不確定度與數(shù)據(jù)處理

.不確定度與數(shù)據(jù)處理一、 誤差與不確定度1．誤差與不確定度的關(guān)系（1）誤差：測量結(jié)果與客觀真值之差 x=x-A公認(rèn)值—如物理常數(shù)等其中A稱為真值，一般不可能準(zhǔn)確知道，常用約定真值代替：標(biāo)準(zhǔn)值—更高精度儀器測量結(jié)果理論值—理論公式計算結(jié)果對一個測量過程，真值A(chǔ)的最佳估計值是平均值x。在上述誤差公式中，由于A不可知，顯然x也不可知，對誤差的最佳估計值是不確定度u(x)。（2）不確定度：對誤差情況的定量估計，反映對被測量值不能肯定的程度。通常所說“誤差”一般均為“不確定度”含義。不確定度分為 A、B兩個分量，其中 A類分量是可用統(tǒng)計方法估計的分量，它的主要成分是隨機(jī)誤差。2．隨機(jī)誤差： 多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。定量描述隨機(jī)誤差的物理量叫標(biāo)準(zhǔn)差。（1）標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)差lim(xiA)2kk∵真值A(chǔ)不可知，且測量次數(shù) k為有限次 ∴ 實際上也不可知，于是：用標(biāo)準(zhǔn)偏差S代替標(biāo)準(zhǔn)差(xix)2：S(x)——單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差k1結(jié)果表述：xS(x)（置信概率68.3%）i真值的估計值 單次測量標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值S(x)的物理意義：在有限次測量中，每個測量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 （并不是只做一次測量）通常不嚴(yán)格區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差，統(tǒng)稱為標(biāo)準(zhǔn)差。2）平均值的標(biāo)準(zhǔn)差真值的最佳估計值是平均值，故結(jié)果應(yīng)表述為：S(x)（置信概率68.3%）真值的最佳估計值 平均值的標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值其中S(x)(xix)2——平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差k(k1)例1：某觀察量的n次獨立測量的結(jié)果是X1,X2,,Xn。試用方差合成公式證明平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的S(X)。1，即S(X)nn解：Xi由題知Xi相互獨立，則根據(jù)方差合成公式有u2(X1)u2(Xn)Xu(X)nn利用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義，可知u(Xi)=S(X)i=1,2,,n故S2(X)S2(X)nS2(X)S(X)u(X)S(X)nnn3．系統(tǒng)誤差與儀器誤差（限）1）系統(tǒng)誤差：在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可以預(yù)知方式變化的那一部分誤差稱為系統(tǒng)誤差。已被確切掌握了其大小和符號的系統(tǒng)誤差，稱為可定系統(tǒng)誤差；對大小和符號不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除或在測量結(jié)果中進(jìn)行修正；而后者一般難以作出修正，只能估計出它的取值范圍。在物理實驗中，對未定系統(tǒng)誤差的估計常常利用儀器誤差限來進(jìn)行簡化處理。Word文檔.2）儀器誤差（限）：由國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計量器具的允許誤差或允許基本誤差，經(jīng)過適當(dāng)簡化稱為儀器誤差限，用以代表常規(guī)使用中儀器示值和（作用在儀器上的）被測真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差。常用儀器的儀器誤差（限） ：①長度測量儀器：游標(biāo)卡尺的儀器誤差限按其分度值估計；鋼板尺、螺旋測微計的儀器誤差限按其最小分度的1/2計算。②指針式儀表：儀＝a%Nm式中Nm是電表的量程，a是準(zhǔn)確度等級。數(shù)字儀表：△＝a%Nx+b%Nm或△＝a%N+n字儀儀x式中a是數(shù)字式電表的準(zhǔn)確度等級，N是顯示的讀數(shù)，b是誤差的絕對項系數(shù)，Nm是儀表的滿度值，n代表儀器固定項x誤差，相當(dāng)于最小量化單位的倍數(shù)。R0③電阻箱：儀＝ai%Rii式中R0是殘余電阻，Ri是第i個度盤的示值，ai是相應(yīng)電阻度盤的準(zhǔn)確度級別。④直流電位差計：△儀＝a%(UxU0)10式中a是電位差計的準(zhǔn)確度級別，Ux是標(biāo)度盤示值，U0是有效量程的基準(zhǔn)值，規(guī)定為該量程中最大的10的整數(shù)冪。