2021年九年級數(shù)學中考復習小突破訓練：直角三角形中30度角的性質(zhì)應用（附答案）

2021年九年級數(shù)學中考復習小專題突破訓練：直角三角形中30。角的性質(zhì)應用（附答案）

I.如圖，在AABC中，ZB=30°,BC的垂直平分線交AB于點E,垂足為O,CE平分N

ACB.若BE=2,則AE的長為（）

A.V3B.1C.V2D.2

2.如圖，中，ZACB=90°,NABC=60°,BC=2cm,力為8C的中點，若動

點E以Icro/s的速度從A點出發(fā)，沿著A-B-A的方向運動，設E點的運動時間為f秒

（0Wt<6）,連接OE,當△8OE是直角三角形時，r的值為（）

A.2B.2.5或3.5

C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5

3.如圖，在RtZVlBC中，CM平分/ACB交AB于點M,過點M作MN〃BC交AC于點M

且MN平分N4WC,若AN=1,則BC的長為（）

A.4B.6C.V3D.8

4.如圖，在△ABC中，AB=ACfZB=30°，AD±AB,交BC于點、D,AO=4,貝lj3C的

長為（）

A.8B.4C.12D.6

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AO平分NCA3交3c于點D,E為AB上

一點，連接OE,則下列說法錯誤的是（）

A.ZCAD=30°B.AD=BDC.BD=2CDD.CD=ED

6.如圖，△ABC中,ZC=90°,AC=3,ZB=30°，點尸是BC邊上的動點，則AP長

不可能是（）

A.3.5B.4.2C.5.8D.7

7.如圖，在△ABC中，ZA=90°,ZC=30°,4O_L3C于。，BE是NA8C的平分線,

且交A0于尸，如果4P=2,則AC的長為（）

A.2B.4C.6D.8

8.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AEFG的位置，此時點。恰好與AF的中點重合,

AE交CD于點H,若BC=2A/3，則HC的長為（）

C.3A/3D.6

9.如圖，在△ABC中，/C=90°,點E是AC上的點，且/1=N2,OE垂直平分AB,

垂足是O,如果EC=3c?n,則4E等于（）

A.3cmB.4C/HC.6cmD.9cm

1（）.如圖，在△ABC中，NAC8=9（）°,BC的垂直平分線交AB于點。，垂足為E,當4B

=10,ZB=30°時，△ACD的周長為（）

A.12B.14C.15D.16

11.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖.其中A&CD分別表示一樓、二樓

地面的水平線，ZABC=\50°,BC的長是8加，則乘電梯從點B到點C上升的高度h

是（）

12.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,C￡>是斜邊AB上的高，AO=3CTH,則

BD的長度是（）

c

A.3cmB.6cmC.9cmD.\2cm

13.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,ZBAC=120°,AO是△ABC的中線，AE是NBA。

的角平分線，。尸〃AB交的延長線于點F,則。尸的長是（）

A.2B.4C.5D.5

2

14.如圖，在等邊三角形A8C中，BC=2,。是AB的中點，過點。作。FLAC于點F,

過點F作EFLBC于點E,則BE的長為（）

15.如圖，在△4BC中，ZA=45°,ZB=30°,CDLAB,垂足為。，CD=\,貝ljAB的

長為（）

A.2B.2A/3C.D.A/3+1

3

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,/C=30°,AB1AD,A￡>=8,BC的長是（）

A.16B.24C.30D.32

17.如圖，已知等邊三角形48c的邊長為3,過AB邊上一點尸作于點E,。為

BC延長線上一點，取物=C。，連接P。，交AC于例，則的長為.

18.如圖，在邊長為4的等邊△A8C中，D,E分別為AB,BC的中點，E214c于點凡

G為EF的中點，連接。G,則。G的長為.

19.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30",A。平分/CAB,交BC于點D,若CD

=1,貝.

20.在等腰4ABC中，4OJ_BC交直線BC于點D,若則AABC的頂角的度數(shù)

2

為

21.等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則這個等腰三角形的頂角為度.

