文化發(fā)展與希臘數(shù)學(xué)的興起

文化發(fā)展與希臘數(shù)學(xué)的興起

0文化發(fā)展對(duì)希臘數(shù)學(xué)的促進(jìn)作用希臘是歐洲文明的起源地。經(jīng)濟(jì)和文化的繁榮促進(jìn)了希臘數(shù)學(xué)的繁榮發(fā)展，許多希臘數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。許多希臘數(shù)學(xué)家在學(xué)習(xí)哲學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的問(wèn)題。哲學(xué)家擅長(zhǎng)討論和探索，也促進(jìn)了希臘數(shù)學(xué)在演繹和發(fā)展的發(fā)展。從希臘數(shù)學(xué)的興起和發(fā)展來(lái)看，文化發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)研究的有益有益。1泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯的演繹推理古希臘的文化在世界文化史上占據(jù)了十分重要的地位,注重人與自然的關(guān)系,注重演繹推理為特征的希臘文化,給人類留下了許多珍貴的遺產(chǎn).希臘數(shù)學(xué)深受希臘文化體系的影響,重視抽象、演繹、體系,數(shù)學(xué)被尊稱為“學(xué)”,是成體系的學(xué)問(wèn).哲學(xué)、邏輯、力學(xué)、天文學(xué)、建筑、音樂(lè)、藝術(shù)等都與數(shù)學(xué)關(guān)系密切,在某種意義上對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起到了積極的促進(jìn)作用希臘數(shù)學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者是兩位著名的哲學(xué)家,即泰勒斯(Thales,公元前624—548年)和畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前572—479年).遺憾的是,他們沒(méi)有留下任何著作,但是,在注重演繹推理的希臘文化體系框架下,他們的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)及數(shù)學(xué)思想通過(guò)后人在認(rèn)知與實(shí)踐中的應(yīng)用,卻為希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ),并起到了積極的推動(dòng)作用.1.1泰勒斯對(duì)希臘數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)泰勒斯是希臘史上最早的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家,他提出了5個(gè)數(shù)學(xué)定理數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn),并非泰勒斯對(duì)希臘數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn).泰勒斯對(duì)希臘數(shù)學(xué)的重要意義在于他開(kāi)創(chuàng)了對(duì)命題的證明,開(kāi)創(chuàng)了應(yīng)用邏輯方式推證命題的實(shí)踐.這一重要貢獻(xiàn)為后來(lái)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家提供了理論概括的科學(xué)依據(jù),為演繹幾何的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).1.2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)成就畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是在將數(shù)學(xué)放在極高的位置、以數(shù)學(xué)為“學(xué)”的希臘文化中孕育出來(lái)的.畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)建了一個(gè)兼有宗教、哲學(xué)和政治性質(zhì)的神秘團(tuán)體,即學(xué)術(shù)史上的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物之本源,即所謂的“萬(wàn)物皆數(shù)”,他們關(guān)于數(shù)是萬(wàn)物本源的理論促使他們以推理而不是以實(shí)踐去探究數(shù)學(xué)定理,使數(shù)學(xué)更接近一門(mén)純理智的學(xué)科,從而推動(dòng)論證數(shù)學(xué)的誕生.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)成就主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.1.2.1幾何圖形的帶借助幾何圖形(或點(diǎn)陣)來(lái)表示的數(shù)叫形數(shù),形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶,體現(xiàn)了數(shù)形合一的數(shù)學(xué)思想.