廣東省深圳市寶安沙井職業(yè)高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

廣東省深圳市寶安沙井職業(yè)高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，對任意，都有，

，若，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知向量，則下列能使成立的一組向量是[答](

)．A．

B．C．

D．參考答案：C3.如圖所示，醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體，開始輸液時(shí)，滴管內(nèi)勻速滴下液體（滴管內(nèi)液體忽略不計(jì)），設(shè)輸液開始后分鐘，瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為厘米，已知當(dāng)時(shí)，，如果瓶內(nèi)的藥液恰好156分鐘滴完，則函數(shù)的圖象為（

）參考答案：A略4.對于函數(shù)，適當(dāng)?shù)剡x取的一組值計(jì)算，所得出的正確結(jié)果只可能是

（

）

A．4和6

B．3和-3

C．2和4

D．1和1參考答案：D5.設(shè)命題，，則為（

）． A．， B．，C．， D．，參考答案：B命題：，，，，故選．6.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．若0＜α＜，則sinα＜tanαB．若α是第二象限角，則為第一象限或第三象限角C．若角α的終邊過點(diǎn)P（3k，4k）（k≠0），則sinα=D．若扇形的周長為6，半徑為2，則其中心角的大小為1弧度參考答案：C【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，象限角的定義，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：若0＜α＜，則sinα＜tanα=，故A正確；若α是第二象限角，即α（2kπ，2kπ+π），k∈Z，則∈（kπ，kπ+），為第一象限或第三象限，故B正確；若角α的終邊過點(diǎn)P（3k，4k）（k≠0），則sinα==，不一定等于，故C不正確；若扇形的周長為6，半徑為2，則弧長=6﹣2×2=2，其中心角的大小為=1弧度，故選：C．7.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知直線平分圓的周長，且直線不經(jīng)過第三象限，則直線的傾斜角的取值范圍為A．

B．

C.

D．參考答案：A依題意，圓，故直線過圓的圓心；因?yàn)橹本€不經(jīng)過第三象限，結(jié)合圖像可知，.9.已知為第二象限角，，則的值等于A. B. C. D.參考答案：A10.如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，則|+|的取值范圍為（）A．[，5] B．[，4] C．[，] D．[，4]參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），用x，y表示出||，利用兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到M（﹣1，0）點(diǎn)的距離．【解答】解：以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則C（0，1），A（1，0），D（3，0），設(shè)P（x，y），則=（x+1，y），∴||=，設(shè)M（﹣1，0），則||=|MP|，由圖可知當(dāng)P與C重合時(shí)|MP|取得最小值，當(dāng)P與D重合時(shí)，|MP|取得最大值4，∴|+|的取值范圍是[，4]．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8=4a3，a7=﹣2，將此等差數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示三角形數(shù)陣：若此數(shù)陣中第i行從左到右的第j個(gè)數(shù)是﹣588，則i+j=

．參考答案：29【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】計(jì)算題；推理和證明．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，代入已知可解得a1和d，可得通項(xiàng)公式，確定第i行的第一個(gè)數(shù)，利用數(shù)陣中第i行從左到右的第j個(gè)數(shù)是﹣588，可得答案．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S8=4a3，a7=﹣2，∴8a1+28d=4（a1+2d），a7=a1+6d=﹣2，解得a1=10，d=﹣2，∴an=10+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，設(shè)第i行的第一個(gè)數(shù)為bi，則b2﹣b1=d，b3﹣b2=3d，…，bn﹣bn﹣1=（2n﹣3）d，∴bn﹣b1=d+3d+…+（2n﹣3）d=d=﹣2（n﹣1）2，∴bn=﹣2（n﹣1）2+10，n=18，b18=﹣568，﹣588=﹣568+（11﹣1）×（﹣2），∴i+j=18+11=29，故答案為：29．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查歸納推理，屬基礎(chǔ)題．12.點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，，若四面體ABCD體積的最大值為，則該球的表面積為．參考答案：9π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)三棱錐的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為2．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC?BQ==2．，∴DQ=2，如圖．設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=，則這個(gè)球的表面積為：S=4π（）2=9π；故答案為：9π【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．13.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對任意的實(shí)數(shù)，均有，這樣就存在以為三邊長的三角形．當(dāng)時(shí)，若對任意的實(shí)數(shù)，均存在以為三邊長的三角形，則實(shí)數(shù)的最大值為_______________.參考答案：4略14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組那么目標(biāo)函數(shù)的最大值是