22.如圖,△ABC中，NC=90°，/A8C=60°,80平分NA8C,若AQ=6,則C￡>=

23.如圖，在RtaABC中，CM平分N4CB交AB于點M,過點M作MN〃BC交AC于點

N,且MN平分NAMC,若AN=1,則8c的長為.

24.如圖，/AOB=30°,OC^^-ZAOB,尸為OC上一點，PO〃OA交08于點。，PE

_1_。4于E,0D=4cm,則尸E=.

25.如圖，在△4BC中，AB=AC,/A=120°,AB的垂直平分線交BC于M,交AB于E,

AC的垂直平分線交BC于N,交AC于F,若MN=2,則NF=.

26.已知等腰AABC中，AC8c于點￡?,S.AD^—BC,則aABC底角的度數(shù)為.

2

27.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°，點。在線段BC上，且NB=30°,ZADC=60°,

BC=3次，則BD的長度為.

B

28.如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AQ_LAC交BC于點￡>,AD=3,則BC

29.如圖，在△48C中，AB=AC,NBAC=120°，點。為△ABC外一點，連接BD、A。、

CD,ZADC=60Q,BD=5,DC=4,則AD=.

30.如圖，在△4BC中，BA=BC,ZABC=120°,BDLBC交AC于點D,BD=1,則4c

的長.

B

D

31.如圖，Rl/XABC中，ZACB=90°,NA=15°,AB的垂直平分線與AC交于點O,與

4B交于點E,連接BD.若AD=14,則BC的長為

32.如圖，在RtZiABC中，NC=90°,ZA=30°,是NA8C的平分線，CD=5,則

AD=.

B

33.如圖(1),RtZ\AOB中，/A=90°,ZAOB=60°,0B=2/3,NAOB的平分線0c

交AB于C,過O點作與OB垂直的直線ON.動點P從點B出發(fā)沿折線BC-CO以每秒

1個單位長度的速度向終點O運動，運動時間為，秒，同時動點Q從點C出發(fā)沿折線CO

-ON以相同的速度運動，當點尸到達點0時尸、。同時停止運動.

(1)求。C、BC的長；

(2)設△CPQ的面積為S,求S與，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當P在0C上。在ON上運動時，如圖(2),設PQ與0A交于點M,當r為何值

時，△0PM為等腰三角形？求出所有滿足條件的f值.

34.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、

N,且0M=6c〃?，NOMN=30°,等邊△ABC的頂點8與原點0重合，2C邊落在x軸

的正半軸上，點A恰好落在線段MN上，如圖2,將等邊△48C從圖1的位置沿x軸正

方向以hm/s的速度平移，邊A8、AC分別與線段MN交于點E、F,在△ABC平移的同

時，點P從AABC的頂點8出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線8-AfC運動，當點P達到點

C時，點尸停止運動，△ABC也隨之停止平移.設aABC平移時間為，(s),△「￡下的

面積為S(.cm2).

(1)求等邊△ABC的邊長;

(2)當點P在線段8A上運動時，求S與r的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量f的取值范圍;

(3)點尸沿折線B-A-C運動的過程中，是否在某一時刻，使△PEF為等腰三角形？

若存在，求出此時r值；若不存在，請說明理由.

35.如圖，RtZ\AC8中，ZACB=90°ZA=30°,/ABC的角平分線BE交AC于點E.點

。為AB上一點，且AD=AC,CD,BE交于點M.

(1)求的度數(shù)；

(2)若CH1,BE于點H,證明：AB=4MH.

36.已知NMAN,AC平分NMAN.

(1)在圖1中，若NM4N=120°,/4BC=NAOC=90°,求證：AB+AO=AC；

(2)在圖2中，若NMAN=120°,NABC+NA3C=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍然

成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由.

37.如圖，在平行四邊形48CD中，AE是8c邊上的高，點E是OE的中點，A8與AG關(guān)

于4E對稱，AE與A尸關(guān)于AG對稱.