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的早期學(xué)者繼承了上古時(shí)代以卵石計(jì)數(shù)的傳統(tǒng),常用平面上的點(diǎn)代表數(shù)(指自然數(shù)).他們將這些點(diǎn)排成幾何圖形(或點(diǎn)陣),進(jìn)而結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)推出數(shù)的性質(zhì).1.2.2計(jì)數(shù)和個(gè)數(shù).“萬(wàn)物皆數(shù)”學(xué)說(shuō)促進(jìn)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)整數(shù)進(jìn)行分類研究.他們把整數(shù)劃分為奇數(shù)和偶數(shù),又從因數(shù)分解著眼,根據(jù)一個(gè)數(shù)與其真因子和的關(guān)系,把整數(shù)劃分為完全數(shù)、過(guò)剩數(shù)和虧數(shù).例如:6=1+2+3,故6是完全數(shù);12<1+2+3+4+6,故12是一個(gè)過(guò)剩數(shù);8>1+2+4,故8是一個(gè)虧數(shù).1.2.33種平均值2個(gè)數(shù)1.2.4勾股個(gè)數(shù)的發(fā)現(xiàn)勾股定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理,人們把滿足勾股定理的3個(gè)正整數(shù),叫做勾股數(shù)組,西方則稱之為畢達(dá)哥拉斯數(shù)組.畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了勾股數(shù)組公式:1.2.5幾何圖形的相似理論和平滑理論早期畢氏學(xué)派誤以為任何兩個(gè)同類的幾何量都是可公度的,因此,他們根據(jù)整數(shù)間的比例關(guān)系建立起關(guān)于圖形相似的理論,從而把幾何問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)整數(shù)及其比例的研究.晚期畢氏學(xué)派進(jìn)一步建立了平行線理論,證明了三角形全等定理和三角形內(nèi)角和定理,為平面幾何的直線形內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).1.2.6發(fā)現(xiàn)不可公度比的存過(guò)去的比例理論是建立在任何兩個(gè)同類的量都可公度的基礎(chǔ)上的.不可公度線段的發(fā)現(xiàn)使人們對(duì)由此而建立起來(lái)的定理產(chǎn)生了懷疑.關(guān)于不可公度線段的著名例子是畢氏學(xué)派證明正方形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)沒(méi)有公度(假如有公度,奇數(shù)就會(huì)等于偶數(shù)).不可公度線段的發(fā)現(xiàn),是畢氏學(xué)派的一大功績(jī).為此,幾乎所有希臘數(shù)學(xué)家都不能理解和接受無(wú)理數(shù),出現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī).2辯論與演繹證明的對(duì)比希臘數(shù)學(xué)一開(kāi)始就和哲學(xué)結(jié)合在一起,并將哲學(xué)界流行的辯論之風(fēng)引入到數(shù)學(xué)研究中,要求對(duì)任何數(shù)學(xué)命題都給出證明.善于辯論的哲學(xué)傳統(tǒng),為數(shù)學(xué)研究開(kāi)創(chuàng)了百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)氛圍,使數(shù)學(xué)命題的證明更趨嚴(yán)密,演繹證明逐漸完善.爭(zhēng)鳴,讓希臘數(shù)學(xué)進(jìn)入輝煌時(shí)期.希臘數(shù)學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)推理及數(shù)學(xué)方法,追求完美的理想.強(qiáng)調(diào)將知識(shí)加以演繹推理,并將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在演繹體系中表述出來(lái).2.1數(shù)學(xué)模型的悖論及其當(dāng)代價(jià)值芝諾(Zeno,公元前490—425年)是埃利亞學(xué)派創(chuàng)始人,曾因提出一系列悖論而語(yǔ)驚四座,并因無(wú)人能駁倒他那些看似荒謬的論點(diǎn)而名操一時(shí).其中,關(guān)于運(yùn)動(dòng)的3個(gè)悖論深刻揭示了有限與無(wú)限、連續(xù)與離散之間的矛盾,在數(shù)學(xué)史上有著不朽的價(jià)值.2.1.12級(jí)運(yùn)動(dòng)物體在到達(dá)目的地之前必須先抵達(dá)全程的一半,為此又必須走過(guò)一半的一半,等等,直至無(wú)窮.