直流電橋：△儀＝a%(RxR0)10式中Rx是電橋標(biāo)度盤示值，a是電橋的準(zhǔn)確度級別，R0是有效量程的基準(zhǔn)值，意義同上。（3）B類不確定度的處理在物理實驗中，B類不確定度的來源通常包括以下三種：儀器誤差儀、靈敏度誤差靈和估計誤差限估。其中靈敏度誤差可表示為0.20.2。靈n/SxB類不確定度與各種誤差限之間的關(guān)系為 ub 。34．不確定度的合成（1）直接測量 x：ua(x)，ub(x)則u(x)ua2(x)ub2(x)（稱為合成不確定度）（2）間接測量y=(,x,,x)其中x,x,,x為相互獨立的直接測量量112n2n則u(y)(f)2u2(xi)或u(y)(lnf)2u2(xi)ixiyixi（3）最終結(jié)果表述形式：()=（單位）NuN結(jié)果有效數(shù)字的確定原則：①不確定度u(N)只保留一位有效數(shù)字；②測量結(jié)果N與不確定度u(N)小數(shù)位數(shù)對齊。A例2：用分光計測棱鏡材料的折射率公式為nsin2。已測得A''，黃光（汞燈光源）所對應(yīng)的'=602=5058sinA023'，則黃光所對應(yīng)的折射率nu(n)=1.64790.0007。sinA2sin6005058AA解：n21.6479lnnlnsinA6002lnsinsinsin222dncosA(1dA1d)cosA1dA1AA1A22222)dActgdnAA(ctg2ctg22sin222sin2u(n)1(ctgActgA)2u2(A)1ctg2A2u2()n42241(ctg6005058ctg600)2(2180)21ctg26005058(3180)20.000426422604260Word文檔.u(n)nu(n)1.64790.0004260.0007∴nu(n)=1.64790.0007n5．有效數(shù)字及其運(yùn)算法則（1） 有效數(shù)字：由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字構(gòu)成。在不計算不確定度的情況下，結(jié)果的有效數(shù)字由運(yùn)算法則決定。2）運(yùn)算法則①加減法：以參加運(yùn)算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準(zhǔn)并與之取齊。N=A+B-C-D，則 u(N) u2(A)u2(B)u2(C)u2(D)取決于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位數(shù)最高者，最后結(jié)果與之對齊。②乘除法：以參加運(yùn)算各量中有效數(shù)字最少的為準(zhǔn)，結(jié)果的有效數(shù)字個數(shù)與該量相同。NAB，則2222u(N)u(A)u(B)u(C)u(D)CDNABCD取決于其中相對不確定度最大者，即有效數(shù)字個數(shù)最少者。③混合四則運(yùn)算按以上原則按部就班執(zhí)行。例3：某物理量的計算公式為Yk，其中k為常數(shù)，1.6為準(zhǔn)確數(shù)，H≈16cm，d=0.1500cm。若使Y1.6d/H1的表示式中分母的值具有4位有效數(shù)字，正確測H的方法是（d）。(a)用游標(biāo)卡尺估讀到cm千分位(b)用米尺估讀到cm百分位(c)用米尺只讀到mm位(d)用米尺只讀到cm位1.6d1.60.1500分母11.6d解：0.0151.015為4位有效數(shù)字H16H即H只需2位有效數(shù)字即可，故應(yīng)選(d)。④特殊函數(shù)的有效數(shù)字：根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原則，從不丟失有效位數(shù)的前提出發(fā)，通過微分關(guān)系傳播處理。例4：tg452'=1.00116423最多可取幾位有效數(shù)字？解：令y=tgx，其中x=452'取x110.00029(rad)60180則y110.000290.00058即小數(shù)點后第四位產(chǎn)生誤差x45cos2xcos22tg452'=1.0012，有五位有效數(shù)字。例5：雙棱鏡測波長的計算公式為xbb，對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的計算結(jié)果如下表所示。SSx=0.28144mmb=5.9325mmb'=0.7855mmS=27.65cmS'=75.90cm-4m(b)/b=0.025(b')/b'=0.025(S)=0.5cm(S')=0.5cmu(x)=2.01010(b)=0.005m(b')=0.005m(S')=0.05cmm(S)=0.05cmmm注：下標(biāo)1代表來自方法誤差，下標(biāo)2代表來自儀器誤差。要求：（1）給出測量結(jié)果的正確表述（包括必要的計算公式）。2）定量討論各不確定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略項的貢獻(xiàn)，不確定度的計算將怎樣簡化？結(jié)果如何？