高中數(shù)學(xué)-橢圓經(jīng)典練習(xí)題-配答案

高中數(shù)學(xué)-橢圓經(jīng)典練習(xí)題-配答案橢圓練習(xí)題一、選擇題：1.已知橢圓x^2/25+y^2/16=1上的一點(diǎn)P，到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)距離為7。（選D）2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在橫軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，則橢圓方程是x^2/16+y^2/4=1。（選C）3.與橢圓9x+4y=36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4√5的橢圓方程是x^2/25+y^2/20=1。（選B）4.橢圓5x-ky=5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，那么k等于1。（選B）5.若橢圓短軸上的兩頂點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線互相垂直，則離心率等于1/2。（選B）6.橢圓兩焦點(diǎn)為F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，P在橢圓上，若△PF1F2的面積的最大值為12，則橢圓方程為x^2/16+y^2/25=1。（選B）7.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則該橢圓方程是x^2/169+y^2/121=1。（選C）8.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和中心，將兩準(zhǔn)線間的距離四等分，則它的焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)連線的夾角為90度。（選C）9.橢圓x^2/25+y^2/9=1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離是2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|為4。（選A）10.已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓x^2/9+y^2/16=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是12。（選D）二、填空題：11.方程x^2/m^2+y^2=1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是|m|>1。（填-1）12.方程y^2/x^2+1=2y/x表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓時(shí)，橢圓的離心率為1/2。（填1/2）2212.過點(diǎn)(2,-3)且與橢圓$9x+4y=36$有共同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$x^2/9+y^2/4=1$。151013.設(shè)$M(-5,0)$，$N(5,0)$，$\triangleMNP$的周長(zhǎng)是36，則$\triangleMNP$的頂點(diǎn)$P$的軌跡方程為$(x^2/25+y^2/16)=1$。14.如圖：從橢圓上一點(diǎn)$M$向$x$軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)$F_1$，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)$A$及短軸的端點(diǎn)$B$的連線$AB\parallelOM$，$MF_1=2MB$，則該橢圓的離心率等于$1/2$。15.已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率$e=\sqrt{3}/2$，短軸長(zhǎng)為85，求橢圓的方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，由離心率公式$e=\sqrt{1-b^2/a^2}$，可得$a/b=2\sqrt{3}$，又$b=85/2$，代入得$a=85\sqrt{3}$，所以橢圓的方程為$x^2/2295+y^2/7225=1$。16.已知點(diǎn)$A(3,4)$和圓$O_1:x^2+y^2-2x-4y+4=0$，點(diǎn)$M$在圓$O_1$上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)$P$在半徑$OM$上，且$PM=PA$，求動(dòng)點(diǎn)$P$的軌跡方程。設(shè)$P(x,y)$，則$OM=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$，$PA=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}$，由題意得$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}$，解得$y=1-x$，代入圓的方程得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，故$P$的軌跡方程為$y=2$。17.已知$A$、$B$為橢圓$4x^2+y^2=1$上兩點(diǎn)，$F_a$，$AB$為橢圓的右焦點(diǎn)，若$|AF_a|+|BF_a|=2\sqrt{a^2+9/5}$中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為$2\sqrt{5}$，求該橢圓方程。設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$4x^2+y^2=b^2$，則左準(zhǔn)線方程為$x=-b/2$，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(a\sqrt{5},0)$，根據(jù)右焦點(diǎn)的定義可得$2a=\sqrt{5}b$，又由中點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為$2\sqrt{5}$可得$b=2\sqrt{5}$，代入解得$a=1$，故橢圓的方程為$4x^2+5y^2=20$。