因而,運(yùn)動(dòng)是不可能的.2.1.2作為參照系的代理法個(gè)別和一個(gè)發(fā)點(diǎn)要想追上在前面跑的烏龜,必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),而那時(shí)烏龜又已經(jīng)跑過(guò)前面的一段路程了,如此等等,因而永遠(yuǎn)追不上.這個(gè)悖論同二分說(shuō)實(shí)質(zhì)上是一樣的,只是把問(wèn)題說(shuō)得更生動(dòng).2.1.3芝諾悖論對(duì)希臘數(shù)學(xué)思想的影響箭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任一瞬間時(shí)必在一個(gè)確定的位置上,即是靜止的.而時(shí)間是由無(wú)限多個(gè)瞬時(shí)組成的,因而,箭就動(dòng)不起來(lái).希臘數(shù)學(xué)的進(jìn)程表明,芝諾悖論對(duì)希臘數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生了極大影響.首先,它加深了希臘數(shù)學(xué)家對(duì)于“無(wú)限的恐怖”,無(wú)限成為一種禁忌,被拒絕在希臘數(shù)學(xué)之外,由此而產(chǎn)生的結(jié)果是,在柏拉圖以前已得到發(fā)展的無(wú)限算法被停止了,代之而起的是嚴(yán)密性較強(qiáng)而探索性較差的窮竭法.更大的影響則在于促進(jìn)了希臘人對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密思維的追求.2.2希臘化圓為方問(wèn)題的數(shù)學(xué)理念公元前5世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家,已經(jīng)習(xí)慣于用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作圖了.在他們看來(lái),直線和圓是可以信賴的最基本圖形,而直尺和圓規(guī)是這兩種圖形的具體體現(xiàn).因而,只有用尺規(guī)作出的圖形才是可信的.于是,他們熱衷于在尺規(guī)限制下探討幾何作圖問(wèn)題.所謂三大幾何作圖難題就是在這種背景下產(chǎn)生的,問(wèn)題難在作圖工具的限制上.一旦突破作圖工具的限制,便能得到許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).三大作圖難題是指:立方倍積問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題.圍繞3個(gè)作圖問(wèn)題,希臘數(shù)學(xué)家表現(xiàn)了杰出的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于立方倍積問(wèn)題,希波克拉底(Hippocrates,公元前5世紀(jì)唯一有數(shù)學(xué)殘稿留存的著名幾何學(xué)家)設(shè)想出了將問(wèn)題簡(jiǎn)化為:作兩給定線段希波克拉底的方法開(kāi)拓了解立方倍積問(wèn)題的思路,后來(lái)的研究者都集中于解決用尺規(guī)作出兩給定線段的兩個(gè)比例中項(xiàng).雖然沒(méi)有能在尺規(guī)作圖的限制下解決,但在探究解法的過(guò)程中,數(shù)學(xué)家們獲得了許多重要的結(jié)果.在求解三等分任意角問(wèn)題時(shí),希臘數(shù)學(xué)家從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)發(fā)明了割圓曲線以及用螺線求解的方法,相繼發(fā)展了高等幾何,反映出希臘數(shù)學(xué)所達(dá)到的高度.研究化圓為方問(wèn)題時(shí),數(shù)學(xué)家安蒂豐(Antiphon,公元前430年)直覺(jué)地認(rèn)識(shí)到當(dāng)圓的內(nèi)接多邊形的邊數(shù)不斷倍增時(shí),這個(gè)內(nèi)接正多邊形邊數(shù)將越來(lái)越接近圓,“最后”的正多邊形必將與圓重合,即多邊形與圓的“差”必將窮竭.因此,后人認(rèn)為是安蒂豐首先提出了“窮竭法”.但事實(shí)上“最后”的正多邊形是無(wú)法達(dá)到的.邊數(shù)不斷倍增的過(guò)程一旦中斷,多邊形仍是多邊形,圓仍是圓,“重合”是不可能實(shí)現(xiàn)的.因而,后來(lái)數(shù)學(xué)家在對(duì)待化圓為方問(wèn)題時(shí)是持慎重態(tài)度的.該方法作為一種求圓的面積的近似方法,是很有價(jià)值的.注重演繹與體系的希臘文化,使得三大作圖難題的研究在數(shù)學(xué)史上持續(xù)了兩千多年.18世紀(jì),人們用代數(shù)方法對(duì)尺規(guī)作圖的可能性問(wèn)題進(jìn)行了深入研究,把幾何作圖問(wèn)題劃歸為一個(gè)代數(shù)方程加以考慮.一個(gè)尺規(guī)作圖問(wèn)題能否解決,要看與此問(wèn)題相應(yīng)的代數(shù)方程能否通過(guò)對(duì)系數(shù)進(jìn)行加減乘除和開(kāi)平方運(yùn)算求出,最后得出的結(jié)論是,三大幾何作圖問(wèn)題都是無(wú)法解決的.2.3拉丁語(yǔ)和亞里士多德的數(shù)學(xué)思想2.3.1柏拉圖在希臘數(shù)學(xué)經(jīng)典中的表現(xiàn)柏拉圖(Plato,公元前427—347年)是希臘歷史上第一位有大量著作傳世的哲學(xué)家,是西方客觀文化的創(chuàng)始人.