湖南省衡陽(yáng)市常寧湘南實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省衡陽(yáng)市常寧湘南實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(,0),B(1,2),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],則所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形面積為（A）1 （B）2 （C） （D）2參考答案：C本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算,線性規(guī)劃.設(shè),則所有點(diǎn)P構(gòu)成圖形如圖所示（陰影部分）故選C2.在△OAB中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)分別為A（3,4），B（－2，），向量與x軸平行，則向量與所成的余弦值是（A）－（B）（C）－（D）參考答案：C3.離心率為的橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)、短軸的端點(diǎn)、焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離依次構(gòu)成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率等于A．

B．

C．

D．參考答案：C設(shè)橢圓：，雙曲線：，則，，，橢圓頂點(diǎn)、、焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離依次為、、，從而，所以，即，所以，，．選C．4.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，則實(shí)數(shù)m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2}參考答案：C【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】由A∩B=B，得B?A，然后利用子集的概念求得m的值．【解答】解：∵A∩B=B，∴B?A．當(dāng)m=0時(shí)，B={1，0}，滿(mǎn)足B?A．當(dāng)m=2時(shí)，B={1，2}，滿(mǎn)足B?A．∴m=0或m=2．∴實(shí)數(shù)m的值為0或2．故選：C．5.若奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足，則

（

）A.0

B.1

C.

D.參考答案：B略6.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上一點(diǎn)，Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，P，Q均位于第一象限，且=，?=0，則雙曲線C的離心率為（）A．﹣1 B． C．+1 D．+1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用已知條件可得P是Q，F(xiàn)2的中點(diǎn)，⊥，由條件求出Q坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求解雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），P為雙曲線C上一點(diǎn)，Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，P、Q均位于第一象限，且=，?=0，可知P是Q，F(xiàn)2的中點(diǎn)，⊥，Q在直線bx﹣ay=0上，并且|OQ|=c，則Q（a，b），則P（，），代入雙曲線方程可得：﹣=1，即有=，即1+e=．可得e=﹣1．故選：A．7.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（x﹣1），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x2，則關(guān)于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．

【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】關(guān)于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）和y=|x|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）為定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x2，故在[﹣1，2]上，函數(shù)y=f（x）和y=|x|的圖象如下所示：由圖可知：兩個(gè)函數(shù)的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上有4個(gè)根，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．8.過(guò)點(diǎn)作直線（不同時(shí)為零）的垂線，垂足為，點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（A）54

（B）27

（C）18

（D）

9參考答案：C略10.三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A三棱錐的直觀圖如圖，以ABC所在平面為球的截面，則截面圓的半徑為，球心到ABC所在平面的距離為，則球的半徑為，所以球的體積為.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于四、五世紀(jì)，也就是大約一千五百年前，傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷.卷中有一問(wèn)題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問(wèn)積幾何？”該著作中提出了一種解決問(wèn)題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛加一，即得.”通過(guò)對(duì)該題的研究發(fā)現(xiàn)，若一束方物外周一匝的枚數(shù)是8的整數(shù)倍時(shí)，均可采用此方法求解.如圖，是解決這類(lèi)問(wèn)題的程序框圖，若輸入，則輸出的結(jié)果為

．參考答案：121本題考查流程圖.循環(huán)一次,,;循環(huán)二次,,;循環(huán)三次,,;循環(huán)四次,,;循環(huán)五次,,,此時(shí),,滿(mǎn)足題意,結(jié)束循環(huán),輸出的.12.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋糠謱?duì)應(yīng)值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：下列關(guān)于f（x）的命題：①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）在是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）﹣a有4個(gè)零點(diǎn)；⑤函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是

