全等三角形常見的輔助線作法例題精講

,.《全等三角形》問題中常見的輔助線的作法【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。感謝閱讀角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。謝謝閱讀線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。謝謝閱讀三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。感謝閱讀【常見輔助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。感謝閱讀2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等精品文檔放心下載變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形感謝閱讀全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。感謝閱讀4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。謝謝閱讀5、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，感謝閱讀是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。感謝閱讀6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。謝謝閱讀一、倍長中線（線段）造全等（一）例題講解1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB5，AC3，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關(guān)鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中。精品文檔放心下載解:延長AD到E，使DEDA，連接BE又∵BDCD，BDECDA感謝閱讀BDECDASAS，BEAC3精品文檔放心下載ABBEAEABBE(三角形三邊關(guān)系定理)精品文檔放心下載22AD81AD4經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：見中線，延長加倍。

AB D CE2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BECF與EF的大小。證明：延長FD到點(diǎn)G，使DGDF，連接BG、EG感謝閱讀∵BDCD，F(xiàn)DDG，BDGCDFA∴BDGCDF∴BGCFE∵DEDFF∴EFEG在BEG中，BEBGEGBDC,.BGCF，EFEGBECFEF3、如圖，ABC中，BDDCAC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.精品文檔放心下載證明方法一：利用相似論證。證明：∵BDDCAC∴1BCAAC2∵E是DC中點(diǎn)11BDEC∴ECDCAC，ACEBCA22BCA∽ACEABCCAEACDCADCDAC，ADCABCBAD謝謝閱讀ABCBADDAECAEBADDAEAD平分BAE證明方法二：利用全等論證。證明：延長AE到M，使EMAE，連結(jié)DM易證DEMCEA∴CMDE，ACDMA又∵BDDCAC∴BDDM，ADCCAD又∵ADBCCAD，ADMMDEADCBDEC∴ADMADBM∴ADMADB∴BADDAE即AD平分BAE（二）實(shí)際應(yīng)用：1、（2009崇文二模）以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)。探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系。（1）如圖1當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖1中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（090）后，如圖2所示，（1）問DD中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由。NNEAABMCBMC圖1圖2,.解：（1）ED2AM，AMED；證明：延長AM到G，使MGAM，連BG，則ABGC是平行四邊形謝謝閱讀∴ACBG，ABGBAC180感謝閱讀D又∵DAEBAC180ABGDAE再證：DAEABG精品文檔放心下載DE2AM，BAGEDA延長MN交DE于HBAGDAH90HDADAH90AMED（2）結(jié)論仍然成立．

NHABMG

EC證明：如圖，延長CA至F，使ACFA，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF感謝閱讀DABA，EAAFBAF90DAFEAD∵在FAB和EAD中精品文檔放心下載FAAEFDNBAFEADPBADAEAFABEAD（SAS）BFDE，F(xiàn)AEN∴FPDFAPEAEN90BMC∴FBDE又∵CAAF，CMMB∴AM//FB，且AM1FB2∴AMDE，AM1DE2二、截長補(bǔ)短（一）例題講解例1、如圖，ABC中，AB2AC，AD平分BAC，且ADBD，求證：CDAC證明：過D作DMAB，垂足為M謝謝閱讀∴AMDBMD90又∵ADBD，DMDMA∴ADMBDMM∴AMBMC∵AB2ACB∴ACAMD∵AD平分BAC∴BADCAD,.ADC和ADM中ACAM，BADCAD，ADAD謝謝閱讀ADMADCACDADM90即:CDAC謝謝閱讀2、如圖，AC//BD，EA，EB分別平分CAB，DBA，CD過點(diǎn)E，求證：ABACBD證明：在AB上截取AFAC，連接EF謝謝閱讀CAE和FAE中ACAFCAEFAEAEAEAC∴CAEFAE∴CEAFEAF∴CEABEDFEAFEB90E即FEBDEB在DEB和FEB中FEBDEBBDBEBEFBEDBEDEBFEB（ASA）BDBFABAFBFACBD3、如圖，已知在ABC內(nèi)，BAC60，C40，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的角平分線。求證：BQAQABBP感謝閱讀證明：延長AB到D，使BDBP，連接PD．則D5∵AP，BQ分別是BAC，ABC的角平分線，BAC60，C40∴1230，ABC180604080，3440CA∴QBQC21又D53480B3∴D40D4Q在APD與APC中5APAP，12，DC40P∴APDAPC（AAS）∴ADAC即ABBDAQQCC∴BQAQABBP例4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC.謝謝閱讀求證：AC180解：過點(diǎn)D作DEBC于E，過點(diǎn)D作DFAB交BA的延長線于F∵BD平分ABC精品文檔放心下載∴DEDF，F(xiàn)DEB90感謝閱讀RtCDE和RtADF中

