第二章 一元二次方程　講義　 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第01講：一元二次方程考點(diǎn)一一元二次方程的定義與認(rèn)識(shí)例1將方程9x2＝4（3x﹣1）化成一般形式后的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為、、．練1將方程（x+2）（1﹣3x）＝2x化成一元二次方程的一般形式．例2當(dāng)m＝時(shí)，方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程．練2方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，則m應(yīng)滿足的條件為．考點(diǎn)二一元二次方程的解例1若x＝﹣1是關(guān)于x的方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的根，則a+b+c＝．練1關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣7＝0的一個(gè)根是﹣2，則m的值可以是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1例2已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a2﹣4a﹣1的值為．練2若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，則代數(shù)式201﹣2a﹣b的值是．例3設(shè)m是方程x2﹣3x+1＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則＝．練3已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一個(gè)根，則a3﹣2017a2﹣＝．練4已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代數(shù)式（﹣x﹣2）÷的值是（）A．﹣1B．+1C．﹣1或﹣﹣1 D．﹣1或+1考點(diǎn)三解一元二次方程例1一元二次方程x2﹣9＝0的根是（）A．3 B．±3 C．9 D．±9練19（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接開平方法）例2已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．則x2+y2的值為．練2若方程（x2+y2﹣1）2＝16，則x2+y2＝（）A．5或﹣3 B．5 C．±4 D．4例3已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．練3已知關(guān)于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m、h，k均為常數(shù)且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，則關(guān)于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是（）A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝5 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝2例4把方程x2+8x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，則m，n的值分別是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19練4方程的實(shí)數(shù)解為（）A． B． C． D．例5解方程：x2+（）x+＝0（因式分解法）練5三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣8x+12＝0的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是．例6用公式法解方程：2x2+4x＝3．練62x2﹣4x﹣1＝0例7解方程x4﹣x2﹣6＝0練7（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．考點(diǎn)四一元二次方程實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)的判定例1已知一元二次方程ax2﹣b＝0（a≠0），若方程有解，則（）A．b是a的整數(shù)倍 B．a(chǎn)，b同號(hào) C．b≠0 D．a(chǎn)，b異號(hào)或b＝0練1若方程（x﹣4）2＝a有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)＞0 D．無法確定練2使用配方法判斷一元二次方程3x2+6x-27＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定例2使用判別式直接判別下列各式實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)x2+5x＝0（2）x2﹣2x+1＝0（3）x2﹣3x+5＝0練1如果關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k考點(diǎn)五韋達(dá)定理例1已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則＝（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣練1設(shè)x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的兩個(gè)根，則+的值為（）A． B．﹣ C．3 D．4練2已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2﹣mn+3m+n的值為．考點(diǎn)六一元二次方程的綜合與實(shí)際應(yīng)用例1已知m是方程x2+x﹣1＝0的根，則式子m3+2m2+2017的值為．練1設(shè)x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x13+2021x2﹣2020＝．例2設(shè)a，b是整數(shù)，方程x2+ax+b＝0的一根是，則a+b的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2練2若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根是1，且a，b滿足b＝++3，求c．例3若關(guān)于的一元二次方程（ab＞0）的兩根分別是與，則式子的值是．練3解一元二次方程2x2﹣7x+6＝0，得；解一元二次方程6x2﹣7x+2＝0，得．觀察這兩個(gè)方程之間及根之間的相互關(guān)系，解答以下的問題：已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的兩根分別是x1＝m，x2＝n；則方程cx2+bx+a＝0的兩根分別為（）A．﹣m，﹣n B．mn，m+n C． D．例4設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求的最小值，并求出此時(shí)a和b的值。練4已知a為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值為（）A．0 B．3 C． D．9例5一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的較大實(shí)數(shù)根在下列哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0練5△ABC的一邊為5，另外兩邊的長(zhǎng)恰好是方程2x2﹣12x+m＝0的兩個(gè)根，則m的取值范圍．例6已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根．（Ⅰ）求m的取值范圍．（Ⅱ）若m是正整數(shù)，方程的根是整數(shù)，求m的值．練6關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值例7一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，若b＜0，則這個(gè)方程根的情況是（）有兩個(gè)正根 B．有一正根一負(fù)根且正根的絕對(duì)值大 有兩個(gè)負(fù)根 D．有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大練7一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a＞0，b＜0，c＜0，則這個(gè)方程根的情況是（）A．有兩個(gè)正根 B．有兩個(gè)負(fù)根 C．有一正根一負(fù)根且正根絕對(duì)值大 D．