解：（1）xbb0.281445.93250.78555.86716104mmSS(276.5759.0)Word文檔.lnlnx1lnb1lnbln(SS)dd(x)dbdbdSdS22x2b2bSSSSu()u(22u(b)222x)u(b)u(S)u(S)0.0111x2b2bSSSS其中u(x)2.0101040.000714；x0.28144u1(b)1(b)/311(b)0.0250.007222222b2b23b23u(b)u1(b)u2(b)u2(b)2(b)/30.0050.0002432b2b2b2b2b25.93253u1(b)1(b)/311(b)0.0250.007222222b2b23b23u1(b)u(b)u2(b)u2(b)2(b)/30.0050.001842b2b2b2b2b20.78553u1(S)1(S)/30.50.00279222SSSS(27.6575.90)3u(S)u1(S)u2(S)u2(S)2(S)/30.050.000279SSSSSSSSSS(27.6575.90)3u1(S)1(S)/30.50.00279222SSSS(27.6575.90)3u(S)u1(S)u2(S)u2(S)2(S)/30.050.000279SSSSSSSSSS(27.6575.90)3于是得u()=u()5.867161040.0111=6.5310-6mmu()=5877nm（2）由前面的計算可知，不確定度主要來自u1(b)和u1(b)，次要因素是u2(b)、u1(S)和u1(S)，可以忽略的因u(x)u2(b)u2(S)u2(S)2b2b2bSSSS、。素是、S和SSx2bSu()22(b)若只考慮主要項的貢獻(xiàn)：u1(b)u1(b)12b2b0.01026b則有u()=6nmu()=5876nm比嚴(yán)格計算的結(jié)果稍小但相差無幾。二、數(shù)據(jù)處理方法1．列表法：按一定規(guī)律把數(shù)據(jù)列成表格。列表原則：1）表格的標(biāo)題欄中注明物理量的名稱、符號和單位；2）記錄原始數(shù)據(jù)（如記錄刻度數(shù)，而不是記錄長度）；3）簡單處理結(jié)果（如算出長度）或函數(shù)關(guān)系；（4）參數(shù)和說明（如表格名稱、儀器規(guī)格、環(huán)境參數(shù)、常量以及公用單位等） 。2．作圖法：把實驗數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系作成曲線，以便反映它們之間的變化規(guī)律或函數(shù)關(guān)系。作圖要點：（1）原始數(shù)據(jù)列表表示——見列表法；（2）用坐標(biāo)紙作圖，圖紙大小以不損失有效數(shù)字和能包括所有點為最低要求，因此至少應(yīng)保證坐標(biāo)紙的最小分格（通常為1mm）以下的估計位與實驗數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應(yīng)；（3）選好坐標(biāo)軸并標(biāo)明有關(guān)物理量的名稱（或符號）、單位和坐標(biāo)分度值。其中分度比例一般取1、2、5、10Word文檔.較好，以便于換算和描點；（4）實驗數(shù)據(jù)點以+、×、、、△等符號標(biāo)出，一般不用細(xì)圓點“·”標(biāo)示實驗點；光滑連接曲線并使實驗點勻稱地分布于曲線兩側(cè)（起平均的作用）；（5）圖解法求直線斜率和截距時，應(yīng)：在線上取點（不能使用實驗點）；所取兩點要相距足夠遠(yuǎn)（以提高精度）；在圖上要注明所取點的坐標(biāo)。24.26例6：拉伸法測彈性模量的載荷——伸長曲線如圖所示，圖上至少有5處繪制錯誤或23.64不規(guī)范。它們是坐標(biāo)軸應(yīng)標(biāo)注物理量和單位，軸上缺少分度值，實驗點應(yīng)以醒目標(biāo)記標(biāo)出，曲線應(yīng)光滑連接，計算點坐標(biāo)標(biāo)注不規(guī)范。1.442.163．最小二乘法與一元線性回歸法1）最小二乘法：對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線，那么各測量值與這條曲線上對應(yīng)點之差的平方和應(yīng)取極小值。例7：試用最小二乘原理推導(dǎo)直線方程y=kx中回歸系數(shù)k的計算公式。nkxi)2解：根據(jù)最小二乘原理應(yīng)有(yimini1nnnn即(yikxi)202(yikxi)(xi)0xiyikxi20ki1i1i1i1于是得kxiyixyxi2x2（2）一元線性回歸法： 設(shè)直線方程 y=a+bx，其中自變量 x的誤差可略k由最小二乘原理，應(yīng)有i[yi(a1k(abxi)]2kai[yi0i2[yi11即kk(abxi)]2bi[yi02[yi1i1xiyikxiyibkxi2解之得(xi)2xiyixiyiyxi2ax)2kx2(ii