18.根據(jù)條件，分別求出橢圓的方程：（1）中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為$1/2$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8。設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，由離心率公式$e=\sqrt{1-b^2/a^2}$，可得$a/b=4$，又長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，故$a=4$，$b=1$，所以橢圓的方程為$x^2/16+y^2=1$。（2）中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在$x$軸上，短軸的一個(gè)頂點(diǎn)$B$與兩個(gè)焦點(diǎn)$F_1$，$F_2$組成的三角形的周長(zhǎng)為$4+\sqrt{23}$，且$\angleF_1BF_2=\pi/3$。設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，由$\angleF_1BF_2=\pi/3$可得$b^2=a^2-3F_1B^2$，又由三角形周長(zhǎng)可得$a+b+F_1F_2=4+\sqrt{23}$和$2a=F_1F_2$，解得$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$F_1F_2=2\sqrt{2}$，故橢圓的方程為$x^2+y^2/2=1$。19.已知$F_1$，$F_2$為橢圓$y^2/100-x^2/64=1$右焦點(diǎn)，$P$是橢圓上一點(diǎn)。（1）求$|PF_1|\cdot|PF_2|$的最大值；（2）若$\angleF_1PF_2=60^\circ$且$\triangleF_1PF_2$的面積為$64\sqrt{3}$，求$b$的值。（1）由橢圓的性質(zhì)可知$|PF_1|\cdot|PF_2|$為定值$c^2-a^2$，其中$c$為焦距，$a$為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，代入可得最大值為$3600$。（2）由$\angleF_1PF_2=60^\circ$可知$\triangleF_1PF_2$為正三角形，設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為$2a$，短軸長(zhǎng)為$2b$，則$a^2-b^2=100$，$c^2=a^2+b^2$，又由面積公式可得$b^2\sqrt{3}=64\sqrt{3}/4$，解得$b=2$。1.根據(jù)題意，整理出以下公式：|PF1|·|PF2|=233|PF1|2+|PF2|2-4c|PF1|=4a2|PF1|+|PF2|-4c=2|PF1|·|PF2|·cos60°c=6,b=82.橢圓的兩焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0)，過點(diǎn)(0,-2)，根據(jù)橢圓的定義式，可得橢圓方程為x2/4+y2/16=1。3.將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2/4+(y+3)2/16=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5)和(0,-1)。根據(jù)題意，PF1+PF2=a，因此點(diǎn)P的軌跡為橢圓或線段。4.根據(jù)題意，PF1+PF2=2a，因此點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)2a。根據(jù)橢圓的定義式可得2a=2√(a2+b2)，整理得b2=a2-9。因此橢圓的方程為(x2/9)+(y2/(a2-9))=1。5.相同的離心率意味著a和b的比值相同，即a/b=k。根據(jù)橢圓的定義式可得k2a2-b2=k2a2/(1-k2)，整理得b2=a2(1-k2)。因此兩個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸比值相同，即具有相同的長(zhǎng)、短軸。6.橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，即2b2/a=4a，解得b2=2a2。根據(jù)橢圓的定義式可得離心率為e=√(1-b2/a2)=1/2。7.根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y)，則P到右準(zhǔn)線的距離為a-x，到左焦點(diǎn)的距離為√((x+2)2+y2-1)，根據(jù)題意得到方程(a-x)/√((x+2)2+y2-1)=1/4，整理得16(x+2)2+25y2=400，即16x2+25y2=264。P到左焦點(diǎn)的距離為√((x+2)2+y2-1)-√(x2+y2-1)，可用拉格朗日乘數(shù)法求得最大值為77/8。8.橢圓的方程為x2/16+y2/9=1，直線x+2y-2=0的法向量為(1,2)，對(duì)稱直線的方程為x+2y+2=0。設(shè)點(diǎn)P到直線x+2y-2=0的距離為d，則點(diǎn)P到對(duì)稱直線的距離也為d，因此點(diǎn)P到直線x+2y+2=0的距離為|d-2|。點(diǎn)P到橢圓的距離為√(x2/16+y2/9-1)，根據(jù)題意可得d-2=e√(x2/16+y2/9-1)，其中e為橢圓的離心率，代入橢圓方程可得(x2/16+y2/9)(1-e2)=1，解得e=4/5。將d-2=4/5√(x2/16+y2/9-1)代入(x+2y-2)2/52=(d-2)2/16可得(x+2y-2)2/25=(4/5√(x2/16+y2/9-1))2/16，整理得16x2+9y2=144，即4x2+y2=36。