有一正根一負(fù)根且負(fù)根絕對(duì)值大考點(diǎn)七實(shí)際應(yīng)用例1一個(gè)容器盛滿純酒精63升，第一次倒出若干升后，用水加滿，第二次又倒出同樣多的升數(shù)，再用水加滿，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純酒精是原來的，問第一次倒出酒精多少升？練1某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元．已知兩次降價(jià)的百分比相同，求每次降價(jià)的百分率是多少．例2因粵港澳大灣區(qū)和中國特色社會(huì)主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2019年春節(jié)長(zhǎng)假期間，共接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計(jì)在2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間，將接待游客達(dá)28.8萬人次．（1）求東部華僑城景區(qū)2019至2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間接待游客人次的平均增長(zhǎng)率．（2）東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2021年春節(jié)期間，店家決定進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？練2國內(nèi)豬肉價(jià)格不斷上漲，已知今年10月的豬肉價(jià)格比今年年初上漲了80%，李奶奶10月在某超市購買1千克豬肉花了72元錢．（1）今年年初豬肉的價(jià)格為每千克多少元？（2）某超市將進(jìn)貨價(jià)為每千克55元的豬肉按10月價(jià)格出售，平均一天能銷售出100千克，隨著國家對(duì)豬肉價(jià)格的調(diào)控，超市發(fā)現(xiàn)豬肉的售價(jià)每千克下降1元，其日銷售量就增加10千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷售豬肉每天有1800元的利潤，并且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，豬肉的售價(jià)應(yīng)該下降多少元？例3如圖，在△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？（2）在（1）中△PBQ的面積能否等于7？請(qǐng)說明理由．練3如圖，長(zhǎng)方形ABCD（長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，每個(gè)角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，問：（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？（3）當(dāng)t＝以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（直接寫出答案）例4如圖，一塊長(zhǎng)5米寬4米的地毯，為了美觀設(shè)計(jì)了兩橫、兩縱的配色條紋（圖中陰影部分），已知配色條紋的寬度相同，所占面積是整個(gè)地毯面積的．求配色條紋的寬度．練4學(xué)校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，圍墻EF最長(zhǎng)可利用25米，與圍墻平行的一邊BC上要預(yù)留3米寬的入口MN（不用砌墻），現(xiàn)在已備足可以砌46米長(zhǎng)的墻的材料，問當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí)，矩形花圃的面積為299平方米．例5有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（）個(gè)人．A．12 B．11 C．10 D．9練5在一次小型會(huì)議上，參加會(huì)議的代表每人握手一次，共握手36次，則參加這次會(huì)議的人數(shù)是（）A．12人 B．18人 C．9人 D．10人例1.若方程（m﹣2）x|m|+4mx+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為例2.已知m，n都是方程x2+2015x﹣2015＝0的根，則代數(shù)式（m2+2015m﹣2016）（n2+2015n﹣2014）的值為例3.用配方法證明的值恒小于0。例4.若關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2例5.5x2+2x﹣1＝0（公式法）y2+6y+2＝0（配方法）＝1（換元法）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（適當(dāng)方法）例6.已知：關(guān)于x的方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（m≠0）．（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值；（2）求此方程的兩個(gè)根（若所求方程的根不是常數(shù)，就用含m的式子表示）；（3）若m為整數(shù)，當(dāng)m取何值時(shí)方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)例7.某超市經(jīng)銷一種成本為40元/kg的水產(chǎn)品，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單位每漲0.1元，月銷售量就減少1kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，超市在月成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，請(qǐng)你幫忙算算，銷售單價(jià)定為多少？【A類】1.如果x2﹣8x+m＝0可以通過配方寫成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝0可以配方成（）A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1 C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝62.解方程：（1）4x2＝9（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）3.設(shè)α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的兩實(shí)數(shù)根，則＝．4.方程x2＝（x﹣1）0的解為．【B類】1.一元二次方程x2﹣3456x﹣5678＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)符號(hào)相同的實(shí)數(shù)根 C．有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，正根的絕對(duì)值較大 D．有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，負(fù)根的絕對(duì)值較大2.關(guān)于x的方程x2+2（k+2）x+k2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和大于﹣4，則k的取值范圍是．3.已知0是關(guān)于x的方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的根，則m＝．4.某初級(jí)中學(xué)對(duì)畢業(yè)班學(xué)生三年來參加市級(jí)以上各項(xiàng)活動(dòng)獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，七年級(jí)時(shí)有48人次獲獎(jiǎng)，之后逐年增加，到九年級(jí)畢業(yè)時(shí)累計(jì)共有183人次獲獎(jiǎng)，求這兩年中獲獎(jiǎng)人次的平均年增長(zhǎng)率．5.小琴的父母承包了一塊荒山地種植一批梨樹，今年收獲一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售價(jià)銷售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售價(jià)低1元的批發(fā)價(jià)批給外地客商，預(yù)計(jì)總共可賺得55000元的毛利潤．（1）小琴的父母今年共收獲金溪蜜梨多少斤？（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．為了加快銷售和獲得較好的售價(jià)，釆取了降價(jià)措施，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，應(yīng)降價(jià)多少元使得每天銷售利潤為600元？【C類】1.一次同學(xué)聚會(huì)中，見面時(shí)兩兩握手一次，共握手28次．則這次參加聚會(huì)的有（）人．A