分支限界法課件

第六章分支限界法理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架隊(duì)列式(FIFO)分支限界法優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法第六章分支限界法理解分支限界法的剪枝搜索策略。第五章分支限界法通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。單源最短路徑問(wèn)題裝載問(wèn)題；布線問(wèn)題0-1背包問(wèn)題；最大團(tuán)問(wèn)題；旅行售貨員問(wèn)題電路板排列問(wèn)題批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題第五章分支限界法通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹;而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。

分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標(biāo)：回溯法分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹。對(duì)已處理的各結(jié)點(diǎn)根據(jù)限界函數(shù)估算目標(biāo)函數(shù)的可能取值，從中選取使目標(biāo)函數(shù)取得極值（極大/極?。┑慕Y(jié)點(diǎn)優(yōu)先進(jìn)行廣度優(yōu)先搜索不斷調(diào)整搜索方向，盡快找到解。特點(diǎn)：限界函數(shù)?；趩?wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，適用于求解最優(yōu)化問(wèn)題。分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗分支限界法的基本思想此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。分支限界法的基本思想此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為分支限界法的基本思想常見的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)結(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。分支限界法的基本思想常見的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIF解空間樹的動(dòng)態(tài)搜索（1）回溯求解0/1背包問(wèn)題，雖剪枝減少了搜索空間，但整個(gè)搜索按深度優(yōu)先機(jī)械進(jìn)行，是盲目搜索（不可預(yù)測(cè)本結(jié)點(diǎn)以下的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行的如何）。（2）回溯求解TSP也是盲目的（雖有目標(biāo)函數(shù)，也只有找到一個(gè)可行解后才有意義）解空間樹的動(dòng)態(tài)搜索（1）回溯求解0/1背包問(wèn)題，雖剪枝減少了解空間樹的動(dòng)態(tài)搜索分支限界法首先確定一個(gè)合理的限界函數(shù)，并根據(jù)限界函數(shù)確定目標(biāo)函數(shù)的界[down,up]；然后按照廣度優(yōu)先策略遍歷問(wèn)題的解空間樹，在某一分支上，依次搜索該結(jié)點(diǎn)的所有孩子結(jié)點(diǎn)，分別估算這些孩子結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)的可能取值（對(duì)最小化問(wèn)題，估算結(jié)點(diǎn)的down，對(duì)最大化問(wèn)題，估算結(jié)點(diǎn)的up）。如果某孩子結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值超出目標(biāo)函數(shù)的界，則將其丟棄（從此結(jié)點(diǎn)生成的解不會(huì)比目前已得的更好），否則入待處理表。解空間樹的動(dòng)態(tài)搜索分支限界法首先確定一個(gè)合理的限界函數(shù)，并根0/1背包的分支限界法過(guò)程1.問(wèn)題描述物品重(w)價(jià)(v)價(jià)/重(v/w)144010274263525543124容量w=10貪心法的解(1,0,0,0)，價(jià)值為40，可作為0/1背包的下界。0/1背包的分支限界法過(guò)程1.問(wèn)題描述物品重(0/1背包的分支限界法過(guò)程2.求解過(guò)程上界ub可用最好情況來(lái)代替ub=w*(v1/w1)=10*10=100目標(biāo)函數(shù)的界[40,100]，一般解空間樹中第i層的各結(jié)點(diǎn)，代表對(duì)物1~i的選擇，可這樣定限界函數(shù)：ub=V+(W-w)*(vi+1/wi+1)可參考板書視圖已裝入價(jià)值剩余容量剩下物品最大單位價(jià)值vi+1/wi+1的積0/1背包的分支限界法過(guò)程2.求解過(guò)程上界ub可用最好情況0/1背包的分支限界法過(guò)程2.總結(jié)從0/1背包問(wèn)題的搜索過(guò)程可看出：與回溯法相比，分支限界法可根據(jù)限界函數(shù)不斷調(diào)整搜索方向，選擇最可能得最優(yōu)解的子樹優(yōu)先進(jìn)行搜索找到問(wèn)題的解。0/1背包的分支限界法過(guò)程2.總結(jié)從0/1背包問(wèn)題的搜索過(guò)分支限界法的設(shè)計(jì)思路設(shè)求解最大化問(wèn)題，解向量為X=(x1,…,xn)，xi的取值范圍為Si，|Si|=ri。在使用分支限界搜索問(wèn)題的解空間樹時(shí)，先根據(jù)限界函數(shù)估算目標(biāo)函數(shù)的界[down,up]，然后從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)，擴(kuò)展根結(jié)點(diǎn)的r1個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)，從而構(gòu)成分量x1的r1種可能的取值方式。對(duì)這r1個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)分別估算可能的目標(biāo)函數(shù)bound(x1)，其含義：以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹所有可能的取值不大于bound(x1)，即：bound(x1)≥bound(x1,x2)≥…≥bound(x1,…,xn)分支限界法的設(shè)計(jì)思路設(shè)求解最大化問(wèn)題，解向量為X=(x1,…分支限界法的設(shè)計(jì)思路若某孩子結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值超出目標(biāo)函數(shù)的下界，則將該孩子結(jié)點(diǎn)丟棄；否則，將該孩子結(jié)點(diǎn)保存在待處理結(jié)點(diǎn)表PT中。再取PT表中目標(biāo)函數(shù)極大值結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展的根結(jié)點(diǎn)，重復(fù)上述。直到一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)時(shí)的可行解X=(x1,…,xn)，及目標(biāo)函數(shù)值bound(x1,…,xn)。分支限界法的設(shè)計(jì)思路若某孩子結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值超出目標(biāo)函數(shù)的下單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明單源最短路徑問(wèn)題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹的剪枝情況。經(jīng)過(guò)不同的路徑到達(dá)相同的頂點(diǎn)ABA優(yōu)于B，B可剪枝單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法單源最短路徑問(wèn)題