將4x2+y2=36代入d-2=e√(x2/16+y2/9-1)中，可得d的最大值為11。9.根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為(x2/a2)+(y2/b2)=1，根據(jù)橢圓的定義式可得焦距為c=√(a2-b2)，準(zhǔn)線間距為2b，因此2b=4c，解得b2=4a2/3。將b2=4a2/3代入橢圓方程可得3x2+4y2=4a2，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x/2a)2+(y/√(4a2/3))2=1。1.由題意，需要求與直線x+2y-2=0平行且切點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者求與直線x+2y+c=0平行且切點(diǎn)最近的點(diǎn)，其中c為常數(shù)。將直線x+2y+c=0化簡(jiǎn)得8y+4cy+c-16=0，解得c=±42。所以與直線x+2y-2=0平行且切點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)為(-42,-2)，切點(diǎn)距離為10。2.由已知，橢圓的右焦點(diǎn)為F，坐標(biāo)為(1,0)，離心率為e=√(1-9/16)=√(7/16)，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2a=2e=√(7/2)。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2/7+y2/16=1。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則根據(jù)橢圓的定義，有PF/PM=e，即PF2=(x-1)2+y2=7/16[(x+1)2+y2]?；?jiǎn)得8x+15y=1。設(shè)PN垂直于橢圓的準(zhǔn)線于N，PN的長(zhǎng)度即為MP+2MF的最小值。由橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓右準(zhǔn)線方程為x=4，所以N的坐標(biāo)為(4,y)。設(shè)PN的長(zhǎng)度為d，則有d=√[(x-4)2+y2]，代入8x+15y=1得d=√(265)/17。所以|MP|+2|MF|=d-2a=√(265)/17-√(7/2)。3.過點(diǎn)M(-2,0)的直線m的斜率為k，代入橢圓方程得4x2+9k2x2=36，化簡(jiǎn)得x2=4/(4+9k2)。設(shè)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)為m與橢圓的交點(diǎn)，則有x1+x2=-2，y1+y2=0，代入橢圓方程得4x1x2+9y1y2=36?；?jiǎn)得x1x2=-9k2/4。又因?yàn)镻1和P2在m上，所以有k(x1+2)=y1，k(x2+2)=y2。代入x1x2=-9k2/4得到4k2(x1+2)(x2+2)=9k2，化簡(jiǎn)得x1x2+2x1+2x2=9/4。將x1+x2=-2代入得x1x2-4=9/4，即x1x2=-25/4。解得x1=5/2，x2=-7/2。代入橢圓方程得y1=±3/2，y2=?3/2。所以m與橢圓的交點(diǎn)為(5/2,3/2)和(-7/2,-3/2)。過點(diǎn)(-3,2)且與橢圓4x+9y=36有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為(x+3)2/25+y2/4=1。4.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x/13)2+(y/11)2=1，即a=13，b=11。根據(jù)橢圓的定義，有x2/a2+y2/b2=1。將其化簡(jiǎn)為11x2+13y2=11a2=1859。由于x2和y2都非負(fù)，所以11x2+13y2≥0，所以x2/a2+y2/b2≥1，即x2/169+y2/121≥1。所以|x|≥13，|y|≥11，即x+y的取值范圍為[-24,24]，所以x+y的最小值為-24。已知橢圓E的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率等于4/5。已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率等于2/3。如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，那么這個(gè)橢圓的離心率為2/3。若橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線y=2bx的焦點(diǎn)為F，若F1F=ab/3F2，則此橢圓的離心率為1/2。已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足MF1·MF2=b^2的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(0，1)。過橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為2/3。在△ABC中，AB=BC，cosB=-1/2。若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e=3/4。（余弦定理）設(shè)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D，若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為√2-1。（只能求出e的平方）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，a^2=2b^2。則橢圓的離心率為√3/2。本文存在格式錯(cuò)誤和明顯有問題的段落，已經(jīng)進(jìn)行了刪除和改寫。以下是修改后的文章：假設(shè)有一個(gè)圓，以a為半徑。過點(diǎn)P作該圓的兩條切線，記為線段AB和線段CD。若線段AB和線段CD互相垂直，則該圓的離心率e等于多少？根據(jù)公式e=√(1-b2/a2)，其中b為圓的另一個(gè)焦點(diǎn)到圓心的距離，需要利用45°-4