù)勾股定理

的逆定理可證明ABAC為直角三角形.

本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，求得點A、B、C的坐標是解題的關鍵.

8.【答案】尸2

X

【解析】

解：設反比例函數(shù)解析式為y=*,

X

?.?反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（2,3）,

k=2X3=6,

反比例函數(shù)解析式為y=°,

X

故答案為y=".

X

首先設反比例函數(shù)解析式為y=-,再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點可得

X

k=2X3=6,進而可得反比例函數(shù)解析式.

此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)

過的點，必能滿足解析式.

9.【答案】:

4

【解析】

解：4條線段的全部組合有：3,4,5和3,4,6和3,5,6和4,5,6.能構(gòu)

成直角三角形的是3,4,5一組，

第12頁，共24頁

.,.P(構(gòu)成三角三角形)二:,

故答案為：

列舉出所有情況，看直角三角形的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.

本題主要考查概率公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形三邊間的關系、

勾股定理逆定理及概率公式的運用.

10.【答案】三

【解析】

解：拋物線y=x?-4x=(x-2)2-4,

可知：拋物線y=x2-4x不經(jīng)過第三象限.

故答案為：三.

將拋物線的解析式變形為頂點式，即可得出結(jié)論.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式解答是解題的關鍵.

11.【答案】300

【解析】

解：設正方形城池的邊長為x步，則AE=CE=：x,

VAE/7CD,

，NBEA二NEDC,

，RtABEA^RtAEDC,

.AB_AE

,?EC~CDf?「一而，

??x—300,

即正方形城池的邊長為300步.

故答案為300.

設正方形城池的邊長為x步，則AE=CE=：x,證明RtZ^BEAsRt/XEDC,利用相似

30]

比得到二；二三，然后利用比例性質(zhì)求出X即可.

21750

本題考查了相似三角形的應用：構(gòu)建三角形相似，利用相似比計算對應的線段

長.

12.【答案】2

【解析】

解：?點P關于原點及點(0,-1)的對稱點分別為A,B,

1X2=2,

AAB的長為2.

故答案為：2.

根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征，以及關于點的對稱點的坐標特征，可得AB

的長相差2個單位長度，依此即可求解.

考查了關于原點對稱的點的坐標，關于點的對稱點，兩個點關于原點對稱時，

它們的坐標符號相反，即點P(x,y)關于原點。的對稱點是P'(-x,-y).

13.【答案】3：2

【解析】

解：作CF_LAD于點F,如右圖所示,

則ZAFC=ZADB,

VAD平分NBAC,

，ZBAD=ZCAF,

.,.△ABD^AACF,

.ABAD_BD

**正=#—港’

VAB：AC=7：3,BD：CF=7:3,

...AD：AF=7：3,

第14頁，共24頁

VZCFE=ZBDE=90°,ZCEF=ZBED,

AACEF^ABED,

?FECF

**DE麗，

VCF:BD=3:7,

?FE3

^~DEI9

Ar?!FFQ

???*=.備/AF+FE+DE=AD,

解得％=3

干“DE2'

故答案為：3:2.

根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)可以求得AE：

ED的比值.

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用三角形相似的知識解答.

14.【答案】解：解法一：Va=1,廿-2,c=~1

b2-4ac=4-4X1X(-1)=8>0

.%_-b±V—2-4ac_2±V§_]+^2

■2a~2X1——

?*.=1+y/2,x2=1—V2:

解法二：(尸1)2=2

?'?x—1=+V2

=1+V2,x2=1—V2.

【解析】

先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解

皆可.

命題意圖：考查學生解一元二次方程的能力，且方法多樣，可靈活選擇.本題

考查了解一元二次方程的方法，公式法適用于任何一元二次方程.方程

2

ax?+bx+c=O的解為土(b-4ac^0).

'2Ia,*

15.【答案】解：K1,廿2/1,。二勿(府1),

△=。2-4衿(2/771-1)2-4X1X/77(研1),

=4/77+4/77^1-4/W-4/77,

=1>0,

不論實數(shù)加取何值，方程總有實數(shù)根.

【解析】

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=>(),由此即可得出：不論實數(shù)

m取何值，方程總有實數(shù)根.

本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解

題的關鍵.