．參考答案：②⑤考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的周期性；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專(zhuān)題：閱讀型．分析：先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫(huà)出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)五個(gè)命題，一一進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)于假命題采用舉反例的方法進(jìn)行排除即可得到答案．解答： 解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：由圖得：①為假命題．函數(shù)f（x）不能斷定為是周期函數(shù)．②為真命題，因?yàn)樵谏蠈?dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；③為假命題，當(dāng)t=5時(shí)，也滿(mǎn)足x∈時(shí)，f（x）的最大值是2；④為假命題，當(dāng)a離1非常接近時(shí)，對(duì)于第二個(gè)圖，y=f（x）﹣a有2個(gè)零點(diǎn)，也可以是3個(gè)零點(diǎn)．⑤為真命題，動(dòng)直線y=a與y=f（x）圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為0、1、2、3、4個(gè)，故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．綜上得：真命題只有②⑤．故答案為：②⑤點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減．13.已知銳角滿(mǎn)足則的最大值為_(kāi)_______.

參考答案：14.已知為第二象限角，，則的值為

]參考答案：2由展開(kāi)得，平方得，所以，從而，因?yàn)闉榈诙笙藿?，故，因此，因?yàn)?，，所以，，則15.已知向量滿(mǎn)足的夾角為，則參考答案：

16.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，為常數(shù),則

.參考答案：1/2-a17.設(shè)是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是

．①若，則或.②若，則或.③若，則或與相交.④若，則或.參考答案：(2)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分12分)在四邊形ABCD中，，，，，在方向上的投影為8；（1）求的正弦值；（2）求的面積.參考答案：解：（1），，在中，，，，，，在方向上的投影為8，，，，（2），，

略19.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)f(x)=-lnx,

x∈[1,3].(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值；(Ⅱ)若f(x)＜4-at對(duì)于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)≤,故對(duì)任意x∈[1,3],f(x)＜4-at恒成立,只要4-at＞對(duì)任意t∈[0,2]恒成立,即at＜恒成立,記g(t)=at,t∈[0,2],所以,所以a<.20.

已知函數(shù)處取得極值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若當(dāng)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）對(duì)任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)

……7分

∴當(dāng)x=－時(shí)，f(x)有極大值+c.

又

∴x∈[－1，2]時(shí)，f(x)最大值為f(2)=2+c.

……8分

∴c2>2+c.

∴c<－1或c>2.

…………10分

（Ⅲ）對(duì)任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值.

又

…12分

∴x∈[－1，2]時(shí)，f(x)最小值為.

，故結(jié)論成立.……14分

略21.在四棱錐P﹣ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；（2）求證：CE∥平面PAB．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）由線面垂直得PA⊥CD，由直角性質(zhì)得CD⊥AC，由此能證明平面PAC⊥平面PCD．（2）法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，則EM∥PA．從而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此證明平面EMC∥平面PAB，從而EC∥平面PAB．（2）法二：延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)N，連PN．由已知條件推地出EC∥PN．由此能證明EC∥平面PAB．【解答】證明：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，…又∠ACD=90°，則CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因?yàn)镃D?平面ACD，…所以，平面PAC⊥平面PCD．…（2）證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，則EM∥PA．因?yàn)镋M?平面PAB，PA?平面PAB，所以EM∥平面PAB．…在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，則MC∥AB．因?yàn)镸C?平面PAB，AB?平面PAB，所以MC∥平面PAB．…而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC?平面EMC，從而EC∥平面PAB．

…（2）證法二：延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)N，連PN．因?yàn)椤螻AC=∠DAC，AC⊥CD，所以C為ND的中點(diǎn)．而E為PD中點(diǎn)，所以EC∥PN．因?yàn)镋C?平面PAB，PN?平面PAB，所以EC∥平面PAB．…22.（本題滿(mǎn)分13分）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是(0，-)和(0，)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)E在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)F．（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點(diǎn)A、B，l2交拋物線E于點(diǎn)G、H，求的最小值．參考答案：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，焦距為2c，則由題意得c=，，∴a=2，=1，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

………4分∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．設(shè)拋物線E的標(biāo)