(1)求證：△AE尸是等邊三角形;

(2)若AB=2,求△AF￡>的面積.

38.如圖：已知等邊△ABC中，力是AC的中點，E是8c延長線上的一點，且CE=C￡>,

DM1.BC,垂足為仞，

(1)求證：M是2E的中點.

(2)若C￡>=1,DE=a，求△A8D的周長.

A

39.圖1所示的是某超市入口的雙翼閘門，如圖2,當它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A

與8之間的距離為10c〃?，雙翼的邊緣AC=BO=54”"，且與閘機側(cè)立面夾角NPCA=N

8。。=30°,求當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度.

圖1圖2

40.如圖，在△48C中，于點。，CELAB于點E,點M、N分別是BC、OE的中

點.

(1)猜想，MN與。E的位置關(guān)系，并證明;

(2)若NA=60°,求典的值.

DE

BM

參考答案

1.解：：在△ABC中，N8=30°,BC的垂直平分線交A8于E,BE=2,

:.BE=CE=2,

:.NB=NDCE=30°,

平分NACB,

AZACB=2ZDC￡=60°,NACE=NQC￡=30°,

.*.NA=180°-ZB-ZACB=90°.

在Rt/XCAE中，VZA=90°,N4CE=30°,CE=2,

??AE=~~CE=1.

2

故選：B.

2.解：：RtZVIBC中，ZACB=90°,N4BC=60°,BC=2cm,

：.AB=2BC^4(cm),

,:BC=2cm,。為BC的中點，動點E以lc%/s的速度從A點出發(fā)，

：.BD=—BC^\(an),BE=AB-AE=4-t(cm),

2

若/BED=90°,

當A-8時，VZ/1BC=60°,

:.NBDE=30°,

：.BE=—BD=—(cm),

22

；，=3.5,

當B-A時，r=4+0.5=4.5.

若NBDE=90°時，

當A-3時，VZABC=60°,

：.ZBED=30°,

：.BE=2BD=2(cm),

Ar=4-2=2,

當3fA時，/=4+2=6(舍去).

綜上可得：f的值為2或3.5或4.5.

故選：D,

3.解：I?在RtZkABC中，CM平分NAC8交A8于點M,過點M作MN〃8C交4c于點M

且MN平分NAMC,

:?/AMN=/NMC=/B,/NCM=/BCM=/NMC,

：.ZACB=2ZBfNM=NC,

???N3=30°,

???4V=1,

:?MN=2,

:.AC=AN+NC=3,

：.BC=6,

故選：B.

4.解：\tAB=AC,

：.ZB=ZC=30°,

9

：AB±ADf

???3O=24￡)=2X4=8,

NB+NADB=90°,

ZADB=60°,

VZADB=ZDAC+ZC=6O0,

：.ZDAC=30°,

：.ZDAC=ZC,

：.DC=AD=4

：.BC=BD+DC=8+4=12,

故選：C.

5.解：???在△ABC中，NC=90°,ZB=30°,

：.ZCAB=60°,

?.?AO平分NC48,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

:./CAD=/BAD=/B,

:?AD=BD,AD=2CD,

：?BD=2CD,

根據(jù)已知不能推出CD=DE,

即只有。錯誤，選項A、B、。的答案都正確;

故選：D.

6.解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不可小于3；

「△ABC中，ZC=90°,AC=3,NB=30°,

：.AB=6,

的長不能大于6.

故選：D.

7.解：:△ABC中，ZBAC=90°,/C=30°,

；.N4BC=60°.

又；BE是/ABC的平分線，

/.ZEBC=30°,

AZAEB=ZC+ZEBC=60°,ZC=ZEBC,

：.ZAEP=f>0),,BE=EC.

又AD_LBC,

：.ZCAD^ZEAP=6O°,

則NAEP=NEAP=60°,

...△AEP的等邊三角形，則AE=AP=2,

在直角△AEB中，/4BE=30°,則EB=2AE=4,

：.BE=EC=4,

：.AC=CE+AE=6.

故選：C.