原本喜愛(ài)文學(xué)的柏拉圖和蘇格拉底相識(shí)后,對(duì)哲學(xué)產(chǎn)生了極大的興趣,他雖然不是專業(yè)數(shù)學(xué)家,但由于他大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué),熱心數(shù)學(xué)教育事業(yè),對(duì)希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了積極的促進(jìn)作用.柏拉圖的傳世之作是《理想國(guó)》,在這部經(jīng)典中,哲學(xué)問(wèn)題、道德問(wèn)題、教育問(wèn)題、民主問(wèn)題等與人類息息相關(guān)的文化問(wèn)題均有涉獵.柏拉圖在《理想國(guó)》中反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)具有培養(yǎng)思維能力、增進(jìn)才智的作用.柏拉圖主張,數(shù)學(xué)定理必須從一些公認(rèn)的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行演繹證明,這一思想可以看做是公理方法的開(kāi)端2.3.2園林的比例論柏拉圖學(xué)園造就了一批數(shù)學(xué)家,他們繼承畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)傳統(tǒng),把論證數(shù)學(xué)推向成熟階段.該學(xué)園的數(shù)學(xué)成就主要是:1)提出了比例論和窮竭法.該學(xué)園的比例論排除了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派只適用于可公度量的算術(shù)方法,純粹用公理法建立理論,無(wú)論所涉及的量可否公度都能適用,從而克服了因不可公度量的發(fā)現(xiàn)所造成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī).2)對(duì)無(wú)理量和正多面體的研究.該學(xué)園研究了一般的二次及更高次不盡根,討論了一些有關(guān)性質(zhì).發(fā)現(xiàn)了正8面體和正20面體的構(gòu)圖方法,并且證明了在這5種正多面體之外不可能有其他正多面體.3)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線.柏拉圖學(xué)園在考慮倍立方問(wèn)題時(shí)研究了希波克拉底得出的關(guān)系式3注重演繹推理的希臘文化使希臘數(shù)學(xué)進(jìn)入歷史時(shí)代公元前4世紀(jì)末,亞歷山大城建造了一個(gè)規(guī)模宏大的亞歷山大大學(xué)和一個(gè)大圖書(shū)館,一些有名望的學(xué)者到這里從事研究.由于數(shù)學(xué)是當(dāng)時(shí)一切學(xué)科的核心,所以亞歷山大城成為數(shù)學(xué)的中心.在這個(gè)數(shù)學(xué)中心里,所得到的法則大多是經(jīng)驗(yàn)性的,是簡(jiǎn)單事例的推廣,人們追求知識(shí)是由于需要的驅(qū)使.為了知識(shí)而去追求知識(shí)的希臘文化,使得一些古希臘數(shù)學(xué)家從古文化中繼承原始資料,在對(duì)原始資料的研究中尋找嚴(yán)格演繹證明的方法,尋找在定義、公理和公設(shè)的基礎(chǔ)上通過(guò)一系列定理來(lái)發(fā)現(xiàn)一門(mén)學(xué)科,以及不斷爭(zhēng)取全面推廣和抽象的方法.公元前3世紀(jì)前后,希臘數(shù)學(xué)發(fā)展到峰巔,出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼斯三大幾何學(xué)家,他們的成就不僅是空前的,也是身后1000多年時(shí)間內(nèi)無(wú)人可及的.因此,他們生活的年代被稱之為希臘數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代.3.1《幾何原本》的歷史貢獻(xiàn)歐幾里得(Euclid,公元前330—275年)生于雅典,早年在柏拉圖學(xué)園受過(guò)教育,以《幾何原本》著稱于世.《幾何原本》的部分內(nèi)容來(lái)自前人,一些不嚴(yán)格的證明也納入其中.《幾何原本》的重要性與其說(shuō)是羅列了大量舊定理或證明了若干新定理,不如說(shuō)是示范了公理化體系的巨大威力,將數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性推上了前所未有的高度.《幾何原本》共13卷,總計(jì)460多個(gè)命題.這本書(shū)不單講幾何,還涉及初等數(shù)論和幾何式代數(shù).其歷史貢獻(xiàn)主要表現(xiàn)在以下3個(gè)方面.1)《幾何原本》從少數(shù)幾個(gè)公理出發(fā),由簡(jiǎn)到繁地推演出460多個(gè)命題,建立起人類歷史上第一個(gè)完整的公理演繹體系,成為數(shù)學(xué)史上的一座豐碑,是希臘數(shù)學(xué)的最大成就.2)《幾何原本》是西方教育的依據(jù),從古代到19世紀(jì),它不僅是幾何學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū),而且被認(rèn)為是研究數(shù)學(xué)的人必讀的經(jīng)典,因而有“數(shù)學(xué)家的圣經(jīng)”這一美稱.3)歐幾里得為幾何證明提供了規(guī)范,其中許多證明是他本人獨(dú)創(chuàng)的,表現(xiàn)出了很高的技巧.