湖南省永州市孟公山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省永州市孟公山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)在圓上，則函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（

）A.，

B.，

C.，

D.，參考答案：B2.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如下圖所示，其中A，B分別為函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，4，若?=0，則函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為（）A．（﹣6，﹣3） B．（6，9） C．（7，10） D．（10，13）參考答案：C【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】求出函數(shù)的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求M，利用A（1，2）在函數(shù)圖象上可求φ，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可得：周期T=2×（4﹣1）=6=，解得：ω=，可得坐標(biāo)：A（1，M），B（4，﹣M），=（1，M），=（4，﹣M），由于：?=0，可得：1×4﹣M2=0，解得：M=2，可得：2sin（×1+φ）=2，解得：×1+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：0＜φ＜，可得：φ=，解得函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（x+），令2kπ+＜x+＜2kπ+，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，可得：當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為：（7，10）．故選：C．5.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在的漸近線上,且與軸垂直,,則的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D6.已知定義在上的函數(shù)是它的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的，都有恒成立，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D7.一扇形的中心角為2，中心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則此扇形的面積為（

）A．2

B．1

C．

D．參考答案：C略8.已知是實(shí)數(shù)集，，則(A)

(B)

(C)

D

參考答案：D略9.已知,若在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知向量,則的充要條件是（）A．

B．

C．

D．=0參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是_______．參考答案：4【詳解】由，則切線斜率，則過(guò)的切線方程為:，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，又所成三角形面積為2，可得，所以,故答案為4.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則_________.參考答案：013.按如下程序框，最后輸出的結(jié)果是

參考答案：i=714.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最小值為_(kāi)______________參考答案：15.函數(shù)f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

． 參考答案：2【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)f（x）解析式確定出x大于0，求函數(shù)f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的個(gè)數(shù)，利用圖象求出即可． 【解答】解：由題意可得x＞0， 求函數(shù)f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的個(gè)數(shù)， 數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=lnx的圖象和函數(shù)y=（x﹣2）2+的圖象有2個(gè)交點(diǎn)， 則f（x）=lnx﹣x2+2x+5有2個(gè)零點(diǎn)， 故答案為：2 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)出相應(yīng)的圖象是解本題的關(guān)鍵． 16.設(shè)和均為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以向量=（a1，a2），=（b1，b2）為鄰邊的平行四邊形的面積為．參考答案：|a1b2﹣b1a2|考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專(zhuān)題：計(jì)算題；綜合題；平面向量及應(yīng)用．分析：設(shè)向量對(duì)應(yīng)，向量對(duì)應(yīng)，由向量模的公式算出||和||，得到cos∠AOB=，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系算出sin∠AOB的值，最后根據(jù)正弦定理的面積公式加以計(jì)算，得到平行四邊形OACB的面積，即得以向量、為鄰邊的平行四邊形的面積值．解答：解：設(shè)向量==（a1，a2），==（b1，b2）∴||=，||=可得cos∠AOB==由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得sin∠AOB==因此，以、為鄰邊的平行四邊形OACB的面積為S=||?||sin∠AOB=??=|a1b2﹣b1a2|即以向量、為鄰邊的平行四邊形的面積為|a1b2﹣b1a2|故答案為：|a1b2﹣b1a2|點(diǎn)評(píng)：本題給出向量、的坐標(biāo)，求以向量、為鄰邊的平行四邊形的面積．著重考查了平面向量數(shù)量積計(jì)算公式、模的計(jì)算公式和平行四邊形的面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上,矩形所在的平面垂直于圓所在的平面,，．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案：（1）證明：∵是直徑，∴

…1分，又四邊形為矩形,,,∴∵，∴平面

…………4分又平面，∴平面平面

………………6分（2）由⑴知，

………8分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

……9分，∴當(dāng)三棱錐體積最大為

……10分，此時(shí)，，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則

………12分19.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中項(xiàng)為3a2．（1）求a2；（2）若{an}是等比數(shù)列，求an．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）利用已知條件建立方程組，求解健康得答案；（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2=2，可得首項(xiàng)與公比，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解答】解：（1）由已知得：，解得a2=2；（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2=2，可得．又S3=7，可知+2+2q=7，∴2q2﹣5q+2=0，解得，q2=2．①若，∴a1=4，則．②若q2=2，∴a1=1，則．20.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c，已知，．

(Ⅰ)求cosC的值；

(Ⅱ)若a=15，D為AB邊上的點(diǎn)，且2AD=BD，求CD的長(zhǎng)．參考答案：(Ⅰ)解：由得： 2分

∵A、B、C是△ABC的內(nèi)角，∴

因此，，故 4分

由得： 6分

∴ 8分(Ⅱ)解：由得： 9分

由正弦定理得：，∴ 11分

在△BCD中，

∴CD=13． 12分

21.（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較。附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考答案：

(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2=由于15.705＞6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.

22.（本小題滿(mǎn)分分）如圖，直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，△是等腰三角形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．（1）若∥平面，求；（2）求直線和平面所成角的余弦值．參考答案：『法一』(1)取中點(diǎn)為，連結(jié)，………1分

∵分別為中點(diǎn)

∴∥∥，∴四點(diǎn)共面，

………3分且平面平面又平面，且∥平面∴∥∵為的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，

………5分∴．

………6分（2）連結(jié)，

………7分因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，∴平面∴，即四邊形為矩形，且∵是的中點(diǎn)，∴，又平面，∴，從而平面

………9分∴是在平面內(nèi)的射影∴與平面所成的角為∠又∥，∴直線和平面所成的角即與平面所成的角…10分設(shè)，且三角形是等腰三角形∴，則，∴

∴直線和平面所成的角的余弦值為．

………12分『法二』（1）因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，∴平面，又∴以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

………1分設(shè)，又三角形是等腰