不定積分的概念與性質(zhì)

第四章微分法:積分法:互逆運(yùn)算不定積分§4.1不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質(zhì)例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念問題:

1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).注意：(1)原函數(shù)不唯一;例(2)原函數(shù)之間的關(guān)系:若和都是的原函數(shù)，不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量例1

求解解例2

求例3

設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為注:1)求導(dǎo)數(shù)與求不定積分是互逆運(yùn)算2)同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會(huì)不同可用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證正確性.實(shí)例積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表基本積分表

是常數(shù));說明：簡(jiǎn)寫為例4

求積分解根據(jù)積分公式（2）證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)證例5

求積分解說明：

被積函數(shù)需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.分項(xiàng)積分例6

求積分解分項(xiàng)積分解：原式例7：求加項(xiàng)減項(xiàng)例8

求積分解例9：求解：原式三角公式三角公式例10

求積分解

利用三角公式內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)思考與練習(xí)1.

若提示:2.若是的原函數(shù),則提示:已知3.若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個(gè)原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為4.

求下列積分:提示:5.求不定積分解：6.已知求A,B.解:

等式兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得作業(yè)P192

2

(1),(3),(5),(7),…(25);2;5;6思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)