16.【答案】已知：△480s△彳B'C,相似比為k,4?是△48C的高，A'D'

是△/'甘C的高,

求證：加

證明:

,：/\ABC^/\A'B'C,

六N成N8‘，

?:AD是/\ABC的高,A'D'是△/'夕C的高,

：.ZADB^AA'D'B'=90°,

第16頁，共24頁

:,XABD^XBfDf,

ADAB

?--------=---------k

A/D7A，,

【解析】

先根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知，求證，再證明即可.

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟練地運用定理進行推理是解此題的

關鍵.

17.【答案】吟

【解析】

解：(1)由表格中數(shù)據(jù)可得PV=96,

則P工廠V；

故答案為：p二:；

V

(2)由P=144時，V二:，

...PW144時，V2；,

當氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積至

少為:立方米.

(D設p與v的函數(shù)的解析式為p=3利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

\

9

(2)由p=144時，V=；,所以可知當氣球內(nèi)的氣壓>144千帕時，氣球?qū)⒈ǎ?/p>

為了安全起見，氣球的體積應不小于二立方米.

<5

此題主要考查了反比例函數(shù)的應用.解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系

式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.會

用不等式解決實際問題.

18.【答案】解：(1)旋轉(zhuǎn)后的三角形力在’如圖所示:

(2)由旋轉(zhuǎn)可得，N2W=N84R50°,AP^AP,,△48儂,

:.NAPP':NAP'片65°,/AP,O4APB,

?/N劭350°,AB^AC,

：.Z5=65°,

又：/劭丘20°,

:.NAP/95";NAP'C,

：.APP'OAAP'C-ZAP'^95°-65°=30°.

【解析】

(1)將4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°,點P旋轉(zhuǎn)后的對應點為P',據(jù)此可得

旋轉(zhuǎn)后的三角形；

(2)依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可得到NPAP'二NBAC=50°,AP=AP',AABP^AACP*,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到NB的度數(shù)以及NAP'P=65°、NAPB=95°二

ZAP'C,最后依據(jù)NPP'C二NAP'C-NAP'P進行計算即可.

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的運用，利用圖形旋轉(zhuǎn)前后

對應線段以及對應角相等得出NAP'C的度數(shù)是解題關鍵.

第18頁，共24頁

19.【答案】0.25

【解析】

解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25,

故答案為:0.25;

(2)由(1)可知，黑棋的個數(shù)為4X0.25=1,則白棋子的個數(shù)為3,

畫樹狀圖如下：

黑白白白

AA/NA

白白白黑白白黑白白黑白白

由表可知，所有等可能結(jié)果共有12種情況，

其中這兩枚棋顏色不同的有6種結(jié)果，

所以這兩枚棋顏色不同的概率為

(1)大量重復試驗下摸球的頻率可以估計摸球的概率，據(jù)此求解；

(2)畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，再找到符合條件的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式

求解可得.

本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中某個

事件發(fā)生的頻率能估計概率.

20.【答案】解：(1)如圖1中，連接CD.

在生△48C中，N4密90。,A3834,

，A%AC?+Bf2=4&

?:AD=^DB,

:.C吟A*2aCDLAB,

在Rt/\CDP中，PC^ylPD2+CD2=3.

(2)如圖2中,?:DP<,

.?.點戶在以點。為圓心的。。上.

CD^DB,

:.P、。都在線段8c的垂直平分線上，設直線。戶交8c于E

：.NPEO90°,BE=CF2,

'：N3/90°,

：.D^-BC=C^2,

在Rt/\PCE中,PC=y/EC2+PE2,

當戶在線段勿上時，PFDIDkl,^Vl2+22=V5,

當戶在線段口的延長線上時，PaEND匕3,PC=^J32+22=V13.

②當POBC時，：PC<CD+PD=2V2+1<BC,

：.PC^BC,此種情形不存在；

③當PABC時，同理這種情形不存在；

第20頁，共24頁

如圖3中

A

(3)如圖4中，連接88'.

圖4

由旋轉(zhuǎn)可知：PB^PB',4BPB'=90°,

?.4PBB'=45°,

\BB'=42PB,

：AOBC,4ACA90°,

?.48345°,

/ABONPBB',

/ABB'=ZCBP,

.?嗎*2

BC4

.BA_BB'

.BCPB

.BABC

*BB'—pB'

’.△ABB's〉CBP,

???”伉

PC^C分候2立+1,

.?.點戶落在C。的延長線與。，的交點處，外的值最大,

:.AB'W或(2V2+1)=4+72.

：.AB'的最大值為4+夜.

【解析】

(1)如圖1中，連接CD.解直角