建筑工程之結(jié)構(gòu)力學(xué)講義七

7.線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理（ReciprocalTheoryinLinearStructures)一、線性桿系結(jié)構(gòu)的變形能

根據(jù)能量守恒，對(duì)線彈性、小變形結(jié)構(gòu)，外力所做的功恒等于儲(chǔ)存于體內(nèi)的應(yīng)變能。

由第一節(jié)所復(fù)習(xí)的材料力學(xué)知識(shí)可知

或者Vε的性質(zhì)：(1)總為正;

(3)內(nèi)力或位移的二次式;(4)疊加原理不適用;(2)與路徑無(wú)關(guān),是狀態(tài)的函數(shù)。二、線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理:方法一第I狀態(tài)先加廣義力P1，后加廣義力P2。2由在線性變形體系中，I狀態(tài)的外力在II狀態(tài)位移上所做虛功，恒等于II狀態(tài)外力在I狀態(tài)位移上所做虛功。功的互等定理第Ⅱ狀態(tài)先加廣義力P2，后加廣義力P1。方法二由虛功原理2第II狀態(tài)第I狀態(tài)2.位移互等定理:由功的互等定理，等式兩邊同除廣義力乘積P1P2，則可得

上式表明，第二個(gè)單位廣義力引起，第一個(gè)單位廣義力作用處沿第一廣義力方向的位移，恒等于第一個(gè)單位廣義力引起，第二個(gè)單位廣義力作用處沿第二廣義力方向的位移。若記則位移互等定理可見1.單位廣義力是量綱為一的量；2.互等不僅是指數(shù)值相等，且量綱也相同。由第II狀態(tài)ACB如圖示長(zhǎng)l，EI為常數(shù)的簡(jiǎn)支梁第I狀態(tài)ACB跨中數(shù)值、量綱都相等互等定理中的數(shù)值和量綱問題是否已得到解決?是否國(guó)家有關(guān)部門最近規(guī)定，對(duì)新近出版的教材，要求在對(duì)公式進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，必須帶物理量的單位。若上例簡(jiǎn)支梁受的是廣義力，而不是單位廣義力，則P1的量綱為MLT-2，P2的量綱為ML2T-2根據(jù)功的互等定理，有：兩邊同除以P1·P2得：或稱為單位廣義力。更確切，應(yīng)稱為廣義力系數(shù)，它有廣義力的三要素（數(shù)值為一），但無(wú)單位和量綱。因此，與其說施加單位廣義力，倒不如說施加廣義力系數(shù)。這樣數(shù)值、單位（量綱）都相同。3.反力互等定理:由功的互等定理有：支座士1俱發(fā)枕生單上位廣宵義位霞移時(shí)譽(yù)，引挪起的食2睬支挨座中隔的反趁力，蝴恒等籍于支幟座那2淹發(fā)生凳單位遷廣義丸位移勸時(shí)，具引起中的撿1約支座員中的夏反力蝦。反力梳互等薄定理請(qǐng)自憶行驗(yàn)慢證：柳數(shù)值根、量律綱都嶄相同處。4.給反幸力位轎移互墨等定捎理:問題氣：如何漸建立繁方程畜，如候何敘肢述定斃理？單位菌廣義早力引則起的猴結(jié)構(gòu)簽中某泰支座宜的反瀉力，嶼等于帳該支快座發(fā)齊生單畫位廣旁義位纏移時(shí)腦引起清的單訂位廣趁義力喘作用論點(diǎn)沿囑其方圾向的黎位移晨，但功符號(hào)行相反畝。問題齒：以男簡(jiǎn)支君梁梁唇中受打豎向單絞位集專中力棗為例辭，說