A

8.解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=AF,

?.?。為AF的中點，

：.AD=—AC,

2

?.?四邊形A8C。是矩形，

:.ADLCD,

：.ZACD=30°,

'：AB//CD,

048=30°,

.?.NEAF=/CAB=30°,

：.ZEAC=30°,

：.AH=CH,

：.DH^—AH^—CH,

22

：.CH=2DH,

,:CD=MAD=MBC=6,

：.HC=—CD^4.

3

故選：A.

9.解：〈DE垂直平分A8,

,AE=BE,

N2=NA,

VZ1=Z2,

JZA=Z1=Z2,

VZC=90°,

???NA=N1=N2=3O°,

VZ1=Z2,EDA,AB,ZC=90°,

CE=DE=3cm,

在RtZXAQE中，ZADE=90°,ZA=30°,

.\AE=2DE=6cm,

故選：C.

10.解：???DE是線段8c的垂直平分線，ZACB=90°,

：.CD=BDfAD=BD.

又;在△ABC中，NAC8=90°,ZB=30°,

：.AC=—AB,

2

AACD的周長=AC+AB=3A8=15,

2

故選：c.

過C作CM_L4B于M

則CM=h,NCMB=90°,

：NA2C=150°,

：.ZCBM=3Qa,

：.h^CM=—BC^4m,

2

故選：B.

12.解：在中，

???CQ是斜邊AB上的高，

AZADC=90°,

/.ZACD=ZB=30°（同角的余角相等）,

VAD=3C/H,

在RtZXACD中，AC=2AD=6cmf

在RtAABC中，AB=2AC=12cm.

：.BD=AB-AO=12-3=9C777,

故選：C.

DB

13.解：'：AB=AC,A。是△ABC的中線，

：.ADLBC,ZBAD=ZCAD=—ZBAC=—XnO°=60°,

22

VAE是/BAO的角平分線，

ZBAD=—X60°=30°,

22

"JDF//AB,

，NF=NB4E=30°,

：.ZDAE=ZF=30°,

：.AD^DF,

"：ZB=90°-60°=30°,

：.AD^—AB=—X10=5,

22

：.DF=5,

故選：C.

14.解：:△ABC為等邊三角形，

AZA=ZC=60°,AB=AC=BC=2,

'：DF±AC,FE±BC,

；.NAFD=/CEF=90°,

：.ZADF=ZCFE=30°,

：.AF^—AD,CE=^—CF,

22

:點。是AB的中點，

：.AD=\,

133

/.AF=—,CF=—,CE=—,

224

2R

：.BE=BC-CE=2--=—,

44

故選：C.

15.解：在中，ZA=45°,CD=i,

則AO=CO=1,

在RlZ\CD8中，ZB=30°,CD=1,

則BD=?,

故AB=AD+BD=4Z+\.

故選：D.

16.解：'：AB=AC,NC=30°,

/.ZB=30°,

又,.?ABLAO,

AZADB=60Q,

AZDAC=30°,

.,.AO=OC=8,

；A￡>=8,/B=30°,ZB4D=90°,

：.BD=\6,

：.BC=BD+DC^8+16=24.

故選：B.

17.解：過尸作尸尸〃8c交AC于F,如圖所示:

u：PF//BC,△ABC是等邊三角形,

：.ZPFM=ZQCM,NAPF=N3=60°,ZAFP=ZACB=60°,ZA=60°,

???△APr是等邊三角形，

：.AP=PF=AFf

VPEIAC,

：?AE=EF,

*：AP=PFfAP=CQ,

：.PF=CQf

在△戶「可和△QCM中，

<ZPFM=ZQCM

,ZPMF=ZCMQ,

PF=CQ

:.叢PFM空叢QCM(A4S),

：?FM=CM,

?；AE=EF,

：.EF+FM=AE+CMf

：.AE+CM=ME=—AC

2f

VAC=3,

3

：.ME=—

29

故答案為：導.