F,.ADCDDEDFRtCDERtADF（HL）FADCBADCBADFAD180感謝閱讀5、如圖，在ABC中，ABAC，BADCAD，P為AD上任意一點(diǎn)。求證：ABACPBPC精品文檔放心下載證明：如圖，在AB上截取AE，使AEAC，連接PE精品文檔放心下載在AEP和ACP中 AAEACBADCADAPAP P E∴AEPACP（SAS）B D CPEPCPBE中，BEPBPE，即ABACPBPC感謝閱讀（二）實(shí)際應(yīng)用如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動點(diǎn)，若B60，ABBC，且DEC60，判斷ADAE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。謝謝閱讀分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。謝謝閱讀解：有BCADAE連接AC，過E作EF//BC并AC于F點(diǎn)則可證AEF為等邊三角形即AEEF，AEFAFE60∴CFE120AD又∵AD//BC，B60∴BAD120AD又∵DEC60EF∴AEDFEC在ADE與FCE中BCEEADCFE，AEEF，AEDFEC∴ADEFCEBC∴ADFC∴BCADAE點(diǎn)評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。精品文檔放心下載三、平移變換（一）例題講解例1、AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點(diǎn)，ABC周長記為P，EBC周長記為P.感謝閱讀A B,.求證：PP.B A證明：延長BA到F，使AFAC,連接EF精品文檔放心下載∵AD為ABC的角平分線BADCADMNADFAE90BAD90CADCAE感謝閱讀AFAC，AEAEAFEACEEFECBEEFBFBEECABAFABAC感謝閱讀∴BC+BE+CE>AB+AC+BCBEECBCABACBC精品文檔放心下載ABC的周長小于EBC的周長，即PP謝謝閱讀A2、如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BDCE，求證：ABACADAE.謝謝閱讀解析：先連接AF并延長至G，使FGAF，其中F是BC的中點(diǎn)，連接GB，GC，GD，GE．可知四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長AD至H，交BG于H．運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”即可進(jìn)行證明。感謝閱讀證明：連接AF并延長至G，使FGAF，其中F是BC的中點(diǎn)，連接GB，GC，GD，GEA精品文檔放心下載BDCE∴DFEF∴四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形∴BGAC，DGAE延長AD至H，交BG于HB D F E C∵ABBHADDH，DHHGDGH∴ABBHDHHGADDHDG∴ABBGADDG即ABACADAEG點(diǎn)評：本題考查了三角形三邊關(guān)系，將證明邊的大小關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題是解題的關(guān)鍵．本題借助輔助線DH起樞紐作用。感謝閱讀方法2：取BC中點(diǎn)M，連AM并延長至N，使MNAM，連BN，DN謝謝閱讀∵BDCEA∴DMEM∴DMNEMA（SAS）∴DNAE同理BNCA延長ND交AB于P，則BNBPPN，DPPAADBDMEC相加得：BNBPDPPAPNAD各減去DP，得：BNABDNAD∴ABACADAE四、借助角平分線造全等