。參考答案：答案：415.不等式+kx+1≥0對于x∈[﹣1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：不等式+kx+1≥0對于x∈[﹣1，1]恒成立，等價(jià)為+1≥﹣kx對于x∈[﹣1，1]恒成立，設(shè)y=+1（y≥1），則等價(jià)為x2+（y﹣1）2=1對應(yīng)的軌跡為以（0，1）為圓心，半徑為1的上半圓，則A（1，1），B（﹣1，1），若+1≥﹣kx對于x∈[﹣1，1]恒成立，則等價(jià)為A，B在直線y=﹣kx的上方或在直線上即可，即A（1，1），B（﹣1，1），在不等式y(tǒng)≥﹣kx對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則滿足，即，解得﹣1≤k≤1，故答案為：[﹣1，1]．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）參考答案：26

由圖2結(jié)合空間想象即可得到該正多面體有26個(gè)面；將該半正多面體補(bǔ)成正方體后，根據(jù)對稱性列方程求解.

17.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，且，，成等差數(shù)列．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知（），記，求．參考答案：19.已知A、B、C、D為同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，且滿足AB=2，BC=CD=DA=1，∠BAD=θ，△ABD的面積為S，△BCD的面積為T．（1）當(dāng)θ=時(shí)，求T的值；（2）當(dāng)S=T時(shí)，求cosθ的值．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理求出BD，cos∠BCD，由此能出△BCD的面積T．（2）由S=，得到sinθ=，從而4sin2θ=sin2∠BCD=1﹣cos2∠BCD=1﹣（）2，由此能求出cosθ．【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosθ=3，∴BD=，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD===﹣，∴∠BCD=120°，∴T===．（2）S=，BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosθ=5﹣4cosθ，cos∠BCD==，T==，∵S=T，∴sinθ=，∴4sin2θ=sin2∠BCD=1﹣cos2∠BCD=1﹣（）2，解得cosθ=．【點(diǎn)評】本題考查三角形面積的求法，考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．20.如圖，圓C與y軸相切于點(diǎn)T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M任作一條直線與橢圓+=1相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為r嗎，根據(jù)|MN|=3求出r，即可確定出圓C的方程；（Ⅱ）把y=0代入圓方程求出x的值，確定出M與N坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對稱性得證；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB解析式為y﹣k（x﹣1），與橢圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)直線AB交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（r，2），∵|MN|=3，∴r2=（）2+22=，∴圓C的方程為（x﹣）2+（y﹣2）2=；（Ⅱ）把y=0代入方程（x﹣）2+（y﹣2）2=，解得：x=1，或x=4，即M（1，0），N（4，0），當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對稱性可知∠ANM=∠BNM；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB解析式為y=k（x﹣1），聯(lián)立方程，消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0，設(shè)直線AB交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=，x1x2=，∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），∴kAN+kBN=+=+=，∵（x1﹣1）（x2﹣4）+（x2﹣1）（x1﹣4）=2x1x2﹣5（x1+x2）+8=﹣+8=0，∴kAN+kBN=0，∠ANM=∠BNM，綜上所述，∠ANM=∠BNM．【點(diǎn)評】此題考查了直線與圓方程的應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知bcosC+ccosB=2acosA．（1）求角A的大小；（2）若?=，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式，即可求角A的大??；（2）若?=，根據(jù)向量的數(shù)量積，求出AB?AC的大小即可，求△ABC的面積【解答】解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，即sin（B+C）=2sinAcosA，則sinA=2sinAcosA，在三角形中，sinA≠0，∴cosA=，即A=；（2