2

18.解：連接。E,

?.?在邊長為4的等邊△ABC中，D,E分別為AB,BC的中點,

...DE是△4BC的中位線，

：.DE=2,KDE//AC,BD=BE=EC=2,

：EF_LAC于點F,ZC=60°,

/.ZFEC=30°,NDEF=NEFC=90°,

."C=L：C=1,

2

故所={22_12=次,

：G為EF的中點，

.?.EG=返，

2

/.DG=^DE2+EG2=^p-.

故答案為：」亙.

2

19.解：VZC=90",NB=30°,

AZCAfi=60°,

AD平分/CAB,

...N84O=30°,

：.BD=AD=2CD=2,

故答案為2.

20.解：①BC為腰，

于點O,AD=—BC,

2

：.ZACD=30°,

如圖1,A￡>在△ABC內(nèi)部時，頂角NC=30°,

如圖2,AD在△ABC外部時，頂角/ACB=180°-30°=150°,

②BC為底，如圖3,

：Ar>_LBC于點。，AD^—BC,

2

：.AD=BD=CD,

:.NB=NBAD,ZC=ZCAD,

：.ZBAD+ZCAD=—X\S0°=90°,

2

頂角N8AC=90°,

綜上所述，等腰三角形48c的頂角度數(shù)為30°或150°或90°?

故答案為：30°或150°或90°.

21.解：①如圖，B

丫8。是△ABC的高，AB=AC,BD^—AB,

2

：.ZA=30°,

②如圖,

,：CDMAABCiiBA上的高，DC=—AC,

2

...NZMC=30°，

-,.ZBAC=180--30°=150°,

故答案為：30或150.

22.解：VZC=90°,N48C=60°

???NA=30°,

〈BQ平分NA3C,

ZCBD=ZABD=ZA=30°,

：.BD=AD=6f

：.CD=—BD=6X—=3.

22

故答案為：3.

23.解：???在RtZXA5c中，CM平分NACB交45于點M,過點M作"N〃8c交AC于點

N,且MN平分N4MC,

，NAMN=NNMC=NB,/NCM=NBCM=/NMC,

:?NACB=2/B,NM=NC,

AZB=30°,

???4N=1,

:?MN=2,

:?AC=AN+NC=3,

:?BC=6,

故答案為6.

24.解：過戶作PF_L03于凡

???NAO8=30°,OC^ZAOB,

：.ZA0C=ZB0C=[5°,

'：PD//OA,

：.ZDP0=ZA0P=\5°,

：.PD=0D=4cmf

VZAOB=30Q,PD//OA,

；?NBDP=30°,

???在RtAPDF中，PF=—PD=2cm,

2

〈OC為角平分線，PELOA,PFVOB,

:.PE=PF,

：.PE=PF=2an.

故答案為：2cm.

25.解：???在△ABC中，AB=AC,ZA=120°,

.\ZC=ZB=—(180°-/A)=30°,

2

,：AB的垂直平分線交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分線交BC于N,交AC于F,

：.BM=AM,CN=AN,

...NM48=N8=30°,NC=NNAC=30°,

.?./AMN=N8+/MA8=60°,NANM=NC+NNAC=60°,

：.AM=AN,

.?.△AMN是等邊三角形,

,;MN=2,

：.AN=2=CN,

在RtZ\NFC中，ZC=30°,ZNFC=90°,CN=2,

：.NF=—CN=\,

2

故答案為：1.

26.解：分四種情況進行討論：

①當A8=AC時，'：AD1BC,：.BD=CD,

?；AD=^BC,

2

：.AD=BD=CD,

底角為45度;

②當A8=BC時，

\"AD=—BC,

2

：.AD=—AB,

2

：.ZABD=30°,

：.ZBAC=ZBCA=15°,

二底角為75度.

③當AC=BC時，

'：AD=—BC,AC=BC,

2

：.AD^—AC,

2

.?.ZC=30°,

/.ZBAC=ZABC=—(180°-30°)=75°；

2

④點A是底角頂點，且4。在△ABC外部時，

'：AD^—BC,AC=BC,

2

'?AD=~~AC>

2

AZACD=30°,

AZBAC=ZABC=—X30°=15°,

2

故答案為15°或45°或75°.

