經(jīng)濟(jì)學(xué)根軌跡

4.1根軌跡法基本概念

根軌跡法基本概念

閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系幅角條件和幅值條件

根軌跡法基本概念

!系統(tǒng)特征根的圖解方法根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根在s平面上的位置也隨之變化移動(dòng)，一個(gè)根形成一條軌跡。廣義根軌跡:系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。狹義根軌跡（通常情況）：變化參數(shù)為開(kāi)環(huán)增益K，且其變化取值范圍為0到∞。??希望按性能要求置于合適的位置。閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程根）閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、瞬態(tài)響應(yīng)特性??系統(tǒng)的某些參數(shù)（如開(kāi)環(huán)增益）變化時(shí)，反復(fù)求解，不方便。閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)間的關(guān)系前向通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益前向通道增益開(kāi)環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道零點(diǎn)反饋通道零點(diǎn)前向通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)m個(gè)零點(diǎn)(m=f+l)n個(gè)極點(diǎn)(n=q+h)m個(gè)零點(diǎn)(m=f+l)n個(gè)極點(diǎn)(n=q+h)3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益=開(kāi)環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)=前向通道的零點(diǎn)+反饋通道的極點(diǎn)；2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)；

！根軌跡法：由開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過(guò)解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。單位反饋系統(tǒng)（1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；（2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。幅角條件和幅值條件根軌跡方程m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件1）幅值條件不但與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開(kāi)環(huán)根軌跡增益有關(guān)；2）必要條件：幅角條件（k=0,1,2,…）1）幅角條件只與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)2）充要條件：

?。∮梅菞l件來(lái)繪制根軌跡，用幅值條件來(lái)確定已知根軌跡上某一點(diǎn)K’的值。

4.2繪制根軌跡圖的基本規(guī)則根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡分支數(shù)根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性實(shí)軸上的根軌跡根軌跡的漸近線根軌跡的分離點(diǎn)

根軌跡的起始角和終止角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)閉環(huán)特征方程根之和與根之積2）“×”、“〇”3）加粗線及箭頭1）實(shí)軸、虛軸相同的刻度4）關(guān)鍵點(diǎn)的標(biāo)注！繪制注意點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)幅值條件s值必須趨近于某個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)s值必須趨近于某個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)根軌跡分支數(shù)n階系統(tǒng)，根軌跡有n個(gè)起始點(diǎn)，

系統(tǒng)根軌跡有n個(gè)分支2）實(shí)際物理系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)一般多于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，即n>m。m條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有限值零點(diǎn))；（n－m）條根軌跡分支終止于（n－m）個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。1）系統(tǒng)特征方程的階次為n次特征方程有n個(gè)根

K變化(0到∞

),n個(gè)根隨著變化n條根軌跡。根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性

根軌跡是連續(xù)曲線，且對(duì)稱于實(shí)軸。閉環(huán)特征方程的根在開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)已定的情況下，各根分別是K的連續(xù)函數(shù)；特征方程的根為實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)根。！僅需先購(gòu)畫(huà)出S平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：z1開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p1、p2、p3、p4、p5在實(shí)軸區(qū)段[p2，p3]上取試驗(yàn)點(diǎn)s1每對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為360°；s1左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為0°。s1右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為180°；

？

根軌跡的漸近線當(dāng)系統(tǒng)n>m時(shí)，有（n－m）條根軌跡分支終止于無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。沿著漸近線趨于無(wú)限遠(yuǎn)處，漸近線也對(duì)稱于實(shí)軸（包括與實(shí)軸重合）。漸近線與實(shí)軸的傾角（k=0，1，2，…）：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值：證明1）當(dāng)k值取不同值時(shí)，

a有（n－m）個(gè)值，而

a不變；2）根軌跡在s

∞時(shí)的漸近線為 （n－m）條與實(shí)軸交點(diǎn)為

a

、傾角

a為的一組射線。根軌跡的分離點(diǎn)分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：根軌跡在S平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開(kāi)。分離點(diǎn)必然是為D(s)某一數(shù)值時(shí)的重根點(diǎn)。1、

b坐標(biāo)值由分式方程解出解析法試湊法例2、由極值點(diǎn)求解

b

坐標(biāo)值由解出

b

例必要條件：!!當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k’值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。3、重根法求解

b

證明由解出

b

分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）處的根軌跡的會(huì)合角（或分離角）會(huì)合（或分離）的根軌跡的條數(shù)分離點(diǎn)上的根軌跡的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角r重根

r>1含兩邊求導(dǎo)

b必要條件：!!當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k’值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。

b坐標(biāo)值由分式方程解出根軌跡在S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為s1，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有