N,.（一）例題講解1、如圖，已知在ABC中，B60，ABC的角平分線AD，CE相交于點(diǎn)O.求證：OEOD謝謝閱讀證明：在AC上取點(diǎn)F，使AFAE，連接OF感謝閱讀∵AD是A的平分線 AEAOFAO∵AOAOFE∴AEOAFOOEOFO，AOEAOF∵CE是C的平分線BDC∴DCOFCO∵B60BACACB120CODCAOOCA12BACACB60感謝閱讀COF180CODAOF180606060精品文檔放心下載COFCODOCOCOCDOCFODOFACAFCFAECD，OEOD即：ACAECD感謝閱讀2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.（1）說明BECF的理由；（2）如果ABa，ACb，求AE、BE的長。感謝閱讀（1）證明:連接DB，DC∵DGBC且平分BCDBDCDEAB，DFAC，AD平分BAC感謝閱讀∴DEDFEGC∴RtDEBRtDFCBF∴BECFD（2）解:∵DEDF，ADAD∴RtAEDRtAFD∴AEAF∴ABACAEBEAFCFAEAF2AE，即ab2AE，AEab精品文檔放心下載2∴ABACAEBEAFCF2BE謝謝閱讀ab∴ab2BE，BE（二）實(shí)際應(yīng)用1、如圖①，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：感謝閱讀（1）如圖②，在ABC中，ACB是直角，B60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相謝謝閱讀,.交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；精品文檔放心下載（2）如圖③，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。謝謝閱讀MO PAN圖①解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FEFD（2）答：（1）中的結(jié)論FEFD仍然成立。感謝閱讀

BBE E DF D FCA C圖② 圖③證法一：如圖1，在AC上截取AGAE，連結(jié)FG謝謝閱讀∵12，AF為公共邊，∴AEFAGF∴AFEAFG，F(xiàn)EFG∵B60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線B∴2360∴AFECFDAFG60E∴CFG60DF∵34及FC為公共邊14∴CFGCFD23∴FGFDAGC∴FEFD圖1證法二：如圖2，過點(diǎn)F分別作FGAB于點(diǎn)G，F(xiàn)HBC于點(diǎn)H精品文檔放心下載∵B60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線B∴可得2360，F(xiàn)是ABC的內(nèi)心∴GEF601，F(xiàn)HFGGDEH又∵HDFB1F14∴GEFHDF23∴可證EGFDHFAC圖2∴FEFD五、旋轉(zhuǎn)（一）例題講解例1、ADBEDFEF，求正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，EAF的度數(shù)。解：將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，至ABGF∴GEGBBEDFBEEF又∵AEAE，AFAGG B E CACD,.AEFAEGEAFGAEBAEGABBAEDAF又∵EAFBAEDAF90精品文檔放心下載EAF452、D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN，DM，DN分別交BC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)。（1）當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時(shí)，求證：DEDF；精品文檔放心下載（2）若AB2，求四邊形DECF的面積。謝謝閱讀分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分ACB，CDAB，A45，CDDA，謝謝閱讀BCD45，CDA90，由DMDN得EDF90，根據(jù)等角的余角相等得到CDEADF，精品文檔放心下載根據(jù)全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到結(jié)論；（2）由DCEADF，則S S ，精品文檔放心下載DCE ADF于是四邊形DECF的面積S ，由而AB2可得CDDA1，根據(jù)三角形的面積公式易求得S ，感謝閱讀ACD從而得到四邊形DECF的面積。解：（1）連CD，如圖，∵D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)∴CD平分ACB，CDAB，A45，CDDA感謝閱讀BCD45，CDA90DMDN∴EDF90∴CDEADFDCE和ADF中DCEDAFDEDCDAMCDEADFACFDCEADFDEDF（2）∵DCEADFN∴SSDCEADF∴四邊形DECF的面積SACDAB2CDDA1∴四邊形DECF的面積S1CDDA1ACD22點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連謝謝閱讀線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)。謝謝閱讀3、如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，求AMN的周長。感謝閱讀解：∵BDC是等腰三角形，且BDC120感謝閱讀BCDDBC30ABCBACBCA60∴DBADCA90 M,.∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BDM使DB與DC重合DMN和DMN中DMDMMDNNDM60DNDNDNMDNMMNMNNCBMAMANMNNCBMANABAC6謝謝閱讀AMN的周長為6（二）實(shí)際應(yīng)用1、已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN繞B點(diǎn)旋精品文檔放心下載轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長線）于E、F．謝謝閱讀（1）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1），易證AECFEF．精品文檔放心下載（2）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。感謝閱讀A AB E M B E MC D C DF FN N解：（1）∵ABAD，BCCD，ABBC，AECF精品文檔放心下載圖1 圖2ABECBF（SAS）；ABECBF，BEBFABC120，MBN60ABECBF30，BEF為等邊三角形感謝閱讀BEEFBF，CFAE12BE謝謝閱讀AECFBEEF（2）圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長DC至點(diǎn)K，使CKAE，連接BK精品文檔放心下載BAEBCKBEBK，ABEKBCB∵FBE60，ABC120∴FBCABE60∴FBCKBC60KC∴KBFFBE60∴KBFEBF∴KFEF∴KCCFEF即AECFEF圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AECFEF