27.解：VZC=90",ZADC=60°,

.?.ND4c=30°,

：.CD^—AD,

2

VZB=30°,/AZ)C=60°,

AZBAD=30°,

：.BD=AD,

:.BD=2CD,

,:BC=3g

：.CD+2CD=3-j3,

：.CD=y/3,

???。3=2?,

故答案為：2y.

28.解：*：AB=AC9ZBAC=120°,

：.ZB=ZC=30°,

*：AD.LAC,

：.ZDAC=90°，又NC=30°,

：.CD=2AD=6,

u：ZBAC=\20°,NDAC=90°,

：.ZBAD=30°,

:?/DAB=/B,

：.BD=AD=3f

：.BC=BD+CD=9f

故答案為：9.

29.解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACE

：.ZDAE=]20o,AD=AE,

：.ZADE=ZAED=30°,

VZADC=60°,

.,.ZCDE=90°,

*：EC=BD=5,DC=4,

D￡=22=22

'VEC-DCV5-4=3,

作于R

13

：.DF=—DE=—,

22

;在Rt/XADF中，cos30°,

AD

_3

胃。*=后

cos30ys

故答案為

30.解：9：BA=BC,ZABC=i20°,

AZA=ZC=30°,

^DBLBC,

；?/DBC=90°,

：.ZABD=ZABC-Z￡>BC=30",

Z.ZA=ZABD,

VBD=1,

：.AD=BD=\f

,:CD=2BD=2,

：.AC=AD+DC=1+2=3,

故答案為3.

31.解:

VDE為線段AB的垂直平分線，

：.BD=AD=\4,

：.ZBCD=2ZA=30°,

VZACB=90°,

：.BC=—BD=1,

2

故答案為：7.

32.解：VZC=90°,/4=30°,

NA8C=180°-ZA-ZC=60°,

是/ABC的平分線，

AZCBD=—ZABC=30°,

2

即在RtZ\BCD中，NCBD=30°,故NA=NA8￡>=30°,

：.AD=BD=2CD^10(-^30度角的直角三角形的性質(zhì))，

故答案為：10.

33.(1)解：；NA=90°,NAOB=60°,。8=2百，

/.ZB=30°,

.,.OA=/OB=?,

由勾股定理得：A8=3,

OC^^-ZAOB,

：.ZAOC=ZBOC=30Q=NB,

:.OC=BC,

在△AOC中，AO2+AC2=CO2,

：.(^)2+(3-OC)2=OC2,

：.OC=2=BC,

答：OC=2,BC=2.

(2)解：①當尸在BC上，Q在OC上時，0<f<2,

貝ijCP=2-t,CQ=t,

過戶作P”_LOC于H,

NHCP=60°,

ZHPC=30°,

②當產(chǎn)在OC上，Q在ON上時2Vf<4,

過P作尸GJ_ON于G,過C作CZ1.0N于Z,

；C0=2,/NOC=60°,

ACZ=V3，

CP=t-2,0Q=t-2,

NNOC=60°,

.'.ZGPO=30°,

：.OG=—OP=—(4-r),PG=J^-(4-r),

222

.".S^CPQ^S^COQ-S^OPQ-X(/-2)X73--j-x(f-2)x喙(4-r),

即s=??-代用.

4

④當f=4時，P在。點，Q在ON上，如圖(3)

過C作CM_LOB于M,CKLON于K,

VZB=30o，由(1)知BC=2,

：.CM=—BC=\,

2

有勾股定理得：BM=g

；08=2?,

.\OM=2y[3-V^=V^=CK,

s=-^pQXCK=/x2X百=心

-^-t2-^t(0<t<2)

42

綜合上述：S與/的函數(shù)關(guān)系式是：5=1

乎12Mt心2ct44)