bxi)]2minkk(abxi)](1)0akbxiyii1i1(abx)](x)0kxkx2kyiabxiiii111ixyxyx2x2ybx（3）相關(guān)系數(shù)r：用于檢驗x和y之間是否存在線性關(guān)系。rxyxy(x2x2)(y2y2)Word文檔.r1通過全部實驗點yabxr1xi、yi之間線性相關(guān)強(qiáng)烈r物理意義r0yi隨xi增加而增加r0yi隨xi增加而減小r0xi、yi之間無線性關(guān)系擬合直線為與x軸平行的直線例8：根據(jù)所給相關(guān)系數(shù)r作出實驗點分布草圖：①=-1②r=0.9993③=0.015rryyyx x x（4）回歸法使用要點：①自變量x測量誤差可略，即應(yīng)選擇測量精度較高的物理量作自變量；②因變量y為等精度測量或近似等精度測量，即 u(yi)近似相等；③作線性關(guān)系的檢驗 ：利用物理規(guī)律或作圖等其它方法確認(rèn)線性關(guān)系的存在；或檢驗相關(guān)系數(shù)是否滿足 |r|1。例9：實驗線路及測量數(shù)據(jù)如下，用一元線性回歸法計算電壓表內(nèi)阻R（寫出計算公式即可）。VERRVR()20.050.0100.0200.0300.0400.0V(V)2.802.722.602.382.202.04V解：根據(jù)線路圖可得EVRRVERVRRVRVVu(R)~0.1，0.10.005，1R20.0400.00.00025精度：可知R的精度較高計算R、u(1/V)u(V)0.01，0.01，V0.00361/VV~2.040.0052.80故將公式變形為11R1令1yRx并設(shè)直線方程y=+VERVEVabxa11aRVa則有bERVRV∴bE4．逐差法（1）測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法設(shè)自變量和因變量之間存在線性關(guān)系yabx，并有一組實驗數(shù)據(jù)：x1,,xn,xn1,x2ny1,,yk,yn1,；y2n隔n項逐差，可得到byn1y1,,bny2nyn取平均值b1nbi1nyniyi。1xn1x1x2nxnni1ni1xnixi對于自變量x等間隔分布的情況，有xnixinx于是b1n(yniyi)nxin1求得b后，可由公式y(tǒng)iabxi求出ayibxiWord文檔.例10：已知R=R(1+t)，實驗數(shù)據(jù)如下，用逐差法求電阻溫度系數(shù)（不要求計算不確定度）。0t(℃)85.080.075.070.065.060.055.050.0R()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215解：=+Rt并設(shè)=+bx則有a=Rb=R=a0000即b而利用逐差法可得：ai1234平均t=ti+4-ti(℃)20.020.020.020.020.0R=R-R()0.02420.02410.02290.02220.02335i+4i于是有bR0.023350.0011675t20.0a1(Rbt)1n(2.73120.0011675540.0)0.26268故b0.00116754.45103（1/℃）0.2626例11：邁克爾遜干涉儀實驗數(shù)據(jù)處理條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n500600700800900M2鏡位置X(mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.77085解法一：由逐差法可得i12345平均dN=ni+5-ni500500500500500500=Xi+5-X(mm)0.161600.160500.159700.158850.157850.15970500i2d50020.15970u()22u(d500)u(N)N638.8(nm)d500N500ua(d500)(did500)20.000648(mm)ua2(d500)54u(d500)ub2(d500)其中0.00005ub(d500)0.0000289(mm)0.53u(N)0.289ub(N)3220.00064820.2892于是u()u(d500)u(N)2.6(nm)d500638.80.1597025002N故u()=6393(nm)解法二：由逐差法可得i12345平均N'=(ni+5-ni)/5100100100100100100d100=(Xi+5-Xi)/50.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940(mm)Word文檔.2d10020.031940u()u(d100)2u(N)2N638.8(nm)d100N100ua(d100)(did100)2u(d100)ua2(d100)ub2(d100)540.000130(mm)其中0.000050.00000577(mm)ub(d100)30.55u(N)ub(N)0.057753220.00013020.05772于是u(u(d100)u(N))d100N638.8210022.6(nm)0.031940故u()=6393(nm)2）測量次數(shù)為奇數(shù)的逐差法處理原則：去掉中間的數(shù)據(jù)。例12：重新處理邁克爾遜干涉儀實驗數(shù)據(jù)條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n5006007008009001000M2鏡位置X(mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280解：去掉中間的數(shù)據(jù)后為條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n6007008009001000M2鏡位置X(mm)34.6763534.7080034.7394534.7708534.80280由逐差法可得i12345平均N=ni+6-ni600