ABF C DN E圖3 MAE MDFN2,.2、（西城09年一模）已知:PA 2，PB4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)。精品文檔放心下載（1）如圖，當(dāng)APB45時(shí)，求AB及PD的長；感謝閱讀（2）當(dāng)APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)APB的大小。謝謝閱讀分析：（1）作輔助線，過點(diǎn)A作AEPB于點(diǎn)E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有謝謝閱讀兩種解法，解法一：可將PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到PAB，可得PADPAB，求PD長即為謝謝閱讀PB的長，在RtAPP中，可將PP的值求出，在RtPPB中，根據(jù)勾股定理可將PB的值求出；感謝閱讀解法二：過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的長，進(jìn)而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；精品文檔放心下載（2）將PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到PAB，PD的最大值即為PB的最大值，故當(dāng)P、P、B感謝閱讀三點(diǎn)共線時(shí)，PB取得最大值，根據(jù)PBPPPB可求PB的最大值，此時(shí)APB180APP135．解：（1）①如圖，作AEPB于點(diǎn)E謝謝閱讀D∵RtPAE中，APB45，PA2謝謝閱讀2C2∴AEPE12A∵PB4P∴BEPBPE3EBRtABE中，AEB90∴ABAE2BE210②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到，，可得PAB，，DPADPABPDPBPAPA∴PAP90，APP45，PPB90C∴PP2，PA2P′A∴PDPBPP2PB2224225；PEB解法二：如圖，過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設(shè)DA的延長線交PB于G．在RtAEG中，可得AGAEAE10，EG1，PGPEEG2cosEAGcosABE333D在RtPFG中，可得PFPGcosFPGPGcosABE10，F(xiàn)G10C515RtPDF中，可得A210210102PDPF21025GADAGFG53PEB15F（2）如圖所示，將PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到PAB，PD的最大值，即為PB的最大值謝謝閱讀PPB中，PBPPPB，PP2PA2，PB4且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)∴當(dāng)P、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PB取得最大值（如圖）感謝閱讀,.D DCCAAP′PBP′PB此時(shí)PBPPPB6，即PB的最大值為6精品文檔放心下載此時(shí)APB180APP135謝謝閱讀3、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN60，BDC120，BDDC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系。精品文檔放心下載NAAAMNNMBCBCBCDDMD圖1圖2圖3（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DMDN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q__________；L（2）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；感謝閱讀（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，若ANx，則Q_____（用x、L表示）．精品文檔放心下載分析：（1）如果DMDN，DMNDNM，因?yàn)锽DDC，那么DBCDCB30，也就有MBDNCD603090，直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)锽DDC，DMDN，根據(jù)HL定理，兩三角形全等。那么BMNC，BMDDNC60，三角形NCD中，NDC30，DN2NC，在三角形DNM中，DMDN，MDN60，因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此MNDN2NCNCBM，三角形AMN的周長QAMANMN精品文檔放心下載AMANMBNCABAC2AB，三角形ABC的周長L3AB，因此Q:L2:3．精品文檔放心下載（2）如果DMDN，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使CEBM，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MBCE，BDDC，因此兩三角形全等，那么DMDE，BDMCDE，EDNB