(3)解：如圖(2),?：ONLOB,

：./NOB=90°,

VZB=30°,NA=90。,

AZAOB=60°,

,/。。平分NA03,

AZAOC=ZBOC=30°,

AZNOC=90°-30°=60°,

①OM=PM時，

NMOP=/MPO=30°,

???/尸。。=180°-NQOP-NM尸0=90°,

???0P=20Q,

：.2(r-2)=4-/,

解得：f=與，

3

②PM=OP時，

此時NPMO=/MOP=30°,

：.ZMPO=\20°,

VZ<2<?P=60°,

此時不存在；

③OM=OP時，

過P作PGLON于G,

OP=4-t,ZQOP=60°,

：.ZOPG=30°,

：.GO=—(4-Q,尸6=返(4-力，

22

；/AOC=30°,OM=OP,

:.NOPM=NOMP=75°,

...NPQO=180°-ZQOP-ZQPO=45Q,

：.PG=QG=-^-(4-f),

'：OG+QG=OQ,

：.—(4-/)+^-(4-r)=t-2,

22

解得：t=6+乎

3

綜合上述：當f為烏或警應時，△OPM是等腰三角形.

33

34.解：(1)..,直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N,OM=f>cm,ZOMN

=30°,

:.NONM=60°,

?.?△ABC為等邊三角形

/.ZAOC=60°,NNOA=30°

：.OA±MN,即△04例為直角三角形，

OA=—OM=—X6=3麗

22

(2)'：OM=6cm,N0MN=30°,

：.ON=2y/3,MN=4?.

■:AOMNsgEM,

.MB=BE

"MN-ON'

.6_t_EB

??乖

當點P在8E上時，

PE=BE-PB二殳±-2r=6§_,

22

：/A=60°,ZAF￡=30°,

：.EF=y[3AE=-/3(3-BE)=?(3,^|1)=吟.,

.?.△PEF的面積S=-XEFXPE=—X^-tX^^-,

2222

V3(6t-512)_t2-6V31

即S=(0<r<—)；

885

當點P在AE上時，PE=PB-￡?E=2Z-

22

VZA=60°,ZAFE=30a,

:.EF=MAE=M(3-BE)=yj-3(3--^-)=^-Z,

.?.△PEF的面積S=—XEFXAx^-zX,

2222

22

c_V3(5t-6t)_5>/3t-65/31

kJ'I■〈位

（3）存在，有4種情況：

①當點P在線段AB上時，

點P在AB上運動的時間為3s,

2

;△PE尸為等腰三角形，NPEF=9G°,

：.PE=EF,

：N4=60°,ZAF￡=30°,

:.EF=MAE=M（3-BE）=V3（3-號■）=喙，,

.6-5t_V3f或5t_6

2T~2T'

相15-3百115+33.....

解得t=-------U?或-----。＞—（z故舍去），

11112

②當點P在A尸上時,

若PE=PF時，點P為E尸的垂直平分線與AC的交點,

此時P為直角三角形PEF斜邊A尸的中點，

：.PF=AP=2t-3,

?.?點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cMs的速度沿折線B-A-C運動,

.?.0<Y3,

EF

T_V3t_V3

在直角三角形中，cos30°=

PF8t-122

解得：1=2,

若FE=FP,

cos/AFECOS30

則f-(2f-3)=亨/,

解得：f=12-6次：

③當PE=EF,尸在4下上時無解，

④當P點在CF上時，AP=2f-3,AF^t,則PF=AP-AF=f-3=EF,所以廣3=胃

t,

解得f=12+6愿＞3,不合題意，舍去.

綜上，存在「值為"莽巨或12-3或2時，為等腰三角形.

35.(1)解：VZACB=90°,ZA=30°,

，NABC=60°,

?:BE是/ABC的角平分線，

；?NABE=NCBE=30°,

VZA=30°,AC=AD,

：.ZACD=ZADC=15°,

???NDMB=ZADC-NABE=45°；

(2)證明：VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,

CHA.BE,ZCBE=30°,

：.BC=2CH,

：.AB=4CH,

在RtzXCH用中，NCMH=45°,

:?CH=MH,