while(true){for(intj=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束dist[j]=E.length+c[E.i][j];prev[j]=E.i;

//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列MinHeapNode<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}try{H.DeleteMin(E);} //取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)catch(OutOfBounds){break;} //優(yōu)先隊(duì)列空}}頂點(diǎn)i和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從源點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)單源最短路徑問(wèn)題while(true){頂點(diǎn)i和j間有單源最短路徑問(wèn)題Dijakstra算法：每一步的選擇為當(dāng)前步的最優(yōu),復(fù)雜度為O(n2)。分支限算法：每一步的擴(kuò)散為當(dāng)前耗散度的最優(yōu)。隊(duì)列式分支限界法的搜索解空間樹的方式類似于解空間樹的寬度優(yōu)先搜索，不同的是隊(duì)列式分支限界法不搜索以不可行結(jié)點(diǎn)（已經(jīng)被判定不能導(dǎo)致可行解或不能導(dǎo)致最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)）為根的子樹。按照規(guī)則，這樣的結(jié)點(diǎn)不被列入活結(jié)點(diǎn)表。A->E->Q->MDijakstra算法和分支限法在解決該問(wèn)題的異同：?jiǎn)卧醋疃搪窂絾?wèn)題Dijakstra算法：每一步的選擇為當(dāng)前步單源最短路徑問(wèn)題優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的搜索方式是根據(jù)活結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)確定下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)常用一個(gè)與該結(jié)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)值p來(lái)表示。最大優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定p值較大的結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)通常用一個(gè)最大堆來(lái)實(shí)現(xiàn)最大優(yōu)先隊(duì)列，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先的原則。類似地，最小優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定p值較小的結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，常用一個(gè)最小堆來(lái)實(shí)現(xiàn)，體現(xiàn)最小優(yōu)先的原則。采用優(yōu)先隊(duì)列式分支定界算法解決具體問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選用最大優(yōu)先或最小優(yōu)先隊(duì)列，確定各個(gè)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的p值。Dijakstra算法和分支限法在解決該問(wèn)題的異同：?jiǎn)卧醋疃搪窂絾?wèn)題優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的搜索方式是根據(jù)活結(jié)點(diǎn)的裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這n個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法while(true){

//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)if(Ew+w[i]<=c) //x[i]=1判斷是否可以裝上船EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);

//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的左孩子是選擇,右孩子是不選,總有其它方案.EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n); //x[i]=0Q.Delete(Ew); //取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)if(Ew==-1){ //同層結(jié)點(diǎn)尾部if(Q.IsEmpty()) returnbestw;Q.Add(-1); //同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志Q.Delete(Ew); //取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;} //進(jìn)入下一層}裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法while(true){裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r

bestw時(shí)，可將其右子樹剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)Typewt=Ew+w[i];//左兒子結(jié)點(diǎn)的重量if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列if(i<n)Q.Add(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)if(Ew+r>bestw&&i<n)Q.Add(Ew);//可能含最優(yōu)解Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)右兒子剪枝裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)提前更新best裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

classQNode{QNode*parent; //指向父結(jié)點(diǎn)的指針boolLChild; //左兒子標(biāo)志Typeweight; //結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根結(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解for(intj=n-1;j>0;j--){bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回裝載問(wèn)題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。裝載問(wèn)題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支布線問(wèn)題1.算法思想布線問(wèn)題：印刷電路板將布線區(qū)域劃分成n×m個(gè)方格如圖a所示。精確的電路布線問(wèn)題要求確定連接方格a的中點(diǎn)到方格b的中點(diǎn)的最短布線方案。在布線時(shí)，電路只能沿直線或直角布線，如圖b所示。為了避免線路相交，已布了線的方格做了封鎖標(biāo)記，其它線路不允穿過(guò)被封鎖的方格。布線問(wèn)題1.算法思想布線問(wèn)題：印刷電路板將布線區(qū)域劃分成n布線問(wèn)題1.算法思想一個(gè)布線的例子：圖中包含障礙。起始點(diǎn)為a，目標(biāo)點(diǎn)為b。布線問(wèn)題1.算法思想一個(gè)布線的例子：圖中包含障礙。起始點(diǎn)為布線問(wèn)題1.算法思想解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過(guò)的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。布線問(wèn)題1.算法思想解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起布線問(wèn)題Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移