書(shū)中的證明方法主要是綜合法、分析法和歸謬法(反證法)3.2《圓錐曲線》的歷史貢獻(xiàn)阿波羅尼斯(Apollonius,公元前262—190年)生于小亞細(xì)亞西北部的城市,他寫(xiě)過(guò)多部數(shù)學(xué)著作,以《圓錐曲線》最為成功.《圓錐曲線》分8卷,共487個(gè)命題.阿波羅尼斯的《圓錐曲線》不同于現(xiàn)代的解析幾何,原因在于阿波羅尼斯是用幾何方法研究幾何性質(zhì)的,他的“方程”是用幾何語(yǔ)言描述的.在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,無(wú)法引用適用于平面上所有的點(diǎn)的坐標(biāo),也無(wú)法建立一般的函數(shù)關(guān)系式,因而,也就不可能進(jìn)入現(xiàn)代解析幾何領(lǐng)域.阿波羅尼斯的《圓錐曲線》的歷史貢獻(xiàn)在于:依靠改變截面的角度從一對(duì)頂圓錐得到3種圓錐曲線,得到和3種圓錐曲線方程等價(jià)的幾何關(guān)系式.系統(tǒng)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì),例如:圓錐曲線的弦、直徑、共軛直徑、切線、法線、雙曲線的漸近線、有心曲線的中心等性質(zhì).全書(shū)有嚴(yán)密的公理體系,是《幾何原本》之后又一登峰造極的幾何學(xué)巨著.3.3阿基米德的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)阿基米德(Archimedes,公元前287—212年)出生時(shí),古希臘的輝煌文化已經(jīng)逐漸衰退,經(jīng)濟(jì)、文化中心逐漸轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大城,意大利半島上新興的羅馬共和國(guó)正不斷地?cái)U(kuò)張勢(shì)力.新舊勢(shì)力交替的時(shí)代,也是最容易孕育新思想、產(chǎn)生新文化的時(shí)代.阿基米德是一位有著輝煌成就的數(shù)學(xué)家,后人把他與牛頓、高斯并列為3位最偉大的數(shù)學(xué)家.阿基米德還是一位偉大的物理學(xué)家、發(fā)明家,他注重用數(shù)學(xué)方法處理工程和力學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題,被稱為“力學(xué)之父”.阿基米德的著作有些像現(xiàn)代的論文,都以小冊(cè)子的形式出現(xiàn),流傳到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)著作有《拋物弓形求積》《論方法》《論劈椎體與球形體》《圓的度量》《論球和圓柱》《論螺線》《論砂數(shù)》.還有兩本物理著作《論浮體》《論平板的平衡》.阿基米德代表了古代數(shù)學(xué)用有限方法處理無(wú)限問(wèn)題的最高水準(zhǔn),得出了許多今日要用極限和微積分推算的結(jié)果.他首先從事定量研究,突破了古典時(shí)期幾何定性研究的傳統(tǒng),例如:歐幾里得只滿足于證明“兩圓面積之比等于它們的直徑平方之比”,而阿基米德則要努力追求π的高精度的近似值,以便求出圓的面積.我們今天用的拋物弓形面積公式,球、球缺、橢球體等體積公式都是由阿基米德發(fā)現(xiàn)的.4重視抽象、演繹及體系的希臘文化推動(dòng)了三角學(xué)的創(chuàng)立和數(shù)學(xué)模式的起源早在公元前300年,古埃及人就有了一定的三角學(xué)知識(shí),主要用于測(cè)量.從公元前2世紀(jì)開(kāi)始,由于天文研究的需要,希臘數(shù)學(xué)開(kāi)始了由定性研究向定量研究的轉(zhuǎn)變,理論幾何被逐漸淡化,并創(chuàng)立了三角學(xué).淡化理論幾何的又一反映是算術(shù)和代數(shù)作為一門(mén)獨(dú)立學(xué)科的發(fā)展,重視抽象、演繹及體系的希臘文化,促使希臘數(shù)學(xué)家開(kāi)始思考用符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)量與量之間的關(guān)系、數(shù)學(xué)公理、數(shù)學(xué)公式,并以丟番圖的簡(jiǎn)字代數(shù)的形式表現(xiàn)出希臘數(shù)學(xué)思想新的突破.在將數(shù)學(xué)尊稱為“學(xué)”、是成體系的學(xué)問(wèn)的希臘文化環(huán)境里.在三角學(xué)的初創(chuàng)中,由于數(shù)學(xué)符號(hào)的使用,為三角學(xué)的發(fā)展提供了便利.三角學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展,又為數(shù)學(xué)符號(hào)體系的進(jìn)一步完善打下了基礎(chǔ).因而,三角學(xué)的初創(chuàng)和代數(shù)符號(hào)化的起源,是希臘數(shù)學(xué)家們努力的必然結(jié)果.4.1《唐》的弦表及其應(yīng)用托勒密(公元前87—165年)是希臘天文學(xué)和三角術(shù)的集大成者,他傳世的幾部