或兩式相除或即得解出s1，即為分離點(diǎn)

b根軌跡的起始角和終止角起始角

p:從開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的一支根軌跡，在該極點(diǎn)處根軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。根軌跡起始角的一般計(jì)算式(0～360°)k＝0，1，…

證明

終止角

z:進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處根軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。根軌跡終止角一般計(jì)算式(0～360°)

例根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸相交

閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值K’，由K’值求出相應(yīng)的ω值例2）代數(shù)法代入特征方程聯(lián)立求解，

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)ω值和相應(yīng)的臨界K’值。例閉環(huán)特征方程根之和與根之積系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式zi開(kāi)環(huán)零點(diǎn)si閉環(huán)極點(diǎn)pi開(kāi)環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）與特征方程的系數(shù)關(guān)系：1）(n-m)

2時(shí)，根之和與根軌跡增益K’無(wú)關(guān)，是個(gè)常數(shù)，且有2）根之和不變

K’增大，一些根軌跡分支向左移動(dòng)，則一定會(huì)相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動(dòng)。例分別繪B=4、9、12、∞時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡的大致形狀。分別繪如下閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡的大致形狀。4.3控制系統(tǒng)的根軌跡繪制

已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制根軌跡的大致形狀。一單回路系統(tǒng)二參量根軌跡

控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制以α為參變量的根軌跡以及同時(shí)變化K時(shí)的根軌跡。

以α為參變量的根軌跡方程α＝0不同K值，可得到系統(tǒng)不同根軌跡圖，即根軌跡簇根軌跡與虛軸交點(diǎn)以α為參變量的根軌跡方程m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件“+”“-”“1”幅角條件（k=0,1,2,…）“2kπ”三正反饋系統(tǒng)的根軌跡根軌跡的分支數(shù)(相同)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(相同)根軌跡的對(duì)稱性(相同)實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開(kāi)環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和相應(yīng)為偶數(shù)(0也視為偶數(shù))。根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同)根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)(相同)根軌跡的出射角和入射角離開(kāi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出射角進(jìn)入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的入射角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)閉環(huán)極點(diǎn)的和與積(相同)正反饋系統(tǒng)的根軌跡的基本規(guī)則例m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件幅角條件（k=0,1,2,…）

很小遲滯系統(tǒng)的根軌跡

4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析

根軌跡圖上希望閉環(huán)極點(diǎn)的位置開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響

增加一個(gè)慣性環(huán)節(jié)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的影響

加入一階微分環(huán)節(jié)（s－zc）

加入環(huán)節(jié)增加一對(duì)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的影響開(kāi)環(huán)偶極子|zc|<|pc||zc|>|pc|根軌跡圖上希望閉環(huán)極點(diǎn)的位置二階系統(tǒng)的等Mp線（即等ζ線）二階系統(tǒng)的等ts線開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)上增加極點(diǎn)降低了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性漸近線與實(shí)軸傾角隨著n數(shù)增大而減小根軌跡向右方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著pc增大（pc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而右移，故更靠近原點(diǎn)。向右彎曲趨勢(shì)隨著所增加的極點(diǎn)移近原點(diǎn)而加劇增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響右移極點(diǎn)增加一個(gè)極點(diǎn)的情況開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)上增加零點(diǎn)提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性漸近線與實(shí)軸傾角隨著m數(shù)增大而增加根軌跡向左方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著Zc增大（Zc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而左移增加一個(gè)零點(diǎn)的情況右移零點(diǎn)增加的零點(diǎn)相對(duì)靠近虛軸而起主導(dǎo)作用零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量幅角附加提供一個(gè)超前角

“超前校正”相當(dāng)于附加零點(diǎn)的作用(使根軌跡向左彎曲，改善了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。)|zc|<|pc|增加的極點(diǎn)相對(duì)靠近虛軸而起主導(dǎo)作用附加提供一個(gè)滯后角相當(dāng)于附加極點(diǎn)的作用

(使根軌跡向右彎曲)|zc|>|pc|開(kāi)環(huán)偶極子開(kāi)環(huán)偶極子距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)

極點(diǎn)pc’和零點(diǎn)zc’到較遠(yuǎn)的s點(diǎn)的矢量基本相等；幅值條件和