福建省寧德市壽山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

福建省寧德市壽山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，得到5組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）（x5，y5）．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知=20，由最小二乘法求得回歸直線方程為=0.6x+48，則=（）A．60 B．120 C．150 D．300參考答案：D【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)可知=20，回歸直線方程為=0.6x+48，帶入可得，即可求．【解答】解：由題意，=20，回歸直線方程為=0.6x+48，∴=0.6×20+48=60．則=60×5=300．故選：D．2.若關(guān)于x的不等式xex﹣2ax+a＜0的非空解集中無(wú)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．[，e] D．[，e]參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】設(shè)g（x）=xex，f（x）=2ax﹣a，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷直線恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相切于（m，n），求得切線的斜率和切點(diǎn)在直線上和曲線上，解方程可得a，再由題意可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，求得a，通過(guò)圖象觀察，即可得到a的范圍．【解答】解：設(shè)g（x）=xex，f（x）=2ax﹣a，由題意可得g（x）=xex在直線f（x）=2ax﹣a下方，g′（x）=（x+1）ex，f（x）=2ax﹣a恒過(guò)定點(diǎn)（，0），設(shè)直線與曲線相切于（m，n），可得2a=（m+1）em，mem=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1（舍去）或﹣，則切線的斜率為2a=（﹣+1）e，解得a=，又由題設(shè)原不等式無(wú)整數(shù)解，由圖象可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，g（﹣1）=﹣e﹣1，f（﹣1）=﹣3a，由f（﹣1）=g（﹣1），可得a=，由直線繞著點(diǎn)（，0）旋轉(zhuǎn)，可得≤a＜，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式解法問(wèn)題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查運(yùn)算能力和觀察能力，屬于中檔題．3.已知方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則以下有關(guān)兩根關(guān)系的結(jié)論正確的是A、B、C、D、參考答案：A4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.（0，2） B.（2，0） C.（0，1） D.（1，0）參考答案：D5.函數(shù)的部分圖象可能是（）A．

B．

C.

D．參考答案：C6.已知雙曲線C：=1的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線C上，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．參考答案： D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由雙曲線C：=1的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線C上，知，由此能求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：∵雙曲線C：=1的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線C上，∴，解得：a2=4，b2=1，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．7.已知集合，B＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B8.若集合，，那么（

）．

．

．

．參考答案：D略9.設(shè)x∈R，則“l(fā)＜x＜2”是“l(fā)＜x＜3”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由l＜x＜2，可得l＜x＜3，反之不成立，則答案可求．【解答】解：若l＜x＜2，則l＜x＜3，反之，若l＜x＜3，則不一定有l(wèi)＜x＜2，如x=2.5．∴x∈R，則“l(fā)＜x＜2”是“l(fā)＜x＜3”的充分而不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題．10.在△中，“”是“”的（

）

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：【答案解析】C

解析：（1）若A<B則a<b,由正弦定理得：2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB因?yàn)?所以sinA,sinB都是正數(shù)，所以;(2)因?yàn)?所以若則sinA<sinB，由正弦定理得：，即a<b從而得出A<B.綜上得“”是“”的充分必要條件，所以選C.【思路點(diǎn)撥】利用正弦定理進(jìn)行邊角互化.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有一個(gè)底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點(diǎn)O1，O2分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為．參考答案：略12.已知的最大值為

參考答案：因?yàn)?3.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是的中點(diǎn),若都是上的點(diǎn),且，是上的點(diǎn),則四面體的體積是

參考答案：14.設(shè)為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以。要使函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則有，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是。15.（2013?黃埔區(qū)一模）已知命題“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，則集合”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．參考答案：m＞1或m＜﹣7略16.已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，則3+2=．參考答案：（14，7）【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示，求出m的值，再計(jì)算3+2即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（m，2），且∥，∴1?m﹣2×2=0，解得m=4，∴=（4，2）；∴3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）．故答案為：（14，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行和線性運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．17.若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且，則=．參考答案：2n2+2n【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和．【分析】利用已知條件求出通項(xiàng)公式，然后化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式的通項(xiàng)公式求解數(shù)列的和即可．【解答】解：數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且，a1=4．可得，兩式相減可得：，即an=4n2，=4n，則=4（1+2+3+…+n）=2n2+2n．當(dāng)n=1時(shí)，命題也成立．故答案為：2n2+2n．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分l3分)已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)己知點(diǎn)P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足APQ=BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：(1)設(shè)橢圓的方程為則.由,得，∴橢圓C的方程為.

…………………5分(2)當(dāng)時(shí)，、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為,則的斜率為,的直線方程為,由整理得,………9分,同理的直線方程為,可得∴,

………………12分,所以的斜率為定值.

……………13分19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓．如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）試問(wèn)點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：22．（I）解：設(shè)直線，由題意，由方程組得，由題意，所以設(shè)，由韋達(dá)定理得所以由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此此時(shí)所以O(shè)E所在直線方程為又由題設(shè)知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)

由得因此

當(dāng)時(shí)，取最小值2。

（II）（i）由（I）知OD所在直線的方程為將其代入橢圓C的方程，并由解得又，由距離公式及得由因此，直線的方程為所以，直線（ii）由（i）得若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則代入即，解得（舍去）或所以k=1，此時(shí)關(guān)于x軸對(duì)稱。又由（I）得所以A（0，1）。由于的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)的外接圓的圓心為（d，0），因此故的外接圓的半徑為，所以的外接圓方程為20.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx．（1）過(guò)原點(diǎn)O作函數(shù)f（x）圖象的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）對(duì)?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）通過(guò)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可寫(xiě)出切線方程，代入原點(diǎn)計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過(guò)轉(zhuǎn)化可知a（x2﹣x）≥lnx對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，分別設(shè)y1=a（x2﹣x），y2=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再記g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，通過(guò)舉反例可知當(dāng)0＜a＜1時(shí)不滿足題意．進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用當(dāng)x＞1時(shí)lnx＜x﹣1恒成立放縮即得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)切點(diǎn)為M（x0，f（x0）），直線的切線方程為y﹣f（x0）=k（x﹣x0），∵f′（x）=a﹣，∴k=f′（x0）=a﹣，即直線的切線方程為y﹣ax0+lnx0=（a﹣）（x﹣x0），又切線過(guò)原點(diǎn)O，所以﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，由lnx0=1，解得x0=e，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e．（2）∵不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）恒成立，∴等價(jià)于a（x2﹣x）≥lnx對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立．設(shè)y1=a（x2﹣x），y2=lnx，由于x∈[1，+∞），且當(dāng)a≤0時(shí)y1≤y2，故a＞0．記g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，則當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（3）=6a﹣ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．當(dāng)x=1時(shí)，g（x）≥0恒成立；當(dāng)x＞1時(shí)，則a≥恒成立，等價(jià)于問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求h（x）=當(dāng)x＞1時(shí)的最大值．又當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），即h（x）=＜1（x＞1），綜上所述：a≥1．21.（本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若，求平面和平面所成角（銳角）的余弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）連結(jié)交于，因?yàn)闉樗睦庵?，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以為的中位線，從而

……4分又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?/p>

…………5分

（Ⅱ）因?yàn)榈酌?，面，面，所以又，所以兩兩垂?……………6分如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，.從而，.因?yàn)?，所以，解?

……8分所以，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即令，則.

…………9分又，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即令，則.

………10分平面和平面所成角（銳角）的余弦值.……………12分22.如圖，已知橢