計量地理學(xué)-3.5-主成分分析

主成分分析的基本原理主成分分析的計算步驟主成分分析方法應(yīng)用實例主成分分析問題的提出地理系統(tǒng)是多變量要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計分析方法。從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。主成分分析的基本原理在某多要素地理系統(tǒng)中，假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣：地理數(shù)據(jù)樣本數(shù)n，自然是越大越好，也即數(shù)據(jù)矩陣的行數(shù)n越大越好。地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值較大時，一方面在p維空間中考察問題較為麻煩，另一方面大量變量之間可能有相關(guān)性的重復(fù)。為了克服這一困難，就需要進行降維處理。地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值應(yīng)該是少而精。主成分分析是用較少幾個綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新的綜合變量指標(biāo)，則考慮每個新變量都是由原所有變量的線性加權(quán)總和所構(gòu)成：lij如何確定這些系數(shù)lij？系數(shù)lij的確定原則：①

zi與zj（i≠j;i,j=1,2,…,m）相互無關(guān)；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者；z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者;………………zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP的所有線性組合中方差最大者。保證新變量之間彼此獨立沒有相關(guān)性新變量依次分別降序排列地保留原變量所包含的信息這樣得到的新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷系數(shù)lij分別是原變量相關(guān)系數(shù)矩陣的m個較大特征根所對應(yīng)的特征向量。從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分變量zi（i=1，2，…，m）上的荷載

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。載荷系數(shù)lij的確定遵循兩個原則主成分分析的計算步驟①計算相關(guān)系數(shù)矩陣②計算特征值與特征向量③計算主成分貢獻(xiàn)率及累計貢獻(xiàn)率④計算主成分載荷⑤各主成分的得分?jǐn)?shù)據(jù)基礎(chǔ)求解出待定的系數(shù)lij確定主成分變量個數(shù)求解主成分變量載荷系數(shù)lij確定主成分變量的數(shù)據(jù)內(nèi)容及貢獻(xiàn)程度①計算相關(guān)系數(shù)矩陣rij(i,j=1,2,…,p)為原變量xi與xj的單相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：②計算特征值與特征向量求解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列；相關(guān)系數(shù)矩陣特征根個數(shù)與相關(guān)系數(shù)矩陣的階數(shù)一致，即原變量有p個，特征根也有p個。然后再分別求出對應(yīng)于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個分量。p個特征根對應(yīng)于p個主成分變量，與原變量個數(shù)相同，沒有達(dá)到數(shù)據(jù)降維要求？③計算主成分貢獻(xiàn)率及累計貢獻(xiàn)率主成分貢獻(xiàn)率：主成分累計貢獻(xiàn)率：一般取累計貢獻(xiàn)率達(dá)85%~95%的特征值