for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;//頂部和底部for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼設(shè)置邊界的圍墻布線問(wèn)題Positionoffset[4];定義移動(dòng)方向的布線問(wèn)題for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標(biāo)記grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col)) break;//完成布線Q.Add(nbr);}}找到目標(biāo)位置后，可以通過(guò)回溯方法找到這條最短路徑。布線問(wèn)題for(inti=0;i<NumOfN0-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉結(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。0-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行0-1背包問(wèn)題上界函數(shù)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間

b+=p[i];//p[i]表示i的價(jià)值

i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數(shù)0-1背包問(wèn)題上界函數(shù)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余0-1背包問(wèn)題

while(i!=n+1){//非葉結(jié)點(diǎn)

//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)Typewwt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=Bound(i+1);

//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)if(up>=bestp)//右子樹可能含最優(yōu)解AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)（略）}分支限界搜索過(guò)程0-1背包問(wèn)題while(i!=n+1){//最大團(tuán)問(wèn)題給定無(wú)向圖G=(V,E)。如果U

V，且對(duì)任意u,v

U有(u，v)

E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。下圖G中，子集{1,2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖{1,2,5}包含。{1,2,5}是G的最大團(tuán)。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大團(tuán)。1.問(wèn)題描述最大團(tuán)問(wèn)題給定無(wú)向圖G=(V,E)。如果UV，且最大團(tuán)問(wèn)題2.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。最大團(tuán)問(wèn)題2.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。對(duì)于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)(≤)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。否則還要找。最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想算法的while循環(huán)的終止條旅行售貨員問(wèn)題1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。旅行售貨員問(wèn)題1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s],x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法中while循環(huán)的終止旅行售貨員問(wèn)題3.算法舉例參見一個(gè)五結(jié)點(diǎn)的TSP實(shí)例。旅行售貨員問(wèn)題3.算法舉例參見一個(gè)五結(jié)點(diǎn)的TSP實(shí)例電路板排列問(wèn)題算法描述算法開始時(shí)，將排列樹的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。電路板排列問(wèn)題算法描述算法開始時(shí)，將排列樹的根結(jié)點(diǎn)置電路板排列問(wèn)題算法描述do{//結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展if(E.s==n-1){//僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)intld=0;//最后一塊電路板的密度f(wàn)or(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列delete[]bestx;bestx=E.x;bestd=max(ld,E.cd);}s=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。電路板排列問(wèn)題算法描述do{//結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展s=n-1的情電路板排列問(wèn)題算法描述else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)for(inti=E.s+1;i<=n;i++){BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];電路板排列問(wèn)題算法描述else電路板排列問(wèn)題算法描述intld=0;//新插入電路板的密度f(wàn)or(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn)N.x=newint[n+1];N.s=E.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)N.x[j]=E.x[j];N.x[N.s]=E.x[i];N.x[i]=E.x[N.s];H.Insert(N);}elsedelete[]N.now;}delete[]E.x;}計(jì)算出每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)的密度與bestd進(jìn)行比較大于bestd時(shí)加入隊(duì)列電路板排列問(wèn)題算法描述intld=0;//新插入電組合問(wèn)題中使用分支限界法第5章課堂練習(xí)用分支限界法完成設(shè)有n件工作分配給n個(gè)人。將工作j分配給第i個(gè)人所需的費(fèi)用為cij。試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，為每個(gè)人都分配1件不同的工作，并使總費(fèi)用達(dá)到最小。設(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算最佳工作分配方案，使總費(fèi)用達(dá)到最小。

組合問(wèn)題中使用分支限界法第5章課堂練習(xí)用分支限界法完成設(shè)有n組合問(wèn)題中使用分支限界法第5章課堂練習(xí)用分支限界法完成工作1234人員a人員b人員c人員d如何求得一個(gè)分配成本的上、下界呢？矩陣對(duì)角線、貪心算法求近似解？組合問(wèn)題中使用分支限界法第5章課堂練習(xí)用分支限界法完成工作1批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題1.問(wèn)題的描述給定n個(gè)作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個(gè)作業(yè)Ji都有2項(xiàng)任務(wù)要分別在2臺(tái)機(jī)器上完成。每一個(gè)作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后再由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時(shí)間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對(duì)于一個(gè)確